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EAE 210B, Segundo Semestre 2019 Ayudantia 12 1. Considere un monopolista con función de costo total CT (Q) = 20Q. Hay dos tipos de individuo en la economı́a, cada uno con una función de demanda distinta. La demanda de los consumidores tipo 1 es Q1 = 100 − p1, y la de los consumidores tipo 2 es Q2 = 120 − 0.5p2. Suponga por simplicidad que hay sólo dos individuos en la economı́a, uno de cada tipo. (a) Suponga que el monopolista no discrimina precios. Calcule precio y cantidad. Si se considera la demanda agregada como Q = 220−1.5p, entonces IMg = 220 1.5 − 2Q 1.5 , y dado que CMg = 20, al igualar IMg = CMg se obtiene p = 83.3, Q = 95 (y la empresa gana 6013, 5). Sin embargo, la demanda agregada es realmente de la forma: Q = 0 si p > 240 120− 0.5p si p ∈ [240, 100] 220− 1.5p si p < 100 Luego, si la empresa decide vender, debe decidir si hacerlo cobrando p ≥ 100 o cobrando p < 100, y el IMg ser distinto en ambos tramos. En el tramo con p ≥ 100 el IMg es 240 − 4Q, por lo que al igualar con CMg = 20 se obtiene Q = 55 y p = 130, con lo que se obtiene ganancia de 6050. Como ya se dijo antes, en el tramo con p < 100 la ganancia es 6013, 5, por lo que al considerar esto, la empresa elige p = 130, vendindole solo a los consumidores tipo 2. (b) Suponga que el monopolista hace discriminacin de precios de 3er grado. Calcule precio y cantidad en cada mercado. Para tipo 1: IMg1 = 100−2Q1, haciendo IMg = CMg tenemos que 100−2Q1 = 20, luego Q1 = 40, p1 = 60. Para tipo 2: IMg2 = 240−4Q2, haciendo IMg = CMg tenemos que 240−4Q2 = 20, luego Q2 = 55, p2 = 130. (c) Calcule la pérdida social producida por el monopolio con y sin discriminación de precios. Comparamos con la asignación que se obtiene con p = CMg = 20, por lo que 220−Q 1.5 = 20. Despejando se obtiene que Q = 190, P = 20. Luego la pérdida social del monopolio sin discriminación es 80∗80 2 + (130−20)∗(110−55) 2 = 6225. Para la dis- criminación de precios, eso implicaŕıa una demanda del grupo 1 de 80 y del grupo 2 de 110. Entonces, la PBS para el grupo 1 es de 0.5∗ (80−40)∗ (60−20) = 800 y la PBS para el grupo 2 es de 0.5∗ (110−55)∗ (130−20) = 3025 (total de 3825). 2. Dos firmas venden café en un mercado donde la demanda está dada por QD = 5000−P (en miles). La primera firma tiene un costo marginal dado por 2000 y la otra un costo marginal de b ≥ 2000. 1 (a) Si la primera firma actúa como monopolio, ¿cuál es el precio y la cantidad vendida? Se maximiza las ganancias π = (5000−Q)Q−2000Q y se obtiene 5000−2Q = 2000 o Q = 1500, P = 3500. (b) Suponga que las empresas eligen simultáneamente cuánto producir. i. Obtenga y grafique la función de mejor respuesta de la empresa 1. Se maximiza las ganancias tomando como dado Q2: π = (5000−Q1 −Q2) ∗ Q1 − 2000Q1 y se obtiene 5000− 2Q1 −Q2 = 2000 o Q1 = 1500− 0.5Q2. ii. Obtenga la cantidad producida y el precio en el equilibrio de Nash de este juego de Cournot (comparando resultados con b = 2000 y b > 2000). La función de reacción de la firma 2 es Q2 = 2500− 0.5b− 0.5Q1. Combinando las 2, se obtiene Q2 = 2500 − 0.5b − 750 + 0.25Q2, 0.75Q2 = 1750 − 0.5b o Q2 = 2333.333−2/3b y Q1 = 333.33+1/3b. El precio será de 2333.33+1/3b. iii. Muestre si hay n empresas con costo marginal de 2000, el equilibrio de Nash de este juego de Cournot implica un nivel de producción total que converge a 3000 cuando n tiende a infinito. En este caso, la función de mejor respuesta de una firma es qi = 1500−0.5 ∑n j 6=i qj. Dado que todas las firmas son iguales, se obtiene q(1 + 0.5(n−1)) = 1500 o q = 3000 (n+1) . La cantidad total es entonces Q = 3000n (n+1) Cuando n→∞, Q→ 3000, p→ 2000 = CMg. (c) Suponga ahora que las firmas compiten a la Bertrand. i. Obtenga y grafique la función de mejor respuesta de la empresa 1. La función de mejor respuesta es p1 = p2 − ε si p2 ≥ 2000 y p2 = ∞ si p2 < 2000. ii. Obtenga la cantidad producida y el precio en el equilibrio de Nash de este juego de Bertrand (comparando resultados con b = 2000 y b > 2000). Si b = 2000, el precio es 2000 y las firmas se comparten la demanda total de 3000. Si b > 2000, el equilibrio es p1 = b − ε, p2 = b y la firma 1 produce todo 5000− b. iii. Si hay n empresas con costo marginal de 2000, ¿depende su respuesta del número de empresas? No, cuando hay más de una firma, el precio es igual a 2000 y la cantidad total a 3000. (d) ¿Cómo cambian las ganancias de la firma 1 cuando aumenta b en las distintas modalidades de competencia (monopolio, duopolio Cournot, duopolio Bertrand)? ¿Cómo se comparan estas ganancias dependiendo de b? ¿Podŕıa la empresa 1 preferir algún tipo de competencia (Cournot o Bertrand) que ser monopólica? Las ganancias de la firma 1 no dependen de b cuando es monopolio y son iguales a 1500 ∗ 1500 = 2, 250, 000. En Cournot, las ganancias son 1/9(1000 + b)2 y crecen en b. Solamente si b > 3, 500 las ganancias seŕıan mayor en Cournot que en monopolio pero si eso es el caso, la firma 2 no produce y la firma 1 es monopolio y entonces, nunca son mayores las ganancias de Cournot que del monopolio. En Bertrand, las ganancias son (b−2000)∗ (5000− b) = 7000b− b2−10, 000, 000. Es creciente en b hasta que b > 3, 500. Pero si b > 3, 500, la firma 1 seguira eligiendo P = 3, 500 y vendiendo como monopolio. Entonces, tampoco pueden ser mayores las ganancias en Bertrand que en monopolio. 2
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