Ayudantía 03 Pauta

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Ayudant́ıa 3: Microeconomı́a I
Sección 4 Stephen Blackburn
Ayudantes:
Alejandro Guin-Po (ajguinpo@uc.cl)
Valentina Flores (vrflores@uc.cl)
Viernes 19 de Agosto, 2016
(*) Esta ayudant́ıa fue más larga de lo normal y tiene un grado de dificultad superior.
Ejercicio 1
Suponga que los individuos gastan el 50% de su ingreso en el bien 1, y el 50% restante en el
bien 2. Usted tiene las siguientes estimaciones de elasticidades de las demandas (marshallianas y
hicksianas) por el bien 1: ηM11 = −1, ηH12 = 0, 5.
a. ¿Podŕıa encontrar a partir de esta información las elasticidades ηM21 , η
M
22 , η
M
2m, η
H
21 y η
H
22 de
las demandas (marshallianas y hicksianas) por el bien 2?. Verifique si estas estimaciones son
coherentes con la teoŕıa; esto es, si no es obtienen conclusiones contrarias a la teoŕıa a partir de
estos datos.
Como recordatorio, en resumen obteńıamos: ηH21 = 0, 5 por Simetŕıa de Hicks, luego usando
agregación de Cournot ηM21 = 0. Dado homogeneidad de grado cero de la Hicksiana η
h
22 = −0, 5
y ηH11 = −0, 5. Por la ecuación de Slutzky ηM2m = 1 y de la misma forma por agregación de Engel
ηM1m = 1. También por Slutzky pod́ıamos obtener η
M
22 = −1.
b. ¿Será cierto que la fracción del ingreso que se gasta en el bien 1 siempre es 50%, independien-
temente del nivel de ingreso del individuo? ¿significa esto que bien 1 es neutro o normal?
Explicado en la ayudant́ıa. Siempre será la misma fracción y es un bien normal.
c. Imagine que nueva evidencia sugiere que la demanda por el bien 1 se volverá más elástica.
¿Podŕıa duplicarse el valor de ηM11 por ejemplo? ¿qué debeŕıa pasar con η
H
12 (o con la fracción
del ingreso que se gasta en el bien 1) en un caso como ese?
Partiremos desde que se duplica ηM11 y llegaremos a una contradicción. Partimos por η
M
11 = −2,
luego usando la agregación de Cournot obtenemos que ηM21 = −1, luego por Slutzky ηH21 = −0, 5,
luego por simetŕıa de Hicks ηH12 = −0, 5. Nuevamente usando la ecuación de Slutzky ηM12 = −1.
Luego esto no cumple con la condición de homogeneidad de grado cero en precios e ingreso de
la marshalliana.
Ejercicio 2
La preferencia de un individuo se representa mediante la siguiente utilidad: u(x1, x2) = (x1)
α +
(x2)
β.
(a) Suponga que α = 1 y β = 0, 5. ¿Es cóncava y/o cuasi-concáva la función de utilidad? ¿son
convexas las curvas de indiferencia? Verifique si en la solución con x1 > 0, x2 > 0 y λ > 0
se satisface la condición de segundo orden (que se obtiene al estudiar el signo de los últimos
n−m menos principales ĺıderes del hesiano orlado).
Hecho en ayudant́ıa. La demostración de concavidad al menos para este curso me parece
suficiente explicar como se define una función concáva, sus implicancias y enunciarla.
(b) Suponga que α = β = 0, 5. Explique intuitivamente por qué de los 8 casos posibles para
analizar las condiciones KKT, sólo uno es relevante (acá se pide un argumento intuitivo, no
1
verificar las condiciones de KKT en los otros 7 casos). Demuestre que efectivamente en los 7
casos restantes se obtiene una contradicción (acá se pide verificar si se obtiene una contradicción
en las condiciones de KKT de los otros 7 casos).
Hecho en ayudant́ıa.
(c) Suponga nuevamente que α = β = 0, 5. Encuentre las demandas marshallianas. Verifique que
se satisface la identidad de Roy. Deriva las demandas hicksianas a través del Lema de Shepard.
Hecho en ayudant́ıa. Recuerden que las condiciones para la identidad de Roy se cumplen. Las
demandas hicksianas son: XH1 =
u2p22
(p1+p2)2
y XH2 =
u2p21
(p1+p2)2
.
(d) Suponga que α = β = 0, 5 y que los precios son inicialmente de 1 para cada bien. Descomponga
el impacto de un cambio que doble el precio del bien 1 entre un efecto ingreso y sustitución.
Tenemos que a los precios antiguos tenemos que se consume XM1 = X
M
2 = 0, 5 y a los nuevos
preciosXM1 =
m
6
yXM2 =
2m
3
. Aśı la utilidad inicial es U =
√
2m. El efecto ingreso corresponde
a la diferencia entre las marshallianas iniciales y las hickisanas que me daban el mismo nivel
de utilidad anterior (XH1 =
2m
9
y XH2 =
8m
9
) y el efecto sustitución es el resto. (*) Ver dibujo
adjunto.
Ejercicio 3: Bienestar y Efecto Ingreso
Considere un individuo cuyas preferencias se representan mediante la siguiente función de utilidad:
u(x1, x2) = (x1)
α + (x2)
β con α ≤ 1 y β < 1, que enfrenta precios p1 y p2 por los bienes 1 y 2
respectivamente, y que tiene ingreso m.
(a) Encuentre las demaandas marshallianas por los dos bienes.
Estas son:
Para α = 1 tengo XM1 = 0 y X
M
2 = m/p2 si es solución esquina y si no X
M
1 =
m
p1
− p2
p1
(
p2
βp1
) 1
β−1
y XM2 =
(
p2
βp1
) 1
β−1 . Si α < 1 descarto soluciones esquina, luego obtengo de la condición
de óptimo XM1 =
(
βp1
αp2
) 1
α−1 X
β−1
α−1
2 . Esto se puede reemplazar en la restricción presupuestaria
obteniendo m =
(
βp1
αp2
) 1
α−1 X
β−1
α−1
2 p1 + X2p2. Dado que es una ecuación imposible de despejar
algebraicamente, basta dejarlo expresado.
(b) Suponga que α = 1. El precio del bien 2 sube de 1 a 2 mientras que el precio del bien 1 se
queda en 1. Descomponga el cambio en la demanda marshalliana por el bien 2 en un efecto
sustitución y efecto ingreso.
Vamos a tener 3 casos: (*) Formalmente la condición del caso esquina la voy a sacar diciendo
que cuando X1 > 0 y luego reemplazando, como lo hemos hecho usualmente en ayudant́ıa. De
ah́ı se obtiene que βp1m
β−1
p2
> 1. Esto lo usaremos para los casos, reemplazando los valores de
α, p1 y p2 que son dados.
• Caso 1: Parto de una solución esquina y me quedo en una solución esquina.
Vemos que para que esto sea posible, se tiene que cumplir que a los precios viejos se de
la condición βmβ−1 > 1 lo que conlleva a demandas marshallianas XM1 = 0 y X
M
2 = m.
A los nuevos precios se tiene que seguir cumpliendo la condición 0, 5βmβ−1 > 1 lo que
implica demandas marshallianas de XM1 = 0 y X
M
2 = m/2. Aqúı el efecto es solo ingreso,
la intuición es que el consumo del bien 1 nunca cambio, lo único que hizo el precio fue
que redujo mi potencial consumo del bien 2.
• Caso 2: Parto de una solución interior y me quedo en una solución interior.
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Vemos que para que esto sea posible, se tiene que cumplir que a los precios viejos se de
la condición βmβ−1 < 1 lo que conlleva a demandas marshallianas XM1 = m −
(
1
β
) 1
β−1
y XM2 =
(
1
β
) 1
β−1 . A los nuevos precios se tiene que seguir cumpliendo la condición
0, 5βmβ−1 < 1 lo que implica demandas marshallianas de XM1 = m − β
1
β−1 y XM2 =(
β
2
) 1
β−1 . Aqúı el efecto es solo sustitución, la intuición es que el consumo del bien 2 no
depende del ingreso final, sino que solamente de los precios.
• Caso 3: Parto de una solución esquina y me quedo en una solución interior.
Vemos que para que esto sea posible, se tiene que cumplir que a los precios viejos se de
la condición βmβ−1 > 1 lo que conlleva a demandas marshallianas XM1 = 0 y X
M
2 = m.
A los nuevos precios se tiene que seguir cumpliendo la condición 0, 5βmβ−1 > 1 lo que
implica demandas marshallianas de XM1 = 0 y X
M
2 = m/2. Aqúı el efecto es solo ingreso,
la intuición es que el consumo del bien 1 nunca cambio, lo único que hizo el precio fue
que redujo mi potencial consumo del bien 2. Luego, en este caso también será puro efecto
sustitución, esto debido a la forma de la función de utilidad.
(c) Suponga que α = 1 y β < 1. Muestre que en este caso ocurre que al cambiar el precio de
uno de los dos bienes, las distintas medidas de bienestar (variación compensatoria, equivalente,
cambio en excedente del consumidor) coinciden. Debe hacer los cálculos correspondientes, y
además explicar claramente por qué esta afirmación sólo es cierta para el cambio en el precio
de uno de los dos bienes (¿en cuál de ellos?).
Según lo explicado al final de la ayudant́ıa y lo que van a ver en clases la próxima semana,
las medidas de bienestar van a coincidir cuando cambie solo el precio del bien 2 cuando el
ingreso sea lo suficientemente grande. Aśıel bien es un bien neutro y por lo tanto, podemos
generalizar que para los bienes neutros, VC y VE van a coincidir. La demostración la pueden
ver en Vial y Zurita en la página 85.
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