Ayudantia 20 noviembre pauta

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Pauta Ayudantía 20 noviembre 2013
Considere el siguiente mercado de seguros que representa una situación de selección adversa:
hay muchas compañías de seguros, neutrales al riesgo, compitiendo en este mercado. Las compañías
ofrecen contratos que incluyen una prima p y una cobertura z en caso de siniestro. Hay dos tipos
de individuos idénticos en todo, excepto en su riesgo de sufrir un siniestro: individuos de alto riesgo
(A) y bajo riesgo (B). La probabilidad de que ocurra el siniestro para los individuos A y B es
�A = 0:4 y �B = 0:3, respectivamente. La utilidad (función Bernoulli) de los individuos es de la
forma u�j = (w)
1
2 donde w es la riqueza. La riqueza inicial de cualquiera de estos individuos es
w0 = 100 y un siniestro supone una pérdida del 20% de la riqueza.
1. Suponga inicialmente que las compañías de seguros pueden identi�car perfectamente a cada
tipo. ¿Cuáles son los contratos óptimos que ofrecerán las compañías para los individuos A y
los B? Explique la intuición del resultado, justi�que adecuadamente y gra�que.
Respuesta:
Si las compañías de seguro pueden identi�car el tipo � 2 fA;Bg, entonces pueden ofrecer
cada individuo un contrato diseñado para su tipo. (Recuerde: no es un menú de contratos,
es un contrato el que le ofrecen a cada potencial asegurado, según su tipo).
El contrato que ofrecen a cada tipo, CA =
�
zA; pA
�
ó CB = (zB; pB) es un contrato que tiene
las siguientes características:
(i) Tiene una prima actuarialmente justa, es decir: p� = ��z�, � 2 fA;Bg. Esta característica
proviene del hecho de que las compañías compiten y, por lo tanto, necesariamente deben
obtener bene�cios nulos por cada asegurado.
(ii) La compensación es completa, z� = L, donde L es la pérdida. Por lo tanto, cada individuo
es asegurado completamente. La intuición de esta característica es la siguiente: dado que los
individuos son aversos al riesgo, al ofrecerles una prima actuarialmente justa, los individuos
maximizan su utilidad si el seguro es completo. Por otra parte, si no se ofrece un seguro
completo, cualquier aseguradora podría hacerlo y descremar el mercado.
Numéricamente, en este ejercicio particular, calcularíamos de la siguiente manera:
Tipo A (alto riesgo): L = 0:20w0 = 0:2 � 100 = 20, por lo tanto zA = 20 y pA = �AzA =
4
10 � 20 = 8. Contrato ofrecido al tipo A:
CA =
�
zA; pA
�
= (20; 8)
Tipo B (bajo riesgo): L = 0:20w0 = 0:2 � 100 = 20, por lo tanto zB = 20 y pB = �BzB =
3
10 � 20 = 6. Contrato ofrecido al tipo B:
CB =
�
zB; pB
�
= (20; 6) .
Para gra�car, es necesario calcular la riqueza que recibirá cada tipo en cada estado. El estado
1 (w1) es el estado de no accidente y, en ese caso, la riqueza de cada tipo será:
w1� = w0 � p�
(Es decir: su riqueza total menos la prima que pagará sí o sí en cualquier estado)
w1A = w0 � pA = 100� 8 = 92
w1B = w0 � pB = 100� 6 = 94
1
Luego, podemos comprobar que en el estado 2 (accidente), cada individuo obtendría la misma
riqueza (por eso está asegurado completamente):
w2� = w0 � L� p� + z� = w0 � L� p� + L = w0 � p�
El dibujo, en general, se realiza mostrando las dos rectas de isobene�cio (rectas donde las
aseguradoras obtienen cero bene�cios, con pendiente �1���
��
y que pasa por el punto de NO-
seguro, es decir w1 = w0 = 100 y w2 = w0 � L = 80.
Note que esas rectas se obtienen de la siguiente manera (si es que las quieren hacer bien, en
el examen, necesitan dibujarlas aproximadamente, marcando los valores principales):
Tipo A: recta w2 = a +mw1 con pendiente m = �
1� 4
10
4
10
= �32 , que pasa (empieza hacia la
izquierda) por el punto (w1; w2) = (100; 80), de donde a se obtiene resolviendo 80 = a� 32 �100,
es decir a = 230. Ecuación de la recta: w2 = 230 � 32w1, con w1 2 [0; 100]. Similarmente,
para el tipo B, se obtiene la ecuación de la recta: w2 = 9403 �
7
3w1 con w1 2 [0; 100].
También dibujamos la línea de certeza, es decir, la línea de 45� que corresponde a la fun-
ción w2 = w1. Y donde se intersecta esta línea con cada una de las curvas de isobene�cio,
observamos el punto de riquezas contingentes que nos da cada contrato.
Finalmente, note que estos contratos serán comprados por los individuos, pues obtienen mayor
utilidad que sin seguro (esto es obvio, pero igual se los muestro). En el caso sin seguro, la
utilidad esperada de cada tipo de individuo es (teniendo en cuenta la función de Bernoulli
dada en este ejercicio):
EU� =
�
1� ��
�p
w0 + �
�
p
w0 � L
EUSGA =
�
1� 4
10
�p
100 +
4
10
p
100� 20 = 6 + 8
5
p
5 = 9: 577 709
EUSGB =
�
1� 3
10
�p
100 +
3
10
p
100� 20 = 7 + 6
5
p
5 = 9: 683 282
2
Y la utilidad esperada CON seguro sería:
EUCSA =
�
1� 4
10
�p
92 +
4
10
p
92 =
p
92 = 9: 591 663 > 9: 577 709
EUCSB =
�
1� 3
10
�p
94 +
3
10
p
94 =
p
94 = 9: 695 360 > 9: 683 282
2. Suponga ahora que las compañías de seguros no pueden identi�car a cada tipo. ¿Cree usted
que las compañías de seguros ofrecerán los contratos que encontró en el punto anterior (1)?
¿Por qué sí o por qué no? Explique rigurosamente su respuesta.
Respuesta:
NO. Las aseguradoras no ofrecerán estos contratos porque, en de�nitiva, los individuos tipo
A tienen incentivos para mentir y autodeclararse de bajo riesgo y adquirir el seguro CB, pues
tendrían igual cobertura, pero menor prima. Formalmente, los bene�cios esperados de una
aseguradora son:
E� = �
�
pB � �BzB
�
+ (1� �)
�
pA � �AzA
�
en este caso, dado que los de alto riesgo (fracción 1��), comprarían el seguro con prima pB,
los bene�cios serían:
E� = �
�
pB � �BL
�
+ (1� �)
�
pB � �AL
�
= �
�
6� 3
10
� 20
�
+ (1� �)
�
6� 4
10
� 20
�
= �2 (1� �) < 0
Tendrían pérdidas, por lo tanto, no ofrecerían estos contratos.
3. En el mismo contexto del punto anterior (las compañías no pueden identi�car a cada tipo),
suponga que existe un equilibrio separador. ¿Cuál es el menú de contratos que ofrecerían
óptimamente? Explique la intuición del resultado, justi�que adecuadamente y gra�que.
Respuesta:
Recuerde que, en esta situación: (i) las aseguradoras ofrecen un menú de contratos (no espere
que en la pregunta se indique siempre eso, usted debe saberlo) fCA; CBg, de donde cada
individuo se supone que elige como mucho un contrato y estos contratos están diseñados de
tal manera que cada individuo elige el contrato diseñado para su tipo y (ii) este menú de
contratos no siempre será equilibrio (dependerá de �) y si no es equilibrio, entonces NO hay
equilibrio en este juego.
Por lo tanto, lo que se pide es que usted caracterice el menú de contratos que es el conjunto
de par de contratos candidatos para ser parte de un equilibrio separador.
Las características de este par de contratos son:
(i) en cada caso, la prima es actuarialmente justa, es decir, p� = ��z�.
(ii) el contrato diseñado para los individuos tipo A (alto riesgo) es el mismo que en el caso
observable, es decir, con cobertura completa: zA = L. Luego, CA =
�
zA; pA
�
=
�
L; �AL
�
.
(iii) el contrato diseñado para los individuos tipo B (bajo riesgo) NO tiene cobertura completa,
sino parcial. Es decir, zB < L. En particular, zB es tal que los individuos de Alto riesgo
3
pre�eran comprar CA. Es decir:�
1� �A
�p
w0 � pA + �A
p
w0 � L� pA + zA| {z }
Utilidad esperada de tipo A con seguro CA
�
�
1� �A
�p
w0 � pB + �A
p
w0 � L� pB + zB| {z }
Utilidad esperada de tipo A con seguro CB
reemplazando por los valores numéricos:�
1� 4
10
�p
92 +
4
10
p
92
�
�
1� 4
10
�s
100� �BzB| {z }
pB
+
4
10
s
100� 20� �BzB| {z }
pB
+ zB
p
92 �
�
1� 4
10
�r
100� 3
10
zB +
4
10
r
100� 20� 3
10
zB + zB
Más aún, el tipo A debe estar indiferente entre ambos contratos, con lo que la última de-
sigualdad es estricta y resolviendo
p
92 =
�
1� 410
�q
100:� 310z+
4
10
q
100� 20� 310z + z, se
obtiene zB = 2: 125 238 y luego pB = 310 � 2: 125 238 = 0:637 571 4.
Alternativamente (y en mi opinión, más fácil), los valores numéricos de las riquezas que
obtendrá el tipo B con este seguro, se pueden obtener resolviendo el siguiente sistema:�
w2 =
940:
3 �
7
3w1�
1� 410
�p
w1 +
4
10
p
w2=
p
92
donde la primera ecuación es la recta isobene�cio riesgo bajo y la segunda, es la curva de
indiferencia del individuo tipo A que pasa por el contrato CA. De este sistema se obtiene que:
w1 = 99: 362 43; w2 = 81: 487 67
Luego, podemos calcular pB = w0 � w1 = 100 � 99: 362 43 = 0:637 57 y zB = 0:637 57( 310)
= 2:
125 233.
En conclusión el menú de contratos será:
fCA; CBg =
��
zA; pA
�
;
�
zB; pB
�	
= f(20; 8) ; (2: 125 233; 0:637 57)g
(Pueden corroborar que el tipo B tendrá más utilidad que sin seguro y que comprando el otro
seguro:
EUCSB =
�
1� 3
10
�p
99: 362 43 +
3
10
p
81: 487 67 = 9: 685 765 > 9: 683 282).
EUCSB (comprando CA) =
�
1� 3
10
�p
92 +
3
10
p
92 = 9: 591 663 < 9: 685 765
Grá�camente, hay que dibujar la curva de indiferencia del tipo A que pasa por su con-
trato CA y el otro contrato estará en la intersección de dicha curva de indiferencia (w2 =
4
�
10
4
p
92� 64
p
w1
�2
) y la isobene�cio de bajo riesgo:
ATENCIÓN: EN EL EXAMEN SOLO HAGAN EL DIBUJO APROXIMADO!!!
(Cuidado: en este dibujo los ejes empiezan en 50 y no en 0 para que se pueda ver, puesto que
los números son mínimos!!!).
Intuición del resultado: el menú se diseña para que cada individuo se autoseleccione y elija el
contrato diseñado para su tipo. Los individuos de tipo A no querrán el otro contrato porque
obtienen mayor utilidad con su contrato. Los individuos de tipo B no querrán el otro contrato
porque es muy caro para ellos. Y las aseguradoras no ofrecerán contratos que no estén sobre
la línea de isobene�cio (por lo tanto, contratos actuarialmente justos) porque de lo contrario,
tendrían incentivos para desviarse.
El costo de la información asimétrica es pagado por los individuos de bajo riesgo
que no logran asegurarse completamente. El costo será la diferencia entre utili-
dades esperadas del tipo B (info simétrica - info asimétrica):
Costo = 9: 695 360� 9: 685 765 = 0:009 595
4. Suponga que la proporción de individuos de bajo riesgo es � = 0:5. Determine si el equilibrio
encontrado en el punto anterior (3) existe. Explique la intuición del resultado y justi�que
adecuadamente.
Respuesta:
La intuición primero: si � es relativamente muy alto (hay mucha proporción de individuos
de bajo riesgo), entonces puede ser una alternativa rentable que una aseguradora se desvíe y
ofrezca un único contrato para todos (con una prima actuarialmente justa para el individuo
promedio, es decir con p = ��z y z = L (cobertura completa). Si este contrato es deseable a los
del menú para ambos tipos, entonces el menú no puede ser parte de un equilibrio. Recuerde
que �� = ��B + (1� �)�A. Luego, en este ejercicio:
�� = ��B + (1� �)�A = 1
2
� 3
10
+
1
2
� 4
10
=
7
20
Luego, la prima de este contrato agrupador sería: p = 720 � 20 = 7 y z = 20. Con este
contrato, la riqueza de ambos estados sería la misma para ambos tipos: w1 = 100 � 7 =
5
93. Y la utilidad esperada para cualquier individuo sería
p
93 = 9: 643 651. Esta utilidad es
mayor para los de tipo de alto riesgo (pues con el menú obtendrían
p
92 = 9: 591 663), pero es
menor que la que obtienen los de tipo de bajo riesgo (pues con el menú obtienen 9: 685 765).
Luego, con este contrato agrupador, la aseguradora perdería pues solo lo contratarían los de
alto riesgo.
En de�nitiva, el menú de contratos sí es un equilibrio separador.
Una forma más rigurosa es obtener el �� tal que si � > �� el equilibrio separador no existe.
Para obtener este �� recordemos que es el valor de � tal que la curva de indiferencia del tipo
B que pasa por el contrato del MENU es tangente a la línea de isobene�cio agrupador. La
línea de isobene�cio agrupador tiene pendiente �1����� y pasa por el punto sin seguro (100; 80).
Luego, la ecuación de la recta es:
w2 = 80 +
1� ��
��
� 100� 1� ��
��
w1
y la curva de indiferencia del tipo B es:�
1� 3
10
�
p
w1 +
3
10
p
w2 = 9: 685 765
La pendiente de cada una de estas curvas es, respectivamente:
�1� ��
��
y � 7
p
w2
3
p
w1
en el punto de tangencia, se igualan:
1� ��
��
=
7
p
w2
3
p
w1
y utilizando esta igualdad y las dos curvas, obtenemos w1, w2 y �� en dicho punto de tangencia.
Luego, a partir del valor encontrado para ��, podemos obtener ��. Resolviendo el sistema:8><>:
w2 = 80 +
1���
�� � 100�
1���
�� w1�
1� 310
�p
w1 +
3
10
p
w2 = 9: 685 765
1���
�� =
7
p
w2
3
p
w1
�� = 0:312 958 1; w1 = 97: 234 28; w2 = 86: 071 64
de donde
��
3
10
+ (1� ��) 4
10
= 0:312 958 1
�� = 0:870 419
Luego, dado que � = 0:5 < ��, concluimos que el menú de contratos es el equilibrio separador
de este juego.
6