Ayudantía 7

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Ayudant́ıa 7
Producción
EAE211-B
Segundo semestre, 2018
Profesor : Felipe Zurita
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
1 Ejercicios
1. Suponga una economı́a compuesta por un consumidor representativo cuyas preferencias están
representadas por
u(x, T ) = a log(x) + (1− a) log(T )
donde x es el consumo del bien y T son las horas ocio. El consumidor está dotado de una
unidad de trabajo (L = 1) y una tecnoloǵıa de producción del bien x representada por:
x = aL
El precio del bien x es p y el precio del trabajo es w. Encuentre el equilibrio en la economı́a.
R: La firma resuelve
max
L
p · (aL)− wL
La CPO es
pa = w ⇒ w
p
= a
Esto básicamente significa que si wp > a la demanda por trabajo es 0, si
w
p < a la demanda
por trabajo es infinito y cuando wp = a va a ser algo.
El problema del consumidor es
max
x,T
a log(x) + (1− a) log(T )
s.a px = Lw
Reescribiendo la restricción presupuestaria, tenemos que
px = Lw ⇒ px = (1− T )w ⇒ px + Tw = w
El problema es
max
x,T
a log(x) + (1− a) log(T )
s.a px + Tw = w
1
La CPO es
ux
uT
=
a
x
(1−a)
T
=
p
w
⇒ x
T
=
aw
(1− a)p
Como wp = a tenemos que
x = T
a2
1− a
⇒ a(1− T ) = T a
2
1− a
Con esto,
T ∗ = 1− a ; L∗ = A y x∗ = a2
De esta manera, el equilibrio es(
x∗ = a2 , L∗ = a , T ∗ = 1− a , w
p
= a
)
2. (Eficiencia en producción) Suponga una economı́a con dos bienes l ∈ {1, 2}, donde la
función de producción agregada de la industria de cada bien l es
Q1 = K1L1
y la segunda de acuerdo a
Q2 = K
1
4
2 L
3
4
2
La dotación agregada de capital y de trabajo son K̄ y L̄. Encuentre las asignaciones de
capital y trabajo eficientes.
R: Las tasas marginales de sustitución técinca para las industrias 1 y 2 son
TMST 1K,L =
K1
L1
2
TMST 2K,L = 3
K2
L2
Igualando ambas, se tiene que
K1
L1
= 3
K2
L2
=
3(K̄ −K1)
L̄− L1
Resolviendo para K1 se tiene las asignaciones de capital y trabajo eficientes
K1(L̄− L1) = 3K̄L1 − 3K1L1 ⇒ K1 =
3K̄L1
L̄ + 2L1
3. (Economı́a 1x2x1) Suponga una economı́a con dos bienes (l ∈ {1, 2}) generados a partir
de un único insumo, el trabajo L. La función de producción agregada de la industria de cada
bien l es
Q1 =
√
L1
Q2 =
1
2
√
L2
La dotación total de L es L̄ = 100.
(a) Encuentre la FPP. Calcule la pendiente de la FPP.
R: De la función de producción del bien 1, tenemos que
L1 = Q
2
1
y de la función de producción del bien 2:
L2 = 4Q
2
2
3
Dado que L1 + L2 = L̄ = 100 tenemos que
Q21 + 4Q
2
2 = 100 FPP
Derivando respecto a Q1 tenemos que
2Q1 + 8Q2
dQ2
dQ1
= 0
dQ2
dQ1
= − Q1
4Q2
< 0
(b) Suponga existe un consumidor representativo, cuyas preferencias están representadas
por
U = XY
donde X es el consumo del bien 1 e Y es el consumo del bien 2. Ilustre gráficamente el
efecto de un impuesto en el bien 2 de tamaño t en términos del bien bien 1.
R: La solución gráfica del problema es
4
Notar que inicialmente, las pendientes de la FPP y de la curva de indiferencia son las
mismas. Con un impuesto enel bien 2, ocurre que:
TMSSXY =
p1
p2(1 + t)
Por otro lado, la TMT es
TMTXY =
p1
p2
Luego,
TMSSXY =
TMTXY
1 + t
⇒ TMSSXY < TMTXY
5
Gráficamente, se tiene que la pérdida por el impuesto (DWL) es
4. (Economı́a 2x2x2) Considere una economı́a con dos personas (i ∈ {A,B}) y dos bienes
(l ∈ {1, 2}). La función de producción agregada de la industria de cada bien l es:
x1 = 4K1 + L1
x2 =
√
K2L2
6
donde Kl es el capital utilizado en la industria l y Ll es el trabajo utilizado en la industria
l. Las dotaciones individuales de factores de producción son LA = LB = 1 y KA = 2, KB = 1.
Las preferencias de cada individuo está representadas en las siguientes funciones de utilidad:
uA(x1A, x2A)) = x
3
1Ax2A
uB(x1B , x2B)) = x
2
1Bx2B
Resuelva el equilibrio competitivo de esta economı́a.
R: Sea p el precio del bien 2 en términos del bien 1 (bien numerario, es decir p1 = 1).
Además, sea
IA = wLA + rKA
IB = wLB + rKB
Del problema del consumidor,
max
x1i,x2i
ui(x1i, x2i))
s.a x1i + px2i = wL1 + rKi
se obtienen las siguientes demandas por los bienes:
x1A =
3
4
IA , x2A =
1
4p
IA , x1B =
2
3
IB , x2B =
1
3p
IB
Las firmas fijan w de acuerdo al valor del producto marginal del trabajo y el retorno del
capital al valor del producto marginal del capital:
maxLl,Klpl · xl − wLl − rKl
de donde se tiene
Industria 1: w = 1 y r = 4precio numerario de X
Industria 2: w =
p
2
√
K2
L2
y r =
p
2
√
L2
K2
Combinando estas ecuaciones, tenemos que
w
r
=
p
2
√
K2
L2
p
2
√
L2
K2
1
4
=
K2
L2
7
Con esto, podemos obtener el precio de equilibrio (p). Utilizando
w =
p
2
√
K2
L2
1 =
p
2
√
1
4
p = 4
Con esto podemos computar:
IA = wLA + rKA = 1× 1 + 4× 2 = 9
IB = wLB + rKB = 1× 1 + 4× 1 = 5
Con esto tenemos que:
x1A =
3
4
IA , x2A =
1
4p
IA , x1B =
2
3
IB , x2B =
1
3p
IB
x1A =
27
4
, x1B =
10
3
⇒ x1 =
121
12
, x2A =
9
16
, x2B =
5
12
⇒ x2 =
47
48
Ahora que conocemos la demanda por los bienes podemos encontrar la oferta de ambos.
Dado que K2L2 =
1
4 , tenemos que
x2 =
√
K2L2 = 2K2 ⇒ K2 =
x2
2
=
47
96
Luego, K1 = 3−K1 = 2 4796 .
Finalmente,
L1 = 4K1 =
47
24
⇒ L1 = 2− L2 =
1
24
8