Ayudantía 5

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Ayudant́ıa 5
Equilibrio general con incertidumbre
EAE211-B
Segundo semestre, 2018
Profesor : Felipe Zurita
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
1 Ejercicios
1. Suponga que las dotaciones iniciales, perfiles de consumo contingente, (c̄1 ; c̄2) son (100; 100)
para A y (200; 100) para B. Suponga además que la utilidad esperada de A y B es la de la
forma:
U(c1, c2) = 0.5
√
c1 + 0.5
√
c2
y que ellos enfrentan precios p̂1 y p̂2 para los activos puros que pagan en el estado 1 y 2
respectivamente. Notar que las probabilidades de cada eventos son comunes e iguales a 12
(a) Encuentre las demandas por activos puros de A y B.
R: El individuo A resuelve
max
{c1A,c2A}
0.5
√
c1A + 0.5
√
c2A
s.a p̂c1A + c2A = p̂ ¯x1A + ¯x2A donde p̂ ≡
p̂1
p̂2
La CPO del problema es √
c2A
c1A
= p̂⇔ c2A = p̂2c1A
Remplazando en la restricción presupuestaria, se tiene que:
p̂c1A + c2A = p̂ ¯x1A + ¯x2A
p̂c1A + p̂
2c1A = p̂ ¯x1A + ¯x2A
c1A =
p̂ ¯x1A + ¯x2A
p̂+ p̂2
c1A =
100p̂+ 100
p̂+ p̂2
Luego,
c2A = p̂
2c1A
= p̂2
(
100p̂+ 100
p̂+ p̂2
)
1
El individuo B resuelve
max
{c1B ,c2B}
0.5
√
c1B + 0.5
√
c2B
s.a p̂c1B + c2B = p̂ ¯x1B + ¯x2B donde p̂ ≡
p̂1
p̂2
La CPO del problema es √
c2B
c1B
= p̂⇔ c2B = p̂2c1B
Remplazando en la restricción presupuestaria, se tiene que:
p̂c1B + c2B = p̂ ¯x1B + ¯x2B
p̂c1B + p̂
2c1B = p̂ ¯x1B + ¯x2B
c1B =
p̂ ¯x1B + ¯x2B
p̂+ p̂2
c1B =
200p̂+ 100
p̂+ p̂2
Luego,
c2B = p̂
2c1B
= p̂2
(
200p̂+ 100
p̂+ p̂2
)
(b) Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economı́a, y comente brevemente: ¿en qué
sentido se da el intercambio?
R: El exceso de demanda por activos puros 1 es
E1(p̂) = c
∗
1A + c
∗
1B − (100 + 200)
=
100p̂+ 100
p̂+ p̂2
+
200p̂+ 100
p̂+ p̂2
− 300
El equilibrio walrasiano es un vector de precio y un vector de cantidades) tal que los
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individuos maximizan su utilidad sujeto a su presupuesto y
E1(p̂) = 0
100p̂+ 100
p̂+ p̂2
+
200p̂+ 100
p̂+ p̂2
− 300 = 0
100p̂+ 100
p̂+ p̂2
+
200p̂+ 100
p̂+ p̂2
= 300
300p̂+ 200
p̂+ p̂2
= 300
300p̂+ 200 = 300p̂+ 300p̂2
200 = 300p̂2
p̂ =
√
2
3
p̂ =
1
3
√
6
Remplazando los precios en los consumos individuales se tiene que:
{c1A, c2A, c1B , c2B} = {122.47; 81, 65; 177.53; 118.35}
Al graficar las curvas de indiferencia de ambos (notar que en la dotación inicial TMSSA =
1 y la TMSSB < 1), se obtiene la siguiente figura que explica el sentido del cambio:
(c) Suponga que p̂2 = 1, y que se transan además dos activos ordinarios: el primero entrega
1 unidad de consumo en s = 1 y 2 unidades en s = 2, y el segundo entrega 3 unidades
en s = 1 y 1 unidad en s = 2, ¿qué puede decir usted acerca del precio de equilibrio de
3
estos activos ordinarios?
R: Dado el precio de activo puro en s = 2, p̂2 = 1, tenemos que:
p̂ =
p̂1
p̂2
= p̂1
Luego,
p̂1 =
1
3
√
6
Para valorizar los dos activos ordinarios, los expresaremos en función de activos puros.
Luego, el activo ordinario 1 lo podemos expresar de la siguiente manera:
Activo 1 = 1 · (Activo Puro 1) + 2 · (Activo Puro 2)
Luego, el precio debe ser 1 activo puro 1 y 2 activos puros 2. Aśı,
pActivo1 = 1 ·
1
3
√
6 + 2 · 1
Análogamente,
Activo 2 = 3 · (Activo Puro 1) + 1 · (Activo Puro 2)
Luego, el precio debe ser 3 activos puros 1 y 1 activo puro 2. Aśı,
pActivo1 = 3 ·
1
3
√
6 + 1 · 1
2. Considere una economı́a que se enfrenta a dos posibles escenarios futuros, expansión (s =
1) y recesión (s = 2) y en la que hay dos individuos (A y B), los cuales asignan la misma
probabilidad de ocurrencia a cada estado con π1A = π1B = 0.5. El individuo A es propietario
de una empresa que le irá muy bien si la economı́a entra en expansión, mientras que el indi-
viduo B, en cambio, es propietario de una empresa que le irá muy bien si la economı́a entra
en recesión. Por lo tanto, ambos estarán dispuestos a comerciar acciones de sus empresas
para diversificar el riesgo asociado al negocio de cada uno.
Las utilidades esperadas de A y B tienen respectivamente la siguiente forma:
UA(c1, c2) = 0.5c1A + 0.5c2A
UB(c1, c2) = 0.5 ln(c1B) + 0.5 ln(c2B)
Suponga que las acciones que posee inicialmente cada individuo les permiten tener el siguiente
perfil de consumo contingente:
¯c1A = 100 ; ¯c2A = 0
¯c1B = 0 ; ¯c2B = 100
¿Cómo será la asignación eficiente y de equilibrio en esta economı́a? Fundamente claramente
su respuesta.
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R: Para encontrar las asignaciones eficientes nos centramos en la curva de contrato. Dada
las formas funcionales, esto se da en todos los puntos tal que:
TMSSA = TMSSB
1 =
c2B
c1B
Luego, esto se da en todos los puntos tal que c2B = c1B . Dado que la caja es cuadrada
entonces la curva de contrato es la diagonal.
Dado que el precio de equilibrio es igual a la TMSS evaluado en la curva de contrato, se
tiene:
p = TMSSB =
c2B
c1B
= 1
Luego, para obtener las asignaciones de equilibrio se resuelve:
max
{c1B ,c2B}
0.5 log(c1AB) + 0.5 log(c2B)
s.a p̂c1B + c2B = p̂ · 0 + 100 donde p̂ ≡
p̂1
p̂2
La CPO del problema es √
c2B
c1B
= p̂⇔ c2B = p̂c1B
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Remplazando en la restricción presupuestaria, se tiene que:
p̂c1B + c2B = 100
p̂c1B + p̂c1B = 100
c1B =
100
2p̂
c1B =
100
2
c1B = 50
Luego, con p̂ = 1 tambien se tiene que c2B = 50. De esta manera, las asignaciones de
equilibrio son:
{c1A, c2A, c1B , c2B} = {50; 50; 50; 50}
Esto se detalla en la siguiente figura:
La intuición se debe a que el individuo A es neutral al riesgo mientras que el individuo B
es averso al riesgo. Luego, las asignaciones eficientes y de equilibrio van a ser tales que se
elimine el riesgo al individuo averso al riesgo dejándolo en su ĺınea de certeza.
3. Considere una economı́a de individuos aversos al riesgo con preferencias del tipo von Neumann-
Morgenstern (es decir, representables por funciones de utilidad esperada).
(a) ¿Es posible que los mercados de activos puros le permitan a ambos individuos asegurarse
completamente?
R: Si existen activos puros para todos los estados, entonces cualquier individuo puede
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cambiar lo que tiene por un perfil de consumo libre de riesgo. Esto, porque puede vender
su dotación comprometiéndose a entregarla (condicionando en todos los estados), y
ocupar lo recaudado para comprar promesas para los estados que desee. En particular,
puede comprar el mismo número de promesas para cada estado. A nivel agregado esto
también seŕıa posible, siempre que no exista riesgo agregado. Si, en cambio, existiera
riesgo agregado, aún cuando cada individuo podŕıa comprar un perfil de consumo sin
riesgo, no querŕıa hacerlo porque en equilibrio los precios debeŕıan convencer a los
individuos a consumir lo que hay.
(b) ¿Es posible que, sin embargo, ellos prefieran no sólo no asegurarse, sino que al contrario,
escojan tomar aún más riesgo que el que originalmente teńıan?
R: Śı. Por ejemplo, si no existe riesgo agregado pero todos tienen creencias distintas,
entonces no existen precios que convenzan simultáneamente a todos de escoger un perfil
de consumo libre de riesgo. Esto, porque cada individuo demandaŕıa un perfil sin
riesgo si y sólo si los precios impĺıcitos de los activos puros coincidieran con la razón de
probabilidades. Se sigue que en la presencia de creencias heterogéneas, los precios que
convencen a uno no convencen al resto.
4. La persona A solamente valora el consumo en el estado 1, mientras que la persona B so-
lamente valora el consumo en el estado 2. La dotación inicial de perfiles contigentes son
( ¯x1A, ¯x2A, ¯x1B , ¯x2B).
(a) Encuentre las demandas por activos puros.
R: La restricción presupuestaria del individuo A es
p̂c1A + c2A = p̂ · ¯x1A + ¯x2A
Dado que A solamente valora el consumo en el estado 1, destina todo su presupuesto al
consumo en el estado 1. Luego,
c∗1A =
p̂ · ¯x1A + ¯x2A
p̂
= ¯x1A +
¯x2A
p̂
c∗2A = 0
La restricción presupuestaria del individuo B es
p̂c1B + c2B = p̂ · ¯x1B + ¯x2B
Dado que B solamente valora el consumo en el estado 2, destina todo su presupuesto al
consumo en el estado 2. Luego,
c∗2B = p̂ · ¯x1B + ¯x2B
c∗1B = 0
(b) Encuentre lasfunciones de exceso de demanda.
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R: Se define E1(p̂) como el exceso de demanda por el consumo en el estado 1:
E1(p̂) = (c
∗
1A + c
∗
1B)− ( ¯x1A + ¯x1B)
=
(
¯x1A +
¯x2A
p̂
+ 0
)
− ( ¯x1A + ¯x1B)
=
¯x2A
p̂
− ¯x1B
Se define E2(p̂) como el exceso de demanda por el consumo en el estado 2:
E2(p̂) = (c
∗
2A + c
∗
2B)− ( ¯x2A + ¯x2B)
= (0 + p̂ · ¯x1B + ¯x2B)− ( ¯x2A + ¯x2B)
= p̂ · ¯x1B − ¯x2A
(c) Muestre que se cumple la ley de Walras.
R: La ley de Walras señala que
p̂E1 + E2 = 0
Luego,
p̂E1 + E2 = p̂
(
¯x2A
p̂
− ¯x1B
)
+ p̂ · ¯x1B − ¯x2A
= ( ¯x2A − p̂ ¯x1B) + p̂ · ¯x1B − ¯x2A
= 0
Luego, se cumple la ley de Walras.
(d) Encuentre el equilibrio walrasiano. Ilústrelo en la caja de Edgeworth y en el gráfico de
exceso de demanda. ¿En qué sentido es estable este equilibrio?
R: Para encontrar el precio de equilibrio se resuelve:
E1(p̂) = 0
¯x2A
p̂
− ¯x1B = 0
¯x2A
p̂
= ¯x1B
p̂∗ =
¯x2A
¯x1B
Para encontrar las asignaciones de equilibrio tenemos que el individuo A:
c∗1A = ¯x1A +
¯x2A
¯x2A
¯x1B
= ¯x1A + ¯x1B
= X̄1
c∗2A = 0
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Por otro lado, el individuo B
c∗2B =
¯x2A
¯x1B
· ¯x1B + ¯x2B
= ¯x2A + ¯x2B
= X̄2
c∗1B = 0
Luego, el equilibrio walrasiano es un precio p̂ = ¯x2A¯x1B donde
{c1A, c2A, c1B , c2B} = {X̄1; 0; 0; X̄2}
Gráficamente en la caja de Edgeworth se tiene:
Gráficamente en el plano exceso de demanda y precio se tiene:
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(e) Suponga que p̂2 = 1, y que se transan además dos activos ordinarios:[
r1A r1B
r2A r2B
]
=
[
1 1
1 0
]
Calcule el precio de los activos.
R: Con p̂2 = 1 tenemos que p̂1 =
¯x2A
¯x1B
. Luego, el activo ordinario 1 (R1) es la suma de
un activo puro para el estado 1 y un activo puro para el estado 2. Aśı,
pR1 =
¯x2A
¯x1B
+ 1
Análogamente, el activo ordinario 2 es básicamente un activo puro del estado 1. Luego,
pR2 =
¯x2A
¯x1B
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