Ayudantía 1

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Solución
Curvas de Contrato
EAE211-B
Profesor : Felipe Zurita
Ayudante : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
Ejercicios
1. (Contract Curves) Para cada uno de los siguientes individuos (A ; B), dos bienes (x1, x2),
en una economı́a de intercambio con una dotación total de (w1, w2), resuelva y dibuje las
curvas de contrato. (No olvide las soluciones de esquina y realice un análisis para los distintos
parámentros si es necesario)
(i) UA = xa1x2 y U
B = x1x2, con a > 0.
Computamos la TMS para cada consumidor
TMSAx1,x2 =
ax2
x1
y TMSAx1,x2 =
x2
x1
Igualando, tenemos
ax2
x1
=
x2
x1
Sabemos que xB2 = w2 − xA2 y xB1 = w1 − xA1 , por lo que
axA2
xA1
=
w2 − xA2
w1 − xA1
Resolviendo para xA2 , tenemos que
xA2 =
w2x
A
1
a(w1 − xA1 ) + xA1
1
Figure 1: Curva de contrato para distintos valores de a
(ii) UA = ax1 + x2 y U
B = x1 + x2, con a > 0.
Calculando las TMS para cada consumidor tenemos,
TMSAx1,x2 = a y TMS
B
x1,x2 = 1
Luego, si a > 1 la curva de indiferencia del consumidor A es más inclinada que para el
consumidor B. Esto implica que la curva de contrato son los ĺımites inferiores derechos
en la caja de edgeworth (dibujadas en azul). Si a < 1, luego la curva de indiferencia del
consumidor A es menos inclinada que el consumidor B, luego, la curva de contrato son
los ĺımites superiores izquierdos en la caja de edgeworth (dibujadas con color rojo). Si
a = 1, luego es toda la caja (dibujada con color gris).
Figure 2: Curva de contrato para distintos valores de a
(iii) UA = UB = ln(x1) + x2
2
Las preferencias son convexas, por lo que resolvemos igualando las TMS. Calculando
las TMS para cada individuo, tenemos
TMSAx1,x2 =
1
xA1
y TMSBx1,x2 =
1
xB1
Igualando tenemos
1
xA1
=
1
xB1
⇔ xA1 = xB1
Dado que xA1 + x
B
1 = w1, tenemos que
xA1 = x
B
1 =
w1
2
Para las soluciones de esquina, cuando xA2 = 0 y x
A
1 ≤ w12 o cuando x
B
2 = 0 y x
A
1 ≥ w12
no tenemos tangencia, pero siguen siendo asignaciones pareto eficientes.
Figure 3: Curva de contrato
(iv) UA = min{ax1, x2} y UB = min{x1, x2}, con a > 0.
Para el consumidor B es eficiente tener xB1 = x
B
2 , y para el consumidor A es eficiente
tener axA1 = x
B
2 . Sin pérdida de generalidad considere el caso cuando w1 > w2 (el otro
caso w1 < w2 es equivalente), luego, si a =
w2
w1
la curva de contrato es la siguiente
3
Figure 4: Curva de contrato cuando a = w2w1
Si a > w2w1 la curva de contrato es la siguiente
Figure 5: Curva de contrato cuando a > w2w1
Si a < w2w1 la curva de contrato es la siguiente
4
Figure 6: Curva de contrato cuando a < w2w1
(v) UA = min{x1, x2} y UB =
√
x1 +
√
x2 con w2 > w1.
En este caso, la TMS del individuo B es
TMSBx1,x2 =
(
x2
x1
) 1
2
Para el individuo A no existe TMS, sin embargo sabemos que para el es eficiente xA1 =
xA2 . Luego, la curva de contrato es la que aparece en la siguiente figura. Note que la
curva de contrato la ĺınea roja y pertence solo al interior de la caja (no llega a la otra
esquina). Las asignaciones que estan en el tramo derecho superior (i.e. en aquellos
donde A tiene más del bien 2 y B no tiene del bien 1) no son eficientes ya que B puede
estar estar mejor y A no peor, dándole más del bien 2 al individuo B.
Figure 7: Curva de contrato
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