Conceptos basicos de probabilidad

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3.1 	 INTRODUCCI6N 3.5 TEOREMA DE BAYES. PRUEBA 
DE CLASIFICACI6N. 
3.2 	 DOS PERSPECTIVAS DE LA SENSIBIUDAD. 
PROBABILIDAD: OBJETIVA Y ESPECIFICIDAD Y V ALORES 
SUBJETIVA QUE PREDICEN POSITIVIDAD 
Y NEGATIVIDAD 
3.3 	 PROPIEDADES ELEMENTALES 
DE LA PROBABIUDAD 3.6 RESUMEN 
3.4 	 CALCULO DE LA PROBABIUDAD 
DE UN EVENTO 
3.1 INTRODUCCION 
La teorfa de la probabilidad es el fundamento para la inferencia estadistica. Sin 
embargo, esta teoria, que es una rama de las matematicas, no es el tema principal 
de este libro, por 10 que solo se estudiara.n los conceptos mas importantes. Los 
estudiantes que quieran abundar en este tema, pueden consultar los libros de 
probabilidad disponibles en bibliotecas de muchos colegios y universidades. Se 
recomienda consul tar las obras de Gut (1), Isaac (2) y Larson (3). Los objetivos de 
este capitulo son que el estudiante aumente su capacidad matematica en el area 
de la probabilidad y brindarle ayuda en la comprension de los conceptos mas 
importantes. EI avance a 10 largo de este capitulo contribuira de manera importante 
a lograr el dominio de los procedimientos de la inferencia estadistica que se 
presentan en el resto dellibro. 
El concepto de probabilidad no es ajeno a los trabajadores de la salud, 
puesto que 10 encuentran frecuentemente en la comunicacion diaria. Por 
ejemplo, se puede escuchar que un medico dice que un paciente tiene una 
oportunidad de sobrevivir a una operacion de 50-50. 0 bien, otro medico puede 
decir que esta 95 por ciento seguro de que un paciente tiene una enfermedad en 
particular. Una enfermera de salud publica puede decir que 9 de cada 10 
57 
58 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BlisICOS DE PROBABILiSTICA 
pacientes suspendenin su cita. Tal como 10 muestran estos ejemplos, mucha gente 
expresa la probabilidad en terminos de porcentajes. Al abordar con la 
probabilidad matematicamente, es mas conveniente expresarla como fraccion (los 
porcentajes resultan de la multiplicacion de las fracciones por 100). De esta 
forma se mide la probabilidad de ocurrencia de alglin hecho mediante un 
numero entre cero y uno. Para el hecho mas probable, el numero es mas cercano 
a uno, y para el hecho menos probable, el numero es mas cercano a cero. Un 
hecho que no puede ocurrir tiene una probabilidad de cero, y un evento cuya 
ocurrencia es segura tiene probabilidad de uno. 
Los investigadores en ciencias de la salud continuamente se preguntan si los 
resultados de sus esfuerzos se dieron solo por casualidad 0 si alguna fuerza actuo 
para producir los efectos observados. Por ejemplo, suponga que seis de cada 
10 pacientes vfctimas de una enfermedad se curan despues de recibir cierto 
tratamiento. ~Es probable que hubiera ocurrido este porcentaje de cura sin que 
los pacientes hubieran recibido el tratamiento 0 es esto evidenci<;t de un 
verdadero efecto curativo por parte del tratamiento? Se vera mas adelante que 
tales preguntas pueden contestarse a traves de la aplicacion de conceptos y leyes 
de probabilidad. 
3.2 DOS PERSPECTIVAS DE lA 
PROBABllIDAD: OBJETIVA YSUBJETIVA 
Hasta muy recientemente, los estadisticos y matematicos ensefiaban la probabili­
dad como un fenomeno objetivo, derivado de procesos objetivos. 
El concepto de probabilidad objetiva se puede dividir bajo los tftulos de 1) proba­
bilidad cltisica 0 "a priori", y 2) frecuencia relativa 0 "a posteriori". 
Probabilidad cl6sica La probabilidad clasica data del siglo XVII en los trabajos 
de dos matematicos, Pascal y Fermat. Gran parte de esta teo ria fue creada al intentar 
resolver problemas relacionados con los juegos de azar, como el juego de los dados. 
Algunos ejemplos tornados de dichos juegos ilustran perfectamente los principios de 
la probabilidad c1asica. Par ejemplo, si un dado normal es lanzado, la probabilidad 
de que caiga un 1 es igual a 1/6, y es 10 mismo para los otros cinco lados. Si una 
carta es sacada al azar de un mazo bien barajado, la probabilidad de sacar un cora­
zon es de 13/52. Las probabilidades como estas se calculan a traves del razonamien­
to abstracto. No es necesario lanzar un dado 0 sacar una carta para calcular esas 
probabilidades. Allanzar un dado, se dice que cad a uno de los seis lados tiene igual 
probabilidad de aparecer, si no hay razon que favorezca a alguno de los seis lados. 
Analogamente, si no hay razon que favorezca el sacar alguna carta en particular, se 
puede decir que cad a una de las 52 cartas tiene la misma probabilidad de salir. La 
probabilidad se define en el sentido clasico como sigue: 
3.2 DOS PERSPECTIVAS DE LA PROBABILIDAD: OBJETIV A Y SUBJETlVA 59 
DEFINICION 
Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se 
excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m 
de estos eventos poseen una caracteristica E, la 
probabHidad de ocurrencia de E es igual a miN. 
Se lee P(E) como "la probabilidad de E". Esta definici6n se expresa como: 
P(E)=!!!:... (3.2.1)
N 
Probabilidad defrecuencia relativa El enfoque de frecuencia relativa de 
la probabilidad depende de la repetibilidad de algunos procesos y la capacidad 
de contar el numero de repeticiones, as! como el numero de veces que algun even­
to de interes ocurre. En este contexto, se puede definir la probabilidad de observar 
alguna caracteristica, E, de un evento como sigue: 
DEFINICION 
Si algun proceso es repetido un gran numero de veces, n, 
y si algun evento resultante, con la caracteristica E, 
ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia de 
E, min, es aproximadamente igual a la probabilidad de E. 
Para expresar esta definicion en forma compacta se escribe: 
P( E)= m (3.2.2) 
n 
Sin embargo, se debe tener en mente que, estrictamente hablando, min es s610 una 
estimacion de P(E). 
Probabilidad subjetiva En los primeros alios de la decada de 1950, L. J. 
Savage (4) dio un gran impulso a 10 que se conoce como probabilidad "personalistica" 
o subjetiva. Este enfoque sostiene que la probabilidad mide la confianza que un 
individuo tiene en la certeza de una proposici6n determinada. Este concepto no 
depende de la repetibilidad de ninglin proceso. De hecho, al aplicar este concepto de 
probabilidad, se puede calcular la probabilidad de un evento que s610 puede ocu­
rrir una vez, por ejemplo, la probabilidad de descubrir una cura para el cancer en 
los proximos diez aiios. 
Aunque el punto de vista subjetivo de la probabilidad ha gozado de gran 
popularidad, los estadisticos que tienen orientacion tradicional aun no la aceptan 
del todo. 
60 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS UASICOS DE PROBABILISTICA 
3.3 PROPIEDADES ELEMENTALES DE 
IA PROBABHIDAD 
En 1933 el matematico ruso A. N. Kolmogorov (5) formaliz6 el enfoque axiomatico 
de la probabilidad. Las bases de este enfoque estan inmersas en tres propiedades, de 
las que se deriva todo un sistema de teorfa de la probabilidad a traves del uso de la 
l6gica matematica. Estas tres propiedades son las siguientes: 
1. 	 Dado alglin proceso (0 experimento) con n resultados mutuamente excluyentes 
(llamados eventos), E]> E
2
, ••• , En, la probabilidad de cualquier evento Ei' es un 
numero no negativo. Es decir: 
P(E):?: 0 	 (3.3.1) 
En otras palabras, todos los eventos deben tener una probabilidad mayor 0 
igual acero, requerimiento l6gico en vista de la dificultad de concebir una probabi­
lidad negativa. Un concepto clave en el enundado de esta propiedad es el termino 
resultados mutua,mente excluyentes. Se dice que dos eventos son mutuamente exclu­
yentes si no pueden ocurrir en forma simultanea. 
2. 	La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes 
es igual a 1. 
P(E]) + ... + P(E,) = 1 	 (3.3.2) 
Esta es la propiedad de exhaustividad, y se refiere a que el observador de un 
proceso probabilfstico debe contemplar todos los eventos posibles, y cuando se to­
man todos, su probabilidad total es igual a 1. El requerimiento de que los eventos 
sean mutuamente exduyentes, especifica que los eventos E1, E2, ••• , En no se traslapen. 
Es decir, no puedenocurrir dos de estos eventos al mismo tiempo. 
3. Considere dos eventos mutuamente excluyentes, Ei y E.. La probabilidad de 
la ocurrencia de 0 E
j 
es igual a la suma de sus probabflidades individuales. 
(3.3.3) 
Suponga que dos eventos no son mutuamente excluyentes, es decir, que pue­
den ocurrir al mismo tiempo. En un intento por calcular la probabilidad de ocu­
rrencia de Ei 0 Ej' el problema de traslape ocurre y entonces el procedimiento podrfa 
volverse muy complicado. 
3.4 CALCULO DE LA PROBABIIJDAD DE UN EVENTO 	 61 
3.4 cALCllLO DE IA PROBABllIDAD 
DE llN EVENTO 
A continuacion se utilizan los conceptos y las tecnicas de las secciones anteriores 
para calcular la probabilidad de eventos espedficos. Se presentanln ideas adiciona­
les seglin sea necesario. 
FJEMPLO 3.4.1 
En un articulo de la revista American Journal ofDrugs and Alcohol Abuse, Erickson y 
Murray (A-I) afirman que las mujeres estan consideradas como un grupo con ries­
go especial de adiccion a la cocaina, y que se ha sugerido que sus problemas con la 
cocaina son mayores que en los hombres. Con base en la revision de textos especia­
lizados y en el anaUsis de los resultados de un estudio original, estos investigadores 
argumentan que no hay evidencia de que el uso de cocaina en las mujeres exceda al 
de los hombres, 0 que el indice de uso crezca mas rapido en comparacion con el de 
los hombres, 0 que experimenten mas problemas. Los sujetos de estudio de Erickson 
y Murray comprenden una muestra de 75 hombres y 36 mujeres. Los autores afir­
man que los individuos son una muestra bastante representativa de adictos tipicos 
adultos sin tratamiento ni encarcelados. La tabla 3.4.1 muestra la frecuencia de uso 
de la cocaina en el tiempo de vida y el sexo de los individuos. Suponga que se 
escoge a uno de enos aleatoriamente de entre la muestra. ~Que probabilidad existe 
de que sea hombre? 
Soludon: 	Para propositos de ejemplificacion del calculo de las probabilidades, se 
considera a este grupo de III individuos como el grupo total de interes. 
Es decir, para este ejemplo, se considera a los individuos como una po­
blacion. Se supone que hombres y mujeres son categorias mutuamente 
excluyentes, y que la probabilidad de seleccionar a cualquier persona es 
igual ala probabilidad de seleccionar a cualquier otra persona. Se defi-
TABlA 3.4.1 Frecuencia de consumo de cocaina por genero 
entre adultos adictos 
Frecuencia de uso de cocafna Del sexo Del sexo 
en el periodo de vida masculino (M) femenino (F) Total 
1-19 veces (A) 32 7 39 
20-99 veces (B) 18 20 38 
100 + veces (C) 25 9 34 
111Total 	 75 36 
FUENTE: Cortesfa de Marcel Dekker, Inc. Reimpresi6n de Patricia G. Erickson y Glenn F. Murray, 
"Sex Differences in Cocaine Use and Experiences: A Double Standard?", American Journal of 
Drug and Alcohol Abuse, 15,135-152. 
62 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PBOBABILISTICA 
ne la probabilidad deseada como el numero de individuos con la carac­
terfstica de interes (hombre) dividida entre el total de individuos. Se 
puede escribir en notaci6n probabilistica como sigue: 
P(M) 	 total de hombres Ito tal de individuos 
75/111 .6757 • 
Probabilidad condicional En ocasiones, el con junto de todos los "resulta­
dos posibles" puede constituir un subconjunto del con junto universal. En otras pa­
Iabras, la poblaci6n de interes se puede reducir mediante algun conjunto de 
condiciones, no aplicables a la poblaci6n total. Cuando se calculan las probabilida­
des con un subconjunto del con junto universal como denominador, el resultado es 
una probabilidad condicional. 
Ala probabilidad calculada en el ejemplo 3.4.1, por ejemplo, se Ie puede consi­
derar como una probabilidad condicional, debido a que el tamano del con junto uni­
versal sirvi6 como denominador. No hubo condiciones impuestas para restringir el 
tamaiio del denominador. Es posible pensar que esta probabilidad es una probabilidad 
marginal, porque uno de los totales marginales se utiliz6 como numerador. 
En la tabla 3.4.1 se puede ver el concepto de probabilidad condicional. 
EJEMPLO 3.4.2 
Suponga que se escoge aleatoriamente a un individuo de entre los III y se encuen­
tra que es un individuo del sexo masculino (M). ~Cual es la probabilidad de que este 
individuo haya consumido cocaina 100 veces 0 mas durante su vida (C)? 
Soluci6n: Ya no es importante saber el numero total de individuos, porque, al se­
leccionar a un individuo del sexo masculino, los individuos del sexo fe­
menino son eliminados. Entonces, se puede definir la probabilidad 
deseada como: ~Que probabilidad existe de que un individuo haya con­
sumido cocaina 100 veces 0 mas (C) durante su tiempo de vida, dado 
que el individuo seleccionado es del sexo masculino (M)? Esta es una 
probabilidad condicional y se escribe como P(C 1M), donde la linea ver­
tical se lee como "dado". Los 75 individuos del sexo masculino se vuel­
yen el denominador de esta probabilidad condicional, y 25, el numero 
de individuos del sexo masculino que consumieron cocaina 100 veces 0 
mas durante su tiempo de vida, se vuelve el numerador. Por 10 tanto, la 
probabilidad deseada es: 
P(CIM) 25/75 = .33 • 
Probabilidad conjunta Algunas veces se quiere encontrar la probabilidad de 
que un individuo seleccionado aleatoriamente a partir de un grupo de individuos po­
sea dos caracterfsticas al mismo tiempo. A esta probabilidad se Ie conoce como probabi­
lidad conjunta. El cilculo de la probabilidad conjunta se ejemplifica a continuaci6n: 
EJEMPLO 3.4.3 
En referencia a la tabla 3.4.1, ~cual es la probabilidad de que una persona selecciona­
da aleatoriamente de entre los III individuos sea del sexo masculino (M) y que sea 
una persona que consumi6 cocaina 100 veces 0 mas durante su tiempo de vida (C)? 
63 3.4 CALCULO DE LA PROBABIUDAD DE UN EVENTO 
Soludon: La probabilidad buscada se puede escribir en notacion simbolica como 
P(M n C), donde el sfmbolo n se lee como "interseccion" 0 "y". La ex­
presion M n C indica que la condiciones My C son una ocurrencia con­
junta. El mlmero de individuos que satisfacen ambas condiciones deseadas 
es 25, y se encuentran en la tabla 3.4.1 en la interseccion etiquetada 
como columna M y renglon C. Puesto que la seleccion se realiza con el 
total de individuos del con junto, el denominador es Ill. De tal manera 
que la probabilidad se escribe como: 
P(M n C) 25/111 = .2252 • 
Regia de la multiplicaci6n La probabilidad se puede calcular a partir de 
otras probabilidades. Por ejemplo, la probabilidad conjunta se puede calcular como 
el producto de una probabilidad marginal y una probabilidad condicional adecua­
das. A esta relacion se Ie conoce como regia de la multiplicaci6n de probabilidad. Se 
ilustra con el siguiente ejemplo: 
EJEMPLO 3.4.4 
Se pretende calcular la probabilidad con junta de seleccionar un individuo del sexo 
masculino (M) con una frecuencia de consumo de cocafna de 100 veces 0 mas (C) 
durante toda su vida, a partir del conocimiento de dos probabilidades convenien­
tes, una marginal y otra condicional. 
Soludon: La probabilidad buscada es P(M n C). La probabilidad marginal ya esta 
calculada como P(M) 75/111 .6757, Yuna probabilidad condicional 
es P(CiM) = 25/75 .3333. Entonces sucede que estas son las probabi­
lidades marginal y condicional adecuadas para calcular la probabilidad 
conjunta deseada que se puede calcular como: P(M n C)= P(M)P(CiM) 
= (.6757)(.3333) .2252. Observe que esto es 10 que se esperaba: el 
mismo resultado obtenido anteriormente para P(M n C). • 
Se puede afirmar que la regIa de la multiplicacion en terminos generales es como 
sigue: Para cualesquiera dos eventos A y B, 
peA n B) = P(B)P0IB), si P(B):;: 0 (3.4.1 ) 
Para los mismos dos eventos A y B, la regIa de multiplicacion tambien se escribe 
como peA n B) = P(A)P(B IA), si P0) :;: o. 
Es posible ver a traves de operaciones algebraicas que la regIa de la multipli­
cacion, establecida en la ecuacion 3.4.1, se puede utilizar para encontrar una de las 
tres probabilidades expresadassi se conocen las otras dos. Por ejemplo, se puede 
encontrar la probabilidad condicional P01 B) dividiendo peA n B) entre PCB). Esta 
relacion permite defmir formalmente la probabilidad condicional como sigue: 
64 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA 
DEFINICION 
La probabilidad condicional de A dado B es igual a la 
probabilidad de A (j B dividida entre la probabilidad de 
B, siempre que la probabilidad de B sea diferente de 
cero. 
Esto es: 
P(A IB)= P(A (I B) , P(B):f; 0 (3.4.2) 
P(B) 
Se ilustra el uso de la regIa de multiplicad6n para calcular la probabilidad condi­
donal con el siguiente ejemplo: 
EJEMPl"O 3.4.5 
Se pretende utilizar la ecuaci6n 3.4.2 y los datos de la tabla 3.4.1 para enconttar la 
probabilidad condidonal P(C1M). 
Soludon: De acuerdo con la ecuad6n 3.4.2, 
P(C 1M) = P(C (I M)/P(M) • 
Previamente, se obtuvo P(C (I M) P(M (I C) = 25/111 .2252. Tambien, se 
determin6 que P(M) 75/111 = .6757. Con estos resultados se puede calcular 
P(C 1M) .2252/.6757 .3333, el cual, tal como se esperaba, es el mismo resultado 
que se obtuvo al utilizar las frecuencias directamente de la tabla 3.4.1. 
Regia de fa adicion La tercera propiedad de la probabilidad dada con ante­
rioridad afirma que la probabilidad de la ocurrencia de uno de los dos eventos 
mutuamente excluyentes es igual a la suma de sus probabilidades individuales. Su­
ponga, por ejemplo, que se escoge aleatoriamente a una persona de entre las III 
representadas en la tabla 3.4.1. ~Cual es la probabilidad de que esta persona sea 
del sexo masculino (M) 0 del sexo femenino (F)? Se expresa esta probabilidad con 
los simbolos P(M U F), donde el simbolo u se lee como "uni6n" u "0". Puesto que los 
dos generos son mutuamente excluyentes, P(M u P(M) + P(F) = (75/111) + 
(36/111) = .6757 + 3243 = 1. 
~y si los dos eventos no fueran mutua mente excluyentes? En este caso se uti­
liza la regIa de la adici6n, la cual se enuncia como sigue: 
DEFINICION 
Dados dos eventos A y B, la probabilidad de que ocurra el 
evento A, el evento B 0 ambos es igual a la probabilidad 
del evento A mas la probabilidad del evento B, menos la 
probabilidad de que ocurran simultaneamente. 
3.4 CAI;.CULO DE LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO 
La regIa de la adici6n se puede escribir como sigue: 
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A (l B) (3.4.3) 
Para ilustrar el uso de la regIa dela adici6n se presenta el siguiente ejemplo. 
FJEMPLO 3.4.6 
Si se escoge aleatoriamente a una persona de los III individuos representados en 
la tabla 3.4.1, ~cUiil es la probabilidad de que esa persona sea del sexo masculino 
(M) 0 de que haya consumido cocafna 100 veces 0 mas durante su tiempo de vida 
(G) 0 ambas? . 
Soluci6n: La probabilidad que se busca es P(M u C). Con la regIa de adici6n 
segUn se expresa en la ecuaci6n 3.4.3 esta probabilidad se puede escri­
bir como P(M u C) = P(M) + P(C) - P(M (l C). Ya se sabe que P(M) = 
75/111 =.6757 YP(M (l C) = 25/111 = .2252. De la informaci6n de la 
tabla 3.4.1 se calcula P(C) 34/111 .3063. AI sustituir estos resulta­
dos en la ecuaci6n para P(M u C) se tiene P(M u C) = .6757 + .3063 ­
.2252 = .7568. • 
Observe que 25 individuos que cumplen ambas condiciones: ser del sexo masculino 
y haber consumido cocafna 100 veces 0 mas, esUin induidos entre los 75 individuos 
que son del sexo masculino, asf como en los 34 individuos que consumieron cocafna 
100 veces 0 mas. Dado que, en el calculo de la probabilidad, estos 25 se agregaron 
en el numerador dos veces, tienen que restarse una vez para superar los efectos de 
duplicaci6n 0 traslape. 
Eventos independientes Suponga que en la ecuaci6n 3.4.1 se dice que el 
evento B ya ocurri6, sin que este hecho afecte la probabilidad deA. Es decir, supon­
ga que la probabilidad del evento A es el mismo a pesar de que ocurra 0 no el 
evento B. En esta situaci6n, P(A IB) = prAY. En tal caso se dice que los eventosA y B 
son eventO$ independientes. Por 10 tanto, la regia de la multiplicaci6n para dos eventos 
independientes se Pllede escribir como sigue: 
peA u B) = P(B) P(A); P(A) ;r0, P(B);r 0 (3.4.4) 
Asf, se observa que si dos eventos son independientes, la probabilidad de que 
ocurran conjuntamente es igual al producto de las probabilidades de sus ocurren­
cias individuales. 
Advierta que d:tando dos eventoscon probabilidades diferentes de cero son 
independientes. cada una de las siguientes sentenciases verdadera: 
P(A IB) = P(A), P(B IA) ::: P(B), P(A (l B) = P(A)P(B) 
Dos eventos no son independientes a menos que todas. estas afirmaciones sean 
ciertas. Es importante estar tonscientes de que los terminos independiente y mu­
tuamente exclriyente no significan la misma cosa. . ' 
66 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA 
Con e1 siguiente ejemplo se ilustra el concepto de independencia. 
EJEMPLO 3.4~7 
En un grupo de preparatoria, que consta de 60 mqjeres y 40 varones, se observa 
que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Si un estudiante es e1egido aleatoriamente, 
la probabilidad de que el estudiante use lentes, peE), es 401100, 0 .4. 
a) 	 ~Cwil es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente use 
letHes dado que es un estudiante varon? 
Solucion: 	Con la formula para calcular la probabilidadcondicional se obtiene como 
resultado: 
P(EIB): P(EnB) = 16/100 =.4 
PCB) 40/100 
De esta forma, la informacion adicional de que el estudiante es un varon 
no altera la probabilidad de que el estudiante use lentes, ypeE) = peE I 
B). Se puede decir que los eventos "ser varon" y "usar lentes" en ese 
grupo, son independientes. Se puede mostrar que los eventos "usar len­
tes", E, y "no servaron", B, tambien sonindependientes: 
peE IB) P(EnB) = 24/100 ",,24 =.4 
PCB) 60/100 60 
b) 	 ~Cmil es la p~babilidad de que ambos eventos, queel estudiante use lentes y 
sea un varon, ocurran simultaneamente? . 
. Soiucion: Con el uso'de Ia regIa dada enla ecuadon3.4.1 setiene: 
PCE n B) P(B)P(EIB) 
pero, tal como ya se mostro, los eventos E yB son iildependientes, enton­
ces, se sustituye peE IB) por peE) para obtener mediante la ecuacion 3.4.4: 
peE n B) = P(B)P(E) 
(1:~)(1:~) 
=.16 • 
. Eventos complementarios Ya se calculo, mediante el usO de la tabla 3.4.1, 
que la probabilidad de que una persona seleccionada aleatoriamente de entre los 
III individuos sea del sexo masculino es P(M) = 75/111 .6757; que la probabili­
dad de que sea del sexo femenino es P(F) = 36/111 .3243, Yqlle la suma de estas 
.. dos probabilidades es igual a 1. Esto eS cierto porque los eventos ser del sexo mas­
culino y ser del sexo femenino son eventos complementarios. En general, se puede 
67 3.4 CAI,CULO DE LA PROBABIUDAD DE UN EVENTO 
hacer la siguiente afirmaci6n de los eventos complementarios: la probabilidad del 
evento A es igual a 1 menos la probabilidad de su complemento, que se escribe 
como A, y 
P (A) (3.4.5) 
Esto resulta a partir de la tercera propiedad de probabilidad porque el even­
to, A, y su complemento son mutuamente excluyentes. 
EJEMPLO 3~4~8 
Suponga que de 1200 admisiones al hospital general durante cierto periodo, 750 
son admisiones privadas. Si se designaa este como conjuntoA, entonces A es igual 
a 1200 -750 450. Se puede calcular que: 
P(A) == 750/1200 .625 
y 
P(A) 450/1200==.375 
y que 
P(A) = 1 -P(A) 
.375 1 .625 
.375 = .375 • 
Probabilidad marginal Ya se utiliz6 el termino probabilidad marginal pararefe­
rirse a la probabilidad donde el numerador de la probabilidad es un total marginal 
de una tabla igual que la tabla 3.4.1.Por ejemplo, cuando se calcula la probabili­
dad de que una persona seleccionada aleatoriamente entre las 111 personas repre­
sentadasen la tabla 3.4.1 sea un individuo del sexo masculino, el numerador de la 
probabilidad es lacantidad total de individuos del sexo masculino, 75. Por 10 tanto, 
P(M) = 75/ 111 = .6757. Se puede definir la probabilidad marginal de manera 
mas general como sigue: 
DEFINICION 
Dada alguna variable que puede desglosarse en m 
categorias designadas por Ai' A 2,••• , Ai' .•• , Am Y otra 
variable de ocurrencia conjunta que pueda desglosarse en 
n categorias designadas por B 1, B 2 , ••• , Bi' •.. , Bn,.la 
probabilidad marginal de Ai' P(A) es igual a la sum.a de 
las probabilidades conjuntas de Ai con todas las 
categorias de B. Es decir, 
P(A) = LP(Ai n B
j 
), para.todoslos valores dej (3.4.6) 
Los siguientes ~jemplos muestran el uso d~ la ecuaci6n 3.4.6 paracalcular la proba­
bilidad marginal. 
68 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILiSTICA 
FJEMPLO 3.4.9 
Se pretende utilizar la ecuaci6n 3.4.6 y los datos de la tabla 3.4.1 para calcular la 
probabilidad marginal P(M). 
Solucion: 	La variable genero se divide en dos categorias, individuos del sexo mascu­
lino (M) y del sexo femenino (E). La variable consumo de cocafna se 
divide en tres categorfas: de 1 a 19 veces (A), de 20 a 99 veces (B) y de 
1000 mas veces (C). La categorfa ser del sexo masculino ocurre conjun­
tamente con las tres categorias de la variable frecuencia de consumo de 
cocaina, Las tres probabilidades conjuntas que pueden calcularse son 
P(M nA) = 32/111 .2883, P(M n B) = 18/ III = .1662, Y P(M n C) 
= 25 / III .2252. Ahora, se calcula la probabilidad marginal P(M) 
sumando las tres probabilidades conjuntascomo sigue: 
P(M) =P(MnA) + P(M nB) + P(M nC) 
= .2883 + .1622 + .2252 
.6757 • 
Tal como se esperaba, el resultado es igual al que se obtuvo al utilizar el total mar­
ginal para individuos del sexo masculino empleado como numerador y el total de 
individuos, como denominador. 
FJERCICIOS 
3.4.1 	 En un estudio de c6mo influye la violencia social y polftica en los riesgos de complicaci6n del 
embarazo, Zapata et al. (A-2) recopilaron una gran cantidad de informaci6n de una muestra 
de 161 mujeres embarazadas coli edades entre 19 y 40 aiios inscritas en cuidados prenatales 
en seis centros de salud en Santiago de Chile. En la siguiente tabla se aprecia la muestra de 
individuos clasificados en referencia cruzada segiin el nivel de estudios y el numero de com­
plicaciones prenatales: 
Numero de complicaciones 
prenatales 
Escolaridad. (anos) ~2 0-1 Total 
1-3 22 53 75 
4·8 9 23 32 
9-10 10 27 37 
;:::11 5 12 17 
Total 	 46 115 161 
FUENTE: B. Cecilia Zapata, Annabella'Reboliedo, Eduardo Atalah, Beth 
Newman y Mary-Clair King, "The Influence of Social and Political Vio­
lence on the RiskofPregnancy Complications", Americanjournal ofPu­
blic Health, 82, 685-690. Copyright!> American Public Health Association. 
EJERCICIOS 69 
a) Suponga que Ste escoge aleatoriamente a una mujer de este grupo. ~Que probabilidad 
existe de que sea una mujer con dos 0 mas coll.lplicaciones prenatales? 
b) ~C6mo se Ie llama a la probabilidad calcuIada en el inciso a? 
c) Muestre como se calcula la probabilidad del inciso a con dos metodos adicionales. 
d) Si se escoge aleatoriamente a una mujer, <que probabilidad existe de que tenga dos 0 mas 
complicaciones de embarazo y tenga entre cuatro y ocho aftos de escolaridad? 
e) (Como se Ie llama a la probabilidad del inciso d? 
f) Suponga que se escoge aleatoriamente a una mujercon una 0 ninguna complicacion du­
rante su embarazo. (Que probabilidad existede que tenga 11 aftos 0 mas de educaci6n? 
g) iC6mo se Ie llama a la probabilidad del inciso f? 
h) Suponga que se escoge aleatoriamente a una mujer. (Cual es la probabilidad de que tenga 
dos 0 mas complicaciones durante su embarazo 0 que tenga menos de cuatro aftos de esco­
laridad, 0 que presente ambas condiciones? 
i) iComo se Ie llamaal metodo para obtener la probabilidad del inciso h? 
3.4.2 	 En un articulo publicado en la revista CanadianJournal o/Public Health, Hammoud y Grindstaff 
(A-3) afirmaron que se estima que aproximadamente 15 por ciento de la poblaci6n de adul­
tos canadienses son discapacitados en cierto grado. Los autores examinaron una muestra de 
la poblaci6n adulta de Canada para determinar las caracterfsticas de los discapacitados ffsi­
camente y hacer una comparaci6n con una muestra aleatoria de personas sanas fisicamente 
y de los mismos grupos de edad. La siguiente tabla tiene los datos de los sujetos de Ia mues­
tra clasificados por estado de discapacidad y ocupaci6n, por referencia cruzada. 
Estado de discapacidad 
Ocupaci6n Discapacitados Sanos Total 
Administrativa 333 451 784 
Oficina 260 281 541 
Servicios 320 316 636 
Primaria 68 62 130 
Manufactura 297 317 614 
Total 	 1278 1427 2705 
FUENTE: Ali M. Hammoud y Carl F. Grindstaff, "Sociodemographic 
Characteristics of the Physically Disabled in Canada", Canadian 
journa.l a/Public Health, 83, 57-60, 
a) eCuantas probabilidades marginales se pueden calcular a partir de estos datos? Enuncie 
cada una en notacion de probabilidades y realice los cilculos. 
b) eCuantas probabilidades conjuntas se pueden calcular? EnCmcieIas en notaci6n de proba­
bilidades y realice los cilculos. 
c) (Cu<intas probabilidades condicionales se pueden calcular? Enuncielas en notaci6n de 
probabilidades y realice los caIculos. 
d) U tilice la regia de multiplicacion para calcular la probabilidad de que una persona seleccio­
nada aleatoriamente sea una persona sana fisicamente y este empleada en una Q:ficina. 
e) (Como se Ie llama a la probabilidadcalculada en el inciso d? 
-------
70 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA 
f) Galcule con la regia de la multiplicaci6n la probabilidad de que una persona seleccionada 
aleatoriamente sea discapacitada, dado que tiene empleo en el area de la manufactura. 
g) ~C6mo se Ie llama ala probabilidad calculada en el inciso f? 
. h) Utilice el concepto deeventos complementarios para calcularla probabilidad de que una 
persona seleccionada aleatoriamente sea un empleado administrativo. 
3.4.3 Consulte los datos del ejercicio 3.4.2, y enuncie las siguientes probabilidades con palabras: 
a) P(Oficinista (l fisicamente sano) 
b) P(Oficinista u ffsicamente sano) 
c) P(Oficinista I fisicamentesano) 
d) P(Oficinista) 
.' 3.4.4 Sriinsky et al. (A-4) realizaron un estudio para evaluar la eficacia y seguridad de una prepara­
, cion de mesalami'na oral recubierta de poHmero sensible al pH en pacientes con actividad de 
leve a moderada de colitis ulcerosa. En la siguiente tabla se muestran los resultados del trata­
mientoal final de seis semanas, por tratamiento recibido: 
GJ:upo en tratamiento 
Resultado Placebo Mesalamina, 1.6 gldia '. Mesalamina, 2.4 gldia 
En 2 6 6 
Mejorado 8 13 15 
Estable 12 11 14 
Empeorado 22 14 8 
FUENTE: Reproducido con autorizaci6n de Charles A.Sninsky, David H. Cort, Fergus Shanahan, 
BernardJ. Powers, John T. Sessions, Ronald E. Pruitt, Walter H, Jacobs, Simon K. Lo, Stephan R. 
Targan,James J. Cerda, Daniel E. Gremillion, \,yjlliam J, Snape, John Sabel,. Horacio J inich, James 
M, Swinehart y Michael P. DeMicco, "Oral Mesalamine (Asacol) for Mildly. to Moderately Active 
Ulcerative Colitis", Annals ofInternal Medicine, 115,350-355, . 
a) ~Cual es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre en remi­
si6n al final de seis semanas? 
b) ~Cual es la probabilidad de que unpaciente que recibeplacebo logre la remisi6n al final 
de las seis semanas? 
c) ~Cual es la probabilidad de que un pacienteseleccionado aleatoriamente haya entrado en 
remision y sea uno de los que recibio placebo? 
d) ~Cual es la probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente sea uno de los 
que recibieron dosis de 2.4 g/dia 0 este en la lista de pacientesmejorados, 0 posea ambas 
condiciones? 
3.4.5 	 Si la probabilidad de ser zurdo en un grupo es de .05, ~cual es la probabilidad de ser diestro 
(suponiendo que no hay ambidestreza)? 
3.4.6 	 La probabilidad de que un paciente seleccionado aleatoriamente entre los residentes actua­
les de un hospital sea del sexo masculino es de .6. La probabilidad de que el paciente sea del 
sexo masculino y haya sido internado para cinigia es de .2, Un paciente seleccionado aleato­
riamente entre los residentes actuales es del sexo masculino, ~cuaI es la probabilidadde que 
el pacienteeste internado para cirugia? ' . 
3.5 	 TEORKMA DE-BAYES,PRUEBA DE .CI,ASIFICACION, SENSIBILIDAD 71 
3.4.7 	 En cierta poblaci6n de pacientes hospitalizados la probabilidad de que un paciente, seleccio­
nado aleatoriamente, est€: enfermo del coraz6n es de .35. La probabilidad de que un pacien­
te enfermo del coraz6n sea fumador es de .86..tCual es la probabilidad de que un paciente 
seleccionado aleatoriamente, de esta poblaci6n, sea fumador y est€: enfermo del coraz6n? 
3.5 TEOREMA DE BAYES, PRUEBA DE 
CIASIFICACION, SENSmHIDAD, 
ESPECIFICIDAD YVALORES QUE 
PREDICEN POSITIVIDAD YNEGATIVIDAD 
En el campO de ciencias de la salud se utiliza ampliamente la aplicacion de leyes 
de probabilidad y conceptos relacionados en la eva,luacion de pruebas de detec­
cion y criterios de diagnostico. A los medicos les interesa tener mayor capacidad 
para predecir correctamente la presencia 0 ausencia de una enfermedad en par­
ticular a partirdel conocimiento de los resultados (positivos.o negativos) de prue­
bas y el estado de los sfntomas (presentes 0 aus~ntes) que se m~mifiestan. Tambien, 
es de interes la informacion respecto a la probabiFdad de resultados positivos 0 
negativos de l~s pruebas y la, probabilidad d.epresencia 0 ausencia de un sfntoma 
espedfico en pacientes con 0 sin una enfermedad en particular. 
.En pruebas de deteccion se debe considerar con (:uidado que no siempre son 
pruebas irifalibles. Es decir, el procedimiento puede dar lm falso positivo 0 un falso 
negativo, 
DEFINICIONES 
1. Un falso positivo resulta cuando una·prueba indica que 
el estado es positivo, cuando en realidades negativo. 
2. Un falso riegativo resultacuando una pmeba indica que 
·un estado es negativo, cuando en realidades positivo. 
En resumen, se debe responder a las siguientes preguntas para evaluar la 
utilidad de los resultados de la prueba y elestado de los sintomas para determinar 
si el individuo tiene 0 no alguna enfermedad: 
1. 	Dado que un individuo tiene la enfermedad,. ~que prqbabilidad existe de que 
la prueba resulte J?ositiya (01a presencia de un sintoma)? 
, 2. 	Dado que un individuo no tiene la enfermedad, ~cual es la probabilidad de 
que laprueba: resulte negativa (0 ia~msencia de un sintoma)? 
3. 	Dada una prueba positiva de deteccion. (0 la presencia de un sintoma), ~que 
prob,abilidad existe de que,el individuo tenga la enfermedad? 
4. 	Da:do el resultado negativo de unaprueba de deteccion (0 la ausencia de 
•. 	un sintoma), ~cmil eslaprobabilidad de que el individuo no tenga la en­
fermedad? 
72 CAPiTULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILiSTICA 
TABlA 3.5.1 Muestra de n individuos (conn 
lOuy grande) c1asificados en referencia 
cruzada segnn el estado de enferlOedad y el 
resultado de la prueba de detecci6n' 
Enfermedad 
Resultado de 
la prueba Presente (D) Ausente (D) Total 
Positivo cn a b a+b 
N egativo cn c d c+ d 
Total a. + c b+d n 
Suponga que para una IDuestra den individuos (donden es un numero grande) 
se tiene la informaci6n que se muestra en la tabla 3.5.1. la tabla muestra para estos n 
individuos sus estados con respecto a la enfermedad, y es el resultado de una prueba de 
detecci6n disefiada para identificar a los individuos enfermos. Las entradas de las casi­
llas n:!presentan el nfunero de individuos que caen en las categonas definidas por los 
encabezados de rengl6n'y columna. Pot ejemplo, a es el numero de individuos que 
tienen la enfeimedad y un resultado positivo en la prueba de detecci6n. 
Tal como se explic6; 'se puede cakular una gran variedad de probabilidades a 
partir de la informaci6n desplegada en una tabla de doble via como la tabla 3.5.1. Por 
ejemplo, se puede calcular la estimaci6n de la probabilidad condicional peT 1D) = a / 
(a + c). Esta proporci6n es una estimaci6n de lasensibilidadde la prueba de detecci6n. 
DEFINICION: 
La sensibilidadde una prueha (0 sintoma) es la 
prohahilidad de un resuhBdo positivo de la prueha 
(presencia Q ausencia del sintoma) dada la presencia de 
la enfermedad. 
Tambien se puede cakular la estimaci6n de la- probabilidad condicional 
P(T 115) = d / (b +d). Esta proporci6n es unaestimaci6n dela especificidad de la 
prueba de detecci6n. 
DEFINICION 
La especificidad de una prueha (0 sintoma) es la 
prohahilidad de un resultadonegativode 1a prueha (0 
ausenciadel- sintoma) dada la ausencia de la enfermedad. 
A partir de los datos de la tabla 3.5.1 puede responderse ala pregunta 3 con 
el ca.lculo de la estimaci6n de la probabilidad condicional P(D I, T). Esta proporci6n 
es una estimaci6n de la probabilidad Hamada valor que predice la positividad de una 
prueba de detecci6n (0 de un sintoma). 
3.5 TEOREMA DE BAYES, PRUEBA DE CLASIFICACION, SENSIBILIDAD 73 
DEFINICI6N 
El valor que predice lapositividad de una prueba de 
detecci6n (0 un sintoma) es la probabilidad de que un 
individuo tenga la enfermedad, dado que el individuo 
presenta un resultado positivo en la prueba de detecci6n 
(0 presenta el sintoma). 
Amilogamente, la expresi6n p(DI T) es una estimaci6n de la probabilidad 
condicional de que un individuo no presente la enfermedad dado que el resultado 
de la prueba de detecci6n es negativo (0 no presenta el sfntoma). La estimaci6n de 
la probabilidad mediante esta proporci6n se llama valor que predice la negatividad de la 
prueba de detecci6n 0 del sfntoma. 
DEFINICI6N 
El valor que predice lanegatividad de la prueba de 
detecci6n (0 sintoma) es la probabilidad de que el 
individuo no tenga la enfermedad, dado que el resuItado 
de la prueba de detecci6n es negativo (es decir no 
presenta el sintoma). 
La estimaci6n del valor que predice la positividad 0 negatividad de una prue­
ba (0 sintoma) puede obtenerse a partir;del conocimiento de la sensibilidad y espe­
cificidad de la prueba (0 del sintoma) y de laprobabilidad de la enfermedad relevante 
en la poblaci6n general. Para obtener la estimaci6n de estos valores de predicci6n 
se utiliza el teorema de Bayes, teorema de probabilidad atribuido a Thomas Bayes 
(1702-1761), cU~rigo Ingles iriteresado en las matematicas. Acontinuaci6n se enun­
cia el teorema de Bayes, con la notaci6n indicadaen la tabla 3.5.1, para obtener el 
valor que predice la positividad de una prueba de detecci6n (0 sfntoma): 
P(D IT) = . peT ID)P(D) . (3.5.1)
peT ID)P(D)+P(T ID)P(D) 
EI amHisis de la composici6n de la ecuaci6n 3.5.1 resulta instructiva: Re­
cuerde que seglin la ecuaci6n 3.4.21a probabilidad condicional P(D IT) es igual a 
P(D 11 T)/P(T). Paracomprender la 16gica del teorema de Bayes, se debe identifi­
car que e1 numerador de la ecuaci6n 3.5.1 representa P(D 11 T) Yque el denomi­
nador representa P(T). Se sabepor la regIa de.la multiplicaci6nde la probabilidad 
dada en la ecuaci6n 304.1 queel numerador de la ecuaci6n 3.5.1, P(TID) P(D), es 
igual a P(D 11 T). ... . 
Ahora, observe que el denominador de la ecuaci6n 3.5.1 es igual a P(T). Se sabe 
que el evento T es el resultado de que un individuo esta clasificadocomo positivo con 
respecto a la prueba de detecci6n (clasificado con presencia de un sfntoma). Un indi­
viduo clasificado como positivo puede tener 0 no la enfermedad. Por 10 tanto, la 
ocurrencia de T es el resultado de un individuo con la enfermedad y prueba positiva 
[P(D 11 T)] 0 que sin la enfermedad y con prueba positiva [P(D 11 T)]. Estos dos 
74 CAPITULO 3 ALGUNOSCONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA 
eventos son mutuamente excluyentes (su intersection es cera) y, consecuentemen­
te,·par la regIa de adici6ndada par laecuacion 3.4.3, se puede escribir: 
P(T) =P(D n T) +P(D (1 T) 
Puesto que, por Ia regIa de la multiplication, P(Dn T) '=P(T ID)P(D) YP(D n T) 
p(fID) P(D), se puede reescribir la etuaci6n 3.5.2 como sigue: 
P(T) := peT ID)P(D) +P(T 115)P(D) (3.5.3) 
y este es el denominador de la ecuad6n 3.5.1.' 
Tambien, advierta que el numerador de la ecuaci6n 3.5.1 es igual a la sensibi­
lidad por la tasa (de prevalenda) de la erifermedad; el denominador es igual ala 
sensibilidad por la tasa de la enfermedadmas el term~no 1 menos la sensibilidad 
por el termino 1 menos Ia tasa de la enfermedad. 
La evaluacion de laecuaci6n 3.5.1 responde ala pregunta 3. Para responder 
i. ala pregunta 4 se sigue, ahora; la linea de razonamiento ya conocida para llegar al 
siguiente enuRciado del teorema de Bayes: 
- - P(TID)P(D)
P(DIT}= __ (3.5.4)
peT ID) P(D) +P(T ID) P(D) 
" La ecuad6n 3.5.4 permi~e calcular una estimaci6n de la prababilidad de que el 
individuo con prueba negativa (0 que no presentael sfntoma), no tenga la enferme­
dad, la cual. es el valor que predice la negatividad de la prueba de detecci6n 0 del 
sfntoma. , . 
Con el siguiente.ejemplose muestra el uso del teorema de Bayes para calcular 
el valor que predice la positividad: 
FJEMPLO 3.5.1 
Un equipo de investigaci6n medica pretende evaluar una prueba de detecd6n pro­
puesta para la enfermedad de Alzheimer. La prueba se basa en una muestra aleatoria 
de 450 ehfermos y en otra muestra aleatoria independiente de 500 pacientes que no 
. presentansfntomas de la enfermedad. Las dos muestras se obtuvieron de una pobla­
cion de individuos con edades de 65 alios 0 mas. Los resultados son los siguientes: 
eDiagnostico de Alzheimer? 
Resultado de 
la prueba Sf (D) No (jj) Total 
Positivo (T) 436 5 441 
Negativo (f) 14 4~5 509 
Total 450 500 950 
75 
EJERCICIOS 
EJERCICIOS 
Con estos datos se estima quela prueba·de sensibilidad es P(TID) 436/450 = 
.97. La especificidad de la prueba es pCt Il5) ::::: 495/500 .99. Ahora, con estos 
resultados se calcula el valor que predice la positividad de la prueba. Esto es, se 
pretende estimar la: probabilidad de que un individuo con pnieba positiva este 
enfermo de Alzheimer. A partir de los datos tabuladosse calcula P(TID) = 436/ 
450 = .9689,-y que P(TID) 5/500 = .01. La sustitucion de estos resultados en la 
ecuacion 3.5.1 da: 
P(D IT) (.9689) P(D) 
(.9689) P(D) + (.01) P(D) 
(3.5.5) 
Note que el valor que predice la positividad de la pruebadepende de la tasa de la 
enfermedad en la poblacion relevante en general. En este caso 1a poblacion mas 
representativa esta formada por individuos de 65 aflos 0 mas. Se hace enfasis de 
que la tasa de enfermedad en la poblad6n general mas represeniativa, P(D), no se 
puede calcular a partir de los datos de la muestra, porque -las dos muestras inde­
pendientes se obtuvieron de dos pobladones distintas. Por 10 tanto, se debe buscar 
en otro lugar una estimaci6n de P(D). Evans et at. (A-5) estimaron que 11.3 por 
ciento de la poblacion de 65 aflos 0 mas en Estados Unidos tiene la enfermedad de 
Alzheimer. Al sustituir la estimacion de P(D) en la ecuacion 3.5.5 se obtiene: 
(.9689) (.113) 
P(D IT) 
(.9689) (.113)+(,01) (1-.113) 
. Tal como se puede apreciar, en este caso, el valor predictivo de la prueba es muy 
alto. • 
3.5.1 	 Un equipo de investigacion medica pretende evaluar la utilidad de cierto sintoma (Hamado 
S) para el diagn6stico de determinada enfermedad. En una muestra aleatoria independien­
te de 775 pacientescon esa enfermedad, 744 presentaron el sintoma. En una muestra aleatoria 
independientede 1380 individuos sin la enfermedad, 21 presentaron elsintoma. 
a) Para el contextode este ejercicio, ~que es un falso positivo? 
b) ~Que es un falso negativo? 
c) Calcule la sensibilidad de los sintomas 
d) Calcule la especificidad del sfntoma 
e) Suponga que se sabe que la tasa de la enfermedad en la poblaci6n en general es .OOL 
2Cuai es el valor que predice la positividad del sintoma? 
1) ~Cual es el valor que predice la negatividad del sfntoma? 
g) Calcular los valores que predicen la -positividad y la negiltividad' del sfntoma para las 
siguientes tasas hipoteticas: .0001, .01 Y .10. . 
h) Con base en los resultados que se obtuvieron en el inciso g, ~que sepuede conduir acerca 
de los valore~ que predicen el sfntoma? 
3.5.2 	 En un articulo titulado "Probability and Characteristics of Human Immunodeficiency Virus 
Infection in Male Greek Military Personnel with Tuberculosis", publicada en la revista 
Respiration [62, 280-285], Bouros 'fJt at. utihzaron el teorema de Bayes para calcular la proba­
76 CAPiTULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILtSTICA 
bilidad de que pacientes con tuberculosis esteninfectados con el VIE. Si puede conseguir 
este articulo, lea y escriba una crttica del mismo que incluya la respuesta a las siguientes 
preguntas: 
a) ~Los autores emplearoncorrectamente el teorema de Bayes? Expliqlle su respuesta. 
b) ~Se utilizaron las estimaciones de probabilidad correctas en los calculos? Explique su 
respuesta. 
c) ~Existe suficiente informacion disponible para repetir los calculos? Si es as!, (se puede 
llegar a los mismos resultados? 
3.5.3 	 Si esta disponible el articulo 'de Katz et al. ["Use of Bayes's Theorem to Estimate the Impact 
of the Proposed CD4-Based Expansion of the AIDS Case Definition",joumal ofAcquired 
Immune Deficiency Syndromes, 6, 295-297], lea y escriba una crttica que incluya las respuestas a 
las siguientes preguntas: 
a) ~Esunq aplicaci6n apropiada del teorema de Bayes? Explique su respuesta. 
b) (Existen diferencias entre esta aplicaci6n del teorema de Bayes y la aplicacion presentada 
en el ejercicio 3.5.1? Explique su respuesta. 
3.6 	 RESUMEN 
En este capitulo se presentan algunas de las ideas basicas y conceptos de probabili­
dad. EI objetivo es proveer suficiente "intuici6n" sobre la materia, de manera que 
los aspectos probabilfsticos de la inferencia estadistica puedan ser Hicilmente com­
prendidos y apreciados en capftulos posteriores. 
Se define como probabilidad a un m1mero entre 0 y 1 que mide la posibilidad 
de que ocurra alg(m evento. Se hace la distinci6n entre probabilidad subjetiva y 
objetiva. La probabilidad objetiva se puede subdividir como probabilidad clasica 0 
de frecuencia relativa. Despues de establecer las tres propiedades de probabilidad, se 
define y muestra el carculo de los siguientes tipos de probabilidad: marginal, conjun­
ta y condicional. Se aprende c6mo aplicar las reglas de adici6n y multiplicaci6n para 
calcular ci,ertas probabilidades. Se estudia el significado de eventos independientes, 
mutuamente excluyentes y complementarios. Tambien, se estudia el significado de 
especificidad, sensibilidad y val ores que predicen la positividad y negatividad aplica­
dos a pruebas de detecci6n 0 sintomas de enfermedad. Finalmente, se aprende c6mo 
utilizar el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de que un individuo este 
enfermo, dado que el individuo tiene un resultado positivo en la prueba de detecci6n 
(0 bien, presenta el sintoma correspondiente). 
PREGUNTAS YEJERCICIOS DE REPASO 
1. Defina los siguientes conceptos: 
a) Probabilidad b) Probabilidad objetiva 
c) Probabilidad subjetiva d) Probabilidad clasica 
e) Concepto de probabilidad f) Eventos mutuamente excluyentes 
de frecuencia relativa 
g) Eventos independientes h) Probabilidad marginal. 
77 PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO 
i) Probabilidad conjunta 'j) Probabilidadcondicional 
k) Regia de la adici6n I) RegIa de la multiplicaci6n 
m) Eventos complementarios n) Falso positivo 
0) Falso negativo p) Sensibilidad 
q) Especificidad r) Valor que predice la positividad 
s) Valor que predice la negatividad t) Teorema de Bayes 
2. 	 Nombre y explique las tres propiedades de la probabilidad. 
3. 	 DesJarlais et ai. (A-6) examinaron el fracaso para mantener reducidos los riesgos de SIDA en 
un estudio de consumo de drogas intravenosas en la ciudad de Nueva York. La siguiente 
tabla muestra a los sujetos del estudio, en referencia cruzada; por estado de reducci6n de 
riesgos y numero de compaiieros sexuales en un mes promedio: 
Estado de reducci6n de rlesgos 
Nu.mero de compafteros 
sexuales/mes Ninguno Sin mantener Mantiene Total 
Ninguno 20 17 43 80 
1 37 45 95 177 
>1 20 54 67 141 
Total 	 77 116 205 398 
FUENTE: Cortesia de Marcel Dekker, Inc. Reimpreso por Don C. Des Jarlais, Abu 
Abdul-Quader y Susan Tross, "The Next Problem: Maintenance of AIDS Risk 
Reduction AmongIntravenous Drog Users", The InternationalJournal o/the Addictions, 
26, 1279-1292. 
a) Si se selecciona a un individuo al azar, (cmiles la probabilidad de que este individuo no 
haya iniciado ninguna reducci6n de riesgo? 
b) Si se selecciona a un individuo al azar, y este ha tenido mas de un compaiiero sexual, ~cu;il 
es la probabilidad de que haya mantenido la reducci6n de riesgo? 
c) Si se selecciona aleatoriamente a un individuo, ~cuaI es Ia probabilidad de que no haya 
tenido compaiieros sexuales y que no haya mantenido 1;:,t,reducci6n de riesgo? 
d) Si se selecciona al azar a un individuo, ~cual es la probabilidad de que haya tenido un 
compaiiero sexual 0 no haya iniciado la reducci6n de riesgo? 
4. 	 El prop6sito del estudio de Gehan et ai. (A-7) es definir Ia dosis 6ptima de lidocaina necesaria 
para reducir el dolor en la inyecci6n de propofol. De acuerdo conestos investigadores, el propofol 
se utiliza como agente de acci6n rapida para inducci6n de anestesia. Sin embargo, a pesar de 
esto, muchas desventajas limitan su utilizaci6n debido al dolor generadci. Otros estudios mues­
tran que la lidocama intravencisa suministrada antes 0 con el propofol reduce la frecuenda de 
dolor; En el estudio de Gehan et ai. (A-7) se utilizaron 310 padentes que recibieron anestesia. Se 
clasific6 a los padentes en cuatro categonas de acuerdo con la dosis de lidocaina. El grupoAno 
recibi6lidocama, en tanto que los grupos B, C YD recibieron .1, .2 Y.4 mglkg, respectivamente, 
mezclado con propofol. EI grado de dolor experimentado por los padentes se calific6 de 0 a 3; 
los padentes que no experimentaron dolor recibieron una calificaci6n de O. La siguiente tabla 
muestra a los padentes, dasificados en referencia cruzada por grupo segCtp niveles de dosis y 
calificaci6n por dolor: 
78 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA 
Grupo 
Calificaci6n 
por dolor A B C D Total 
0 49 73 58 62 242 
1 16 7 7 8 38 
2 8 5 6 6 25 
3 4 1 0 0 5 
Total 77 86 71 76 310 
FUENTE: G. Gehan, P. Karoubi, F. Quinet, A. Leroy, C. Rathat 
yJ. L. Pourriat, " Optimal Dose ofLignocaine for Preventing 
Pain on Injection of Propofol", BritiSh journal ofAnaesthesia 
66, 324-326. . 
a) 	 Encuentre las siguientes probabilidades y expliquesu significado: 
1. P(O II D) 
2. PCB u 2) 
3. P(3IA) 
4. P(C) 
b) 	 Explique porque cada una de las' siguientes ecuaciones es 0 no una afirmaci6n verdadera: 
1. P(O liD) = hD II 0) 
2. P(2 u C) = P(C u 2) 
3. peA) = peA (10) + peA II 1) + peA II 2) + P(;t (13) 
4. PCB u 2) = PCB) + P(2) 
5.P(DI0) = P(D) 
6. P(C n 1)= P(C) pel) 
7. P(;t II B) = 0 
8. P(2 IID) = P(D) P(21 D) . 
9. PCB (10) = PCB) PCB I0) 
5. 	 A un centenar de mujeres casadas se les pregunt6 que metodo de control natal preferfan. La 
siguiente tabla muestra las 100 respuestas clasificadas en referencia cruzada por nive! educa­
tivo y metodo de control. 
. Nivel escolar . 
Metodo de 
control, Preparatoria Universidad Posgrado 
natal (A) (B) (C) Total 
S 15 8 7 30 
T 3 7 20 30 
V, 5 5 15 25 
W 10 3 2 15 
Total 33 23 44 100 
79 PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE REPASO 
Encuentre las siguientes probabilidades: 
a) P(S) b)P(Vu C) c) P(A) d) peW) 
e) P(A Ivv) t) p(jj) "g) P(T riB) h) P[(T rI C)] 
6. 	 EI departamento de salud de cierto pais recibe 25 solicitudes para una vacante que hay para 
una enfermera en salud publica. De estas solicitudes, 10 son de mayores de 30 aiios y.15 de 
menores de 30 aiios de edad. Diecisiet~ tienen estudios universitarios y ocho tienen grado 
de maestrfa. De las que tienen menos de 30 aiios, seis tienen grade de mae stria. Si al azar se 
hace una selecci6n de entre las 25 solicitantes, ~cual es la probabilidad de se1eccionar a una 
persona que tenga mas de 30 aiios de ~dad 0 que tenga grade de maestrla? 
7. 	 La siguiente tabla muestra 1000 aspirantes a la escuela de enfermeria, clasificadas de acuer­
do con las calificaciones logradas en el examen de ingreso, a la universidad y a la calidad de 
la escue1a preparatoria de la que son egresadas, segUn un gmpo de profesores: 
Caiidad de las escuelas preparatorias 
Deficiente Promedio Superior 
Calificaci6n (P) (A) (S) Total 
Baja (L) 105 60 55 220 
Media (M) 70 175 145 390 
Alta (H) 25 65 300 390 
Total 200 300 500 1000 
a) 	Calcule \a prob<j.bilidad de que una aspirante seleccionada aleatoriamente de este grupo: 
1. Tenga una calificaci6n baja en e1 examen. 
2. 	Seagraduada de una preparatoria de calidad superi'or. 
3;' Tenga una calificati6n baja en 'el exanien y sea graduada de una preparatoria de nivel 
superior. 
4. 	Tenga una'calificaci6n baja en el examen dado que se gradu6 en una preparatoria de 
nivel superior. 
5. 	Tenga una calificaci6n alta 0 que sea graduada de una preparatoria de nivel superior. 
b) Calcule las. siguientes probabilidades: ' 
I.P(A) 2. P(H) 3. P(M) 
4.P(A IH) 5.·P(M riP) 6. P(HIS) 
8. 	 Si la probabllidad de que una enfermera en salud publica encuentre a un paciente en casa es 
de .7, ~cual es la probabilidad (suponga independencia de evento&) de que en dos visitas 
domiciliarias hechas en un dla ambos pacientes esten en casa?, 
9. 	 La siguiente tabla muestra el resultado de 500 entrevistas hechas durante una investigacion 
para estudiar la opinion de los residentes de derta ciudad acerea de la legalizacion del aborto. 
'Los datos estan clasificados por area de la ciudad en donde se aplico ~l cuestionario. 
80 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BAsICOS DE PROBABILISTICA 
Resultado 
Area de A favor En contra Abstinencia 
.la ciudad (F) (Q) (R) Total 
A 100 20 5 125 
B 115 5 5 125 
D 50 60 15 125 
E 35 50 40 125 
Total 300 135 65 500 
, a) Si aleatoriamente se selecciona un'cuestionario de entre los 500, ~cual es la probabilidad 
de que:· 
1. el encuestado este a favor de la legalizaci6n del aborto? 
2. el encuestado este en coritrade la legalizaci6n del aborto? . . 
3. el encuestado se abstenga? 
4. el encuestado viva en el area A, B,"D, E? 
5. el encuestado este a favor de la legalizaci6n del aborto, dado que reside en el area B? 
6. el encuestado se abstenga 0 resida en el area D? 
b) Calcule las siguientes probabilidades: 
1. P(A nR) 2. P(QuD) 3. P(D) 
4. P(Q I D) 5. P(B I R) 6. P(F) 
10. 	 En una poblaci6n, la probabilidad de que un individuo, elegido aleatoriamente, se exponga 
a determinado alergeno y tenga'una ieacci6n frerite al mismo es de .60. La probabilidad de 
que un individuo expuesto al alergeno expedmente una reacci6n alergica es de .8. Si un 
individuo es elegido aleatoriainente deesta poblaci6n, ~cuales la probabilidad de que se 
exponga al alergeno? 
11. 	 Suponga que 3 por ciento de una poblaci6n de adultosha intenlado suicidarse. Tambien se 
sabe que 20 por ciento de esa poblaci6n vive en condiciones extremas·de pobreza. Si estos dos 
eventos son independientes,~cuaI eslaprobabilidad de que unindividuo elegido aleatoriamente 
haya intentado suicidarse y ademas.viva en condiciones extremas de pobreza? 
12. 	 En una poblaci6n de mujeres, 4 por ciento tienen cancer de pecho, 20 por ciento son fuma· 
doras y 3 por ciento son fumadoras y tienen cancer de pecho. Si una mujer es elegida al azar 
de entre esa poblaei6n, ~cual es la probabilidad de que tenga,cancer de pecho, 0 sea fumado­
ra 0 tenga ambas caracteristicas? " 
" ' 	 .' .~ 
13. 	 La probabilidad de que una persona elegida al azar de entre una poblaci6n presente el 
sintoma caracteristico de una enfermedad es de .2, y la probabilidad de que una persona 
elegida aleatoriamente presente esa enfermedad es de .23. La probabilidad de elegir a una 
persona que tenga el sintoma y tambien la enfermedad es de .18. Si una persona elegida al 
azar de entre esa poblaci6n no presenta el sintoma, ~cuaI es la probabilidad de que tenga la 
enfermedad? 
14. 	 Para cierta poblaci6n se definen los siguientes eventos para las edades de las madres en el 
momenta de dar a luz: A = menos de 20 aDOS, B = 20-24 aDOS, C = 25-29 aDOS, D = 30-44 
aDOS. Los eventos A, B, Cy D' en pares ~son mutuamente excluyentes?15. 	 En referencia al ejercicio 14, establezca con palabras el'evento E = (A u B). 
81 BffiLIOGRAFIA 
16. 	 En referencia al ejercicio 14, establezca con palabras el evento F= (B u C). 
17. 	 En referencia al ejercicio 14, -=omente respecto al even to G = (A n B). 
18. 	 Para cietta pobhici6n se definen los siguientes eventos con respecto a los niveles de lipoprotefna 
del plasma (mg/dl):A = (l0-15); B = (~30); C= ($ 20). ~Son los eventosA y B mutuamente 
exduyentes? My C?, i.E Y C? Explique su respuesta para cada pregunta. 
19. 	 En referencia al ejercicio 18, establezca con palabras el significado de los siguientes eventos: 
a)AuB b)AnB c)AnC d)AuC 
20. 	 En referencia al ejercicio 18, establezca con palabras el significado de los siguientes eventos. 
a) if b) B c) C 
21. 	 La siguiente tabla muestra los resultados de la evaluaci6n de la prueba de detecci6n en la que 
participaron una muestra aleatoriade 650 individuos con la. enfermedad y una segunda 
muestt:a aleatoria independiente de 1200 individuos sin la enfermedad. 
Enfermedad 
Resultado del examen Presente .Ausente 
Positivo 490 70 
Negativo 160 1130 
a) Calcule la sensibilidad de la prueba. 
b) Calcule la especificidad de la prueba. 
c) Si la tasa de la enfermedad en la poblaci6n en general es .002, ~cuaI es el valor que predice 
la positividad de la prueba? 
d) ms una estimaci6n satisfactoria 650/1850 de la tasa de la enfermedad en la poblaci6n 
general? Explique su respuesta. 
22. 	 La sensibilidad de una prueba de detecci6n es de .95 y su especificidad es .85. La tasa de la 
enfermedad para la que utiliz6la prueba es de .002. ~Cmll es el valor que predice la positividad 
de la prueba? 
BmUOGRAFiA 
Bibliografia de metodologia 
1. 	 Allan Gut, An Intermediate Course in Probability, Springer-Verlag, New York. 
2. 	 Richard Isaac, The Pleasures ofProbability, Springer-Verlag, New York. 
3. 	 Harold J. Larson, Introduction to Probability, Addison-Wesley, Reading, MA. 
4. 	 L. J. Savage, Foundations ofStatistics, Segunda edici6n revisada, Dover, New York. 
5. 	 A. N. Kolmogorov, Foundations ofthe Theory ofProbability, Chelsea, New York. (Edici6n original 
en aleman, publicada en 1933.) 
82 CAPITULO 3 ALGUNOS CONCEPTOS BA.SICOS DE PROBABILISTICA 
Bibliografia de aplicaciones 
A-I. Patricia G. Erickson y Glenn F. Murray, "Sex Differences in Cocaine Use and Experiences: A 
Double ~tandard?", AmericanJournal ofDrug and Alcohol Abuse, 15, 135-152. 
A-2. B. Cecilia Zapata, Annabella Rebolledo, Eduardo Atalah, Beth Newman y Mary-Clair King, 
''The Influen:ce of Social and Political Violence on the Risk of Pregnancy Complications", 
AmericanJournal ofPublic Health, 82,685-690. 
A-3. Ali M. Hammoud y Carl F. Grindstaff, "Sociodemographic Characteristics of the Physically 
Disabled in Canada", Canadian Journal ofPublic Health, 83, 57-60. 
A-4. Charles A. Sninsky, David H. Cort, Fergus Shanahan, Bernard J. Powers, John T. Sessions, 
Ronald E. Pruitt, Walter H.Jacobs, Simon K. Lo, Stephan R. Targan,JamesJ. Cerda, Daniel 
E. Gremillion, William J. Snape, John Sabel, Horacio Jinich, James M. Swinehart y Michael 
P. DeMicco, "Oral Mesalamine (Asacol) for Mildly to Moderately Active Ulcerative Colitis", 
Annals ofInternal Medicine, 115, 350~355. 
A-5. D. A. Evans, P. A. Scherr, N. R. Cook, M. S. Albert, H. H. Funkeristein, L. A. Smith, L. E. 
Hebert, T. T. Wetle, L. G. Branch, M. Chqwn, C.JI. Hennekens, y J. O. Taylor, "Estimated 
Prevalance ofAlzheimer's Disease in the United States", Milbank Quarterly, 68, 267-289. 
A-6. Don C. Des Jarlais, Abu Abdul-Quader y Susan Tross, "The Next Problem: Maintenance of 
AIDS Risk Reduction Among Intravenous Drug Users", The International Journal of the 
Addictions, 26, 1279.-1292. 
A-7. G. Gehan, P. Karoubi, F. Quinet, A. Leroy, C. Rathat y J. L. Pourriat, "Optimal Dose of 
Lignocaine for Preventing Pain on Injection of Propofol", BritishJournal ofAnaesthesia, 66, 
324-326. . ..