Ayudantia 5

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Pontificia Universidad Católica de Chile EAA325B Opciones y Futuros 2020-1
Escuela de Administración Profesor: David Buchuk
AYUDANTÍA 5
Pregunta 1
Dé dos razones por las que ejercer una opción call americana antes de la fecha de vencimiento
nunca es una estrategia óptima. La primera razón considera el valor tiempo del dinero. La segunda
razón debe ser válida aún si la tasa de interés es cero.
Pregunta 2
Una opción call europea sobre una acción que paga dividendos tiene fecha de vencimiento en
cuatro meses más y precio de ejercicio $60. El precio actual de esta opción es $5 y el precio actual de
la acción es $64. La acción pagará un dividendo de $0.80 en un mes más y la tasa de interés libre de
riesgo es 12% para todos los plazos. ¿Qué oportunidad de arbitraje existe?
Pregunta 3
Una opción put europea sobre una acción que no paga dividendos tiene fecha de vencimiento en
un mes más y precio de ejercicio $50. El precio actual de esta opción es $2.50 y el precio actual de la
acción es $47. La tasa de interés libre de riesgo es 6% para todos los plazos. ¿Qué oportunidad de
arbitraje existe?
Pregunta 4
Una opción call europea sobre una acción que paga dividendos tiene fecha de vencimiento en seis
meses más y precio de ejercicio $30. El precio actual de esta opción es $2 y el precio actual de la
acción es $29. La acción pagará dividendos de $0.50 en dos meses más y en 5 meses más y la tasa de
interés libre de riesgo es 10% para todos los plazos.
a) ¿Cuál debe ser el precio de una opción put europea con misma fecha de vencimiento y mismo
precio de ejercicio?
b) ¿Qué oportunidad de arbitraje existe si el precio de la opción put es $3?
1
Pregunta 5
Demuestre el siguiente resultado:
St − K ≤ Ct − Pt ≤ St − Ke−r(T−t)
donde Ct y Pt son los precios de opciones americanas call y put respectivamente en la fecha t, K es el
precio de ejercicio de las opciones, T es la fecha de expiración de las opciones, St es el precio de la
acción subyacente en la fecha t, y r es la tasa libre de riesgo.
2
Pregunta 1. 
Con respecto al valor del tiempo del dinero significa que el dueño de la opción puede ganar intereses 
sobre el precio de ejercicio durante un periodo de tiempo más largo (por ejemplo, si yo tengo la 
opción de comprar en el periodo t, yo tengo que desembolsar esa cantidad de dinero, entonces si 
yo adelanto el pago, dejaría de percibir los posibles intereses que me genera ese dinero). La demora 
del ejercicio de la opción también proporciona un seguro contra el precio de las acciones que caen 
por debajo del precio de ejercicio en la fecha de vencimiento. 
Por otra parte, supongamos que el dueño de la opción tiene una cantidad de efectivo K y que las 
tasas de interés son cero. Si la opción se ejerce temprano vale apenas ST al vencimiento. Retrasar el 
ejercicio significa que valdrá un max(K,ST) al vencimiento. 
 
Pregunta 2. 
El valor presente del precio de ejercicio es = 60e-0,12*4/12 = $57,65 
El valor presente del dividendo es = 0,8e-0,12*1/12 = $0,79 
 
Por put call parity: 5 < 64 – 57,65 – 0,79 = 5,56 
Esto significa que estamos violando limite inferior de una call europea sobre una acción con 
dividendos. (para que no se violara, el símbolo debería ser hacia el otro lado >). 
Por lo tanto, hay una oportunidad de arbitraje, donde un arbitrador debe comprar la opción al precio 
de 5 y vender la acción. Esto genera 64 – 5 = 59. Luego el arbitro invierte 0,79 a un mes a la tasa de 
12% para pagar así el dividendo de 0,8. Los 58,21 restantes (58,21=59-0,79) se invierten durante 4 
meses a 12%, e independiente de lo que ocurra se genera un beneficio. 
Si el precio de la opción disminuye por debajo de 60 en 4 meses el árbitro pierde 5 gastados en la 
opción, pero ganará con la posición corta (vendiendo la acción). El arbitrador se comenzará a ir corto 
cuando la cotización de la acción es de 64, tendrá que pagar dividendos con un valor presente de 
0,79. Así la posición corta genera 64-57,65-0,79=5,56 
La ganancia del arbitro sería por lo menos 5,56-5=0,56. 
 
Si por el contrario el precio de la acción está por encima de 60 al vencimiento de la opción. El 
arbitrador comprará las acciones por 60 en 4 meses y termina la posición corta. Por lo tanto, la 
opción se ejerce, y el arbitrador compra por 60 en 4 meses y cierra la posición corta. El valor actual 
de los 60 pagados son 57,65 y el valor presente del dividendo es de 0,79. Entonces la ganancia de la 
posición corta es por lo tanto, 64-57,65-0,79=5,56. 
La ganancia del arbitro sería: 5,56-5=0,56. 
 
Pregunta 3. 
El valor presente del precio de ejercicio es = 50e-0,06*1/12 = $49,75 
Condición límite: 2,5 < 49,75 – 47 
Por lo tanto, se viola la condición del límite inferior de una put europea sobre acciones sin dividendo. 
Un arbitrador debería pedir prestado $49,5 (VP ejercicio) al 6% por un mes comprando la acción y 
la opción. Esto genera un beneficio en todas las circunstancias. 
Si el precio de la acción está por encima de 50 en un mes, la opción caduca sin valor, pero la acción 
puede ser vendida por al menos 50. Los 50 recibidos en un mes tienen un valor presente de 49,75 
hoy. 
La ganancia del arbitro seria al menos: 50-49,75=0,25. 
 
Pregunta 4. 
a) 
c + Ke-rT + D = p + S0 → p = c + Ke-rT + D - S0 → p = 2 + 30e-0,1*6/12 + (0,5e-0,1*2/12+0,5e-0,1*5/12) – 29 
➔ p = 2,51 
 
b) 
si p = 3, es demasiado alto en relación con el precio de compra. Un arbitro debe comprar la call, 
vender la put y vender la acción. Esto generará -2+3+29=30 lo cual lo invierte a un 10%. 
Independiente de lo que ocurra, obtendrá un beneficio con un valor actual de 3-2,51=0,49 
Si el precio de la acción supera los 30 en 6 meses: 
Se ejerce la opción call, y la opción put expira sin valor. La opción de compra permite comprar 
acciones por 30 o traído a valor presente: 30e-0,1*6/12=28,54. Los dividendos en posición corta 
cuestan: 0,5e-0,1*2/12+0,5e-0,1*5/12=0,97. En términos de valor presente (0,97), dando así un beneficio 
en valor presente de 30-28,54-0,97=0,49. 
 
Si el precio de la acción es inferior a 30 en 6 meses: 
La opción put se ejerce y la opción call expira sin valor. La opción put lleva a la compra de acciones 
por 30 o traído a valor presente: 30e-0,1*6/12=28,54. Los dividendos de la posición corta cuestan: 0,5e-
0,1*2/12+0,5e-0,1*5/12=0,97. Así en beneficio obtenido es 30-28,54-0,97=0,49. 
 
 
Pregunta 5. 
De clases sabemos que P≥p y que C=c. 
Por lo tanto, de put call parity: 
 P ≥ c + Ke-rT – S0 → P ≥ C + Ke-rT – S0 → C-P ≤ S0 - Ke-rT 
 
Cartera I: Una opción call europea más una cantidad de dinero K. 
Cartera J: Una opción put americana más una acción. 
Ambas opciones tienen el mismo precio de ejercicio y fecha de vencimiento. Supongamos que el 
efectivo se va a invertir a una tasa libre de riesgo. Si la opción put no se ejecuta anticipadamente, el 
valor de la cartera J será: Max (St, K) 
En el momento T, el portafolio I vale: 
Max(St-K,0) + KerT = Max(St,K)-K+ KerT . Con esta fórmula nos damos cuenta de que el portafolio I 
vale más que el portafolio J. 
Supongamos que la opción put se ejecuta anticipadamente en el momento lambda. El portafolio J 
vale K en el momento lambda. Sin embargo, aun que la opción call no valiera nada, el portafolio I 
vale Kerλ en el momento lambda. 
De esto se deduce que el portafolio I vale por lo menos tanto como el portafolio J en todas las 
circunstancias. 
Del portafolio I: c + K ≥ P + S0 → C + K ≥ P + S0 → C - P ≥ S0 – K0 
Combinando esto con la desigualdad anterior tenemos: 
S0 – K ≤ C – P ≤ S0 - Ke-rT