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Ayudantia 8

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Pontificia Universidad Católica de Chile EAA325B Opciones y Futuros
Escuela de Administración Profesor: David Buchuk
2020-1
AYUDANTÍA 8
Pregunta 1
Explique cómo encontrar el precio de una opción o cualquier otro derivado usando el
principio de valoración neutral al riesgo.
Pregunta 2
El precio actual de una acción es $50 y su volatilidad 30%. La tasa de interés anual, libre de
riesgo, continuamente compuesta es 10%.
a) Si la acción no paga dividendos, encuentre el precio de una opción put europea con
expiración en tres meses.
b) Encuentre el precio de la opción en (a) si la acción paga un dividendo de $1.5 en dos meses.
Pregunta 3
El precio de una acción sigue un Movimiento Browniano Geométrico con retorno esperado
16% y volatilidad 35%. El precio actual de la acción es $38.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una opción call europea sobre esta acción con precio de
ejercicio de $40 y expiración en 6 meses sea ejercida?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una opción put europea sobre la misma acción con mismo
precio de ejercicio y misma fecha de expiración sea ejercida?
1
Pregunta 4
Demuestre que las fórmulas de Black-Scholes-Merton para opciones call y put cumplen con
la paridad put-call.
Pregunta 5
Demuestre que la probabilidad de que una opción call europea sea ejercida en un mundo
neutral al riesgo es igual al término N(d2) de la fórmula de Black-Scholes-Merton. ¿Cuál es el
valor de un derivado que paga $100 si el precio de la acción en T es mayor que K?
2
Pregunta 1. 
Veremos la pregunta en 2 partes: 
1- ¿Por qué podemos usar valorización neutral al riesgo? 
Lo esencial de Black And Scholes: La fórmula NO tiene variables (S0;t;volatilidad del activo S;rf) que 
dependen de las preferencias por riesgo del inversionista. 
Esto nos permite asumir que todos los inversionistas son neutrales al riesgo. Lo que implica que el 
retorno esperado de toda inversión es rf. Todo se puede descontar a la tasa rf. 
2- ¿Cómo calcular el precio dado que estamos en un mundo neutral al riesgo? 
Al estar en un mundo neutral al riesgo. 
Pasos: 
i. Asumir que retorno esperado del activo subyacente es rf. 
ii. Calcular el pago esperado del derivado. 
iii. Descontar el pago esperado a rf. 
Pregunta 2. 
a) 
Put Europea con vencimiento en 3 meses. 
𝑇 =
3
12
= 0,25 𝑆0 = 50 𝜎 = 30% 𝜎
2 = 0,32 𝑟 = 10% 𝐾 = 50 
Lo primero que debemos hacer es calcular los d(d1 y d2) 
𝑑1 =
𝐿𝑛(
50
50
)+(0,1+
0,32
2
)∗0,25
0,3∗√0,25
= 0,2417 
𝑑2 = 0,2417 − 0,3 ∗ √0,25 = 0,0917 
Ahora podemos buscar el valor de la put 
𝑃 = 50 ∗ 𝑒−0,1∗0,25 ∗ 𝑁(−0,0917) − 50 ∗ 𝑁(−0,2417) 
𝑃 = 50 ∗ 𝑒−0,1∗0,25 ∗ 0,4634 − 50 ∗ 0,4045 = 2,37 
Por lo tanto, la opción put vale $2,37 
 
b) 
𝑉𝑃(𝐷𝐼𝑉) = 1,5𝑒(−0,1∗
2
12
) = 1,4752 𝑆0 = 50 − 1,4752 = 48,52 
𝑑1 =
𝐿𝑛(
48,52
50
)+(0,1+
0,32
2
)∗0,25
0,3∗√0,25
= 0,0414 
𝑑2 = 0,0414 − 0,3 ∗ √0,25 = −0,1086 
Ahora podemos buscar el valor de la put 
𝑃 = 50 ∗ 𝑒−0,1∗0,25 ∗ 𝑁(01086) − 48,52 ∗ 𝑁(−0,0414) 
𝑃 = 50 ∗ 𝑒−0,1∗0,25 ∗ 0,5432 − 48,52 ∗ 0,4835 = 3,03 
Por lo tanto, la opción put vale $3,03 
 
 
 
Pregunta 3. 
a) 
Debemos buscar la probabilidad de que el precio de la acción este sobre $40, para que así se 
ejecute la opción. 
Por movimiento browniano, sabemos que 𝐿𝑛(𝑆𝑇) ∼ 𝑁 [𝐿𝑛(𝑆0) + (𝜇 −
𝜎2
2
) ∗ 𝑇; 𝜎2 ∗ 𝑇] 
Por lo tanto: 
𝐿𝑛(𝑆𝑇) ∼ 𝑁 [𝐿𝑛(38) + (0,16 −
0,352
2
) ∗
6
12
; 0,352 ∗
6
12
] 
𝐿𝑛(𝑆𝑇) ∼ 𝑁[3,687; 0,247
2] 
Y además 𝐿𝑛(40) = 3,6889 
Por lo tanto, debemos buscar la Probabilidad de que 𝐿𝑛(𝑆𝑇) > 3,6889. 
Buscaremos que: 1 − 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 3,6889 
1 − 𝑁 [
3,6889 − 3,687
0,247
] = 1 − 0,5032 = 49,68% 
 
b) 
Una Put tiene los flujos contrarios a una Call: 
1 − Pr(𝐸𝑗𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝐶𝑎𝑙𝑙) = 1 − 0,4968 = 50,32% 
 
 
 
Pregunta 4. 
Put Call Parity: 
𝐶 + 𝐾𝑒−𝑟𝑇 = 𝑆0 + 𝑃 
Call: 
𝐶 = 𝑆0𝑁(𝑑1) − 𝐾𝑒
−𝑟𝑇 ∗ 𝑁(𝑑2) / +𝐾𝑒
−𝑟𝑇 
𝐶 + 𝐾𝑒−𝑟𝑇 = 𝑆0𝑁(𝑑1) − 𝐾𝑒
−𝑟𝑇 ∗ 𝑁(𝑑2) + 𝐾𝑒
−𝑟𝑇 
𝐶 + 𝐾𝑒−𝑟𝑇 = 𝑆0𝑁(𝑑1) + 𝐾𝑒
−𝑟𝑇[1 − 𝑁(𝑑2)] 
𝐶 + 𝐾𝑒−𝑟𝑇 = 𝑆0𝑁(𝑑1) + 𝐾𝑒
−𝑟𝑇[𝑁(−𝑑2)] 
Put 
𝑃 = 𝐾𝑒−𝑟𝑇 ∗ 𝑁(−𝑑2) − 𝑆0𝑁(−𝑑1) / + 𝑆0 
𝑃 + 𝑆0 = 𝐾𝑒
−𝑟𝑇 ∗ 𝑁(−𝑑2) − 𝑆0𝑁(−𝑑1) + 𝑆0 
𝑃 + 𝑆0 = 𝐾𝑒
−𝑟𝑇 ∗ 𝑁(−𝑑2) + 𝑆0(1 − 𝑁(−𝑑1) 
𝑃 + 𝑆0 = 𝐾𝑒
−𝑟𝑇 ∗ 𝑁(−𝑑2) + 𝑆0𝑁(𝑑1) 
 
Como llegamos a lo mismo, demostramos que paridad put call se cumple. 
 
 
Pregunta 5. 
 
En un mundo neutral al riesgo: 
𝐿𝑛(𝑆𝑇) ∼ 𝑁 [𝐿𝑛(𝑆0) + (𝜇 −
𝜎2
2
) ∗ 𝑇; 𝜎2 ∗ 𝑇] 
Por lo tanto la probabilidad de que Ln(ST)>Kn(K) es: 
𝑁 [
𝐿𝑛(𝐾) − 𝐿𝑛(𝑆0) + (𝑟 −
𝜎2
2
) ∗ 𝑇
𝜎√𝑇
] 
Luego, queremos que la probabilidad de ST sea mayor a K: 
1 − 𝑁 [
𝐿𝑛(𝐾) − 𝐿𝑛(𝑆0) + (𝑟 −
𝜎2
2
) ∗ 𝑇
𝜎√𝑇
] = 𝑁(𝑑2) 
 
Valor de un derivado que paga 100 si el precio de la acción en T es mayor que K 
E(Valor del derivado): $100*Probabilidad de que ST>K 
Sabemos que la Probabilidad de que ST>K es N(d2) 
Por lo tanto, E(Valor del derivado) = 100*N(d2) 
Si nos situamos en un mundo neutral al riesgo, podemos traer ese valor a hoy así: 
𝑒−𝑟𝑇 ∗ 100 ∗ 𝑁(𝑑2)

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