2020-Pauta Prueba Alumnos (1)

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Pauta Prueba Teoría de Inversiones 
 
(10 puntos) BKM 6/Clases. En “equilibrio” todos los activos riesgosos tienen que estar en las manos 
de alguien, es decir, se necesita que 100% del portafolio de mercado sea demandado. Para efectos 
prácticos, supongamos que el S&P500 es el portafolio de mercado. Suponga además que el 
inversionista representativo es miope, que su horizonte de inversión es 1 año y su función de 
utilidad, 𝑈 = 𝜇 − 𝜎2. Suponga que el inversionista invierte sólo en el activo libre de riesgo y en el 
portafolio de mercado (pero considere que, en el agregado, la inversión en el activo libre de riesgo 
se netea, quedando en cero). A partir de la proporción óptima que se invierte en el portafolio de 
mercado (¿cuál es?), en función del premio por riesgo, la aversión al riesgo y la varianza, una tasa 
libre de riesgo de 0%, que no cambiará, y una volatilidad de mercado (desviación estándar de los 
retornos) que sube producto del COVID de 20% a 60%: i) ¿Qué debería pasar con el premio por 
riesgo del mercado? (se pide una respuesta numérica); ii) Si suponemos (por simplificar) que el valor 
de mercado del S&P500 es el valor de un pago fijo a un año plazo, ¿qué debería pasar con el valor 
de mercado de las empresas del S&P500 al subir la volatilidad de 20% a 60%? 
𝑤∗ =
𝜇𝑚 − 𝑟𝑓
𝐴𝜎𝑚
2 
En equilibrio 
𝑤∗ = 1 =
𝜇𝑚 − 𝑟𝑓
𝐴𝜎𝑚
2 => 𝐴𝜎𝑚
2 = 𝜇𝑚 − 𝑟𝑓 
i) Inicialmente 2 × 0.22 = 8% = 𝜇𝑚 − 0% 
Luego 2 × 0.62 = 72% = 𝜇𝑚 − 0% 
ii) Valor a un período pasa de 1/1.08=0.926 a 1/1.72 = 0582=> una pérdida de valor de 37% de valor. 
 
(10 puntos) Estrategias dinámicas/portafolio imitador. Existe un índice llamado “Up & Down-II” que 
puede subir en un factor multiplicativo de 1.25 o bajar en uno de 1.25−1 = 0.80 dependiendo del 
estado de la naturaleza que se materialice (u o d). Existen 3 momentos del tiempo (t = 0,1,2). La 
cuota de este índice tiene un valor de $1 y se puede comprar la cantidad que se desee, incluso 
fracciones. Existe un activo libre de riesgo que renta un 0% por periodo. 
Se acaba de emitir “Akot”, un nuevo instrumento que en t=2 pagará el valor de la cuota del índice, 
pero con un máximo de $1.4. Por otro lado, si el índice cae, pagará como mínimo $0.80. 
El Valor de este instrumento es $0.95. ¿Cree usted que existe una oportunidad de arbitraje? ¿Cómo 
la aprovecharía? 
Está barato hay que comprarlo y vender corto la estrategia de portafolio imitador: 
 1.5625 
 1.25 1 
F MUTUO 1 0.8 0.64 
 
 1.4 
 1.1778 1 
AKOT 1.0173 0.8889 0.8 
 
 nu*1.5625+bu=1.4 
 nu*1+bu=1 
 nu 0.7111 
 bu 0.2889 
 
n0 0.642 nd 0.5556 
b0 0.3753 bd 0.4444 
 
 
(15 puntos) Arrow-Debreu. Peter tiene una función de utilidad 𝑈(𝑐1) = √𝑐1 − 𝐴, donde 𝑐1 
corresponde a consumo futuro y 𝐴 es una constante, representativa del “consumo de subsistencia”. 
Peter se comporta como si maximizara utilidad esperada. Hay dos estados de la naturaleza, a los 
que se les asignan la probabilidades subjetivas 0.4 y 0.6. Suponga que la riqueza inicial es 𝑊0 =
150. Se transan instrumentos puros, cuyos precios son 𝑝1 y 𝑝2. Si Peter es el consumidor 
representativo de esta economía, ¿qué precios deben tener los instrumentos puros? Suponga que 
la dotación de consumo para los estados 1 y 2 son 150 y 180, respectivamente. Resuelva el problema 
para dos casos 𝐴 = 0 y 𝐴 = 100. ¿Cómo cambian los precios relativos en función de 𝐴 y por qué? 
(Indic. recomiendo usar lagrangiano y resolver primero para los precios relativos). 
𝑀𝑎𝑥 𝐸𝑈 = 0.4√𝑞1 − 100 + 0.6√𝑞2 − 100 + 𝜆 (150 − 𝑝1𝑞1 − 𝑝2𝑞2) 
𝜕𝐸𝑈
𝜕𝑞1
=
0.2
√𝑞1 − 𝐴
− 𝜆𝑝1 = 0 
𝜕𝐸𝑈
𝜕𝑞2
=
0.3
√𝑞2 − 𝐴
− 𝜆𝑝2 = 0 
𝑝2
𝑝1
= 1.5√
𝑞1 − 𝐴
𝑞2 − 𝐴
 
𝑝2
𝑝1
= 1.5√
150 − 𝐴
180 − 𝐴
 
Para A=0, 
𝑝2
𝑝1
= 1.3693. 150 = 150𝑝1 + 180(1.3693𝑝1); 𝑝1 = 0.3783; 𝑝2 = 0.5181. 
Para A=100, 
𝑝2
𝑝1
= 1.1859. 150 = 150𝑝1 + 180(1.1859𝑝1); 𝑝1 = 0.4127; 𝑝2 = 0.4894. 
En la medida que aumenta A, se hace relativamente más escasa la riqueza (en términos de utilidad 
marginal) en el estado que tiene menos dotación. Por lo tanto, aumenta su precio relativo. En el 
extremo, su A tiende a 150, el precio relativo en el estado 2 (más abundante) tiende a cero. 
 
(15 puntos) CAPM de Black. En el mercado hay sólo dos activos no correlacionados con sigma (Mu) 
de 20% (5%) y 30% (10%) respectivamente. La importancia en la capitalización de mercado total de 
cada activo es 30% y 70%, respectivamente. No hay activo libre de riesgo. 
a) (5 puntos) ¿Cuál es la ecuación de la frontera de mínima varianza? 
(1) 𝑤 =
𝑢𝑝 − 𝑢2
𝑢1 − 𝑢2
 
(2) 𝜎𝑝
2 = 𝑤2𝜎1
2 + (1 − 𝑤)2𝜎2
2 + 2𝑤(1 − 𝑤)𝜎1𝜎2 𝑝12 
Luego de hacer (1) en (2) y reemplazar valores se obtiene: 
𝜎𝑝
2 = 52𝑢𝑝
2 − 6,8𝑢𝑝 + 0,25 
 
b) (5 puntos) ¿Qué Beta con respecto al portafolio de mercado tiene cada activo? ¿Qué ecuación 
debe cumplirse para que el portafolio de mercado se encuentre en la frontera eficiente? 
m = 0.038+0.047b 
Beta 1= 0,252 
Beta 2=1,321 
c) (5 puntos) Verifique la rentabilidad esperada del portafolio de cero-beta por la vía de igualar la 
pendiente de la hipérbola (encontrada en a) a la pendiente de la línea recta que pasa por dicha 
rentabilidad esperada (con cero desviación estándar), y el punto (−) representado por el 
portafolio de mercado. Grafique. 
 
𝑆 =
0,085−𝑟𝑓
0,2184
 = m=0,2141 
Despejando para rf: 
𝑟𝑓 = 0,0382 
0,085 
0,2184 
M 
0,0382 
ocb 
(20 puntos) Considere los siguientes tres activos que son los únicos que hay en la economía, A, B y 
C. La tasa libre de riesgo es 2,5%. “PxR” es el premio por riesgo de cada activo y “Var-Cova” es la 
matriz de varianza-covarianza, que tiene las varianzas de los activos en la diagonal principal. 
 
Var-Cova 
 
E( r ) PxR A B C 
A 15,0% 12,5% 0,25 0 0 
B 10,0% 7,5% 0 0,09 0 
C 5,0% 2,5% 0 0 0,25 
 
a) (10 puntos) Encuentre el portafolio riesgoso óptimo, su rentabilidad esperada y su varianza (y/o 
desviación estándar) que todos los inversionistas querrían combinar con el activo libre de riesgo. 
(Indic. Recuerde que cuando se trata de una matriz diagonal, su inversa contiene los recíprocos de 
los elementos en la diagonal) 
b) (10 puntos) Demuestre que se cumple e CAPM tomando el portafolio óptimo de a) como el de 
mercado. 
a) Var-Cova b) 
 E( r ) PxR A B C w no norm w* Cov( ; M) Beta PxR 
A 15,0% 12,5% 0,25 0 0 0,5 0,34883721 0,0872093 1,40522876 12,50% 
B 10,0% 7,5% 0 0,09 0 0,833333333 0,58139535 0,05232558 0,84313725 7,50% 
C 5,0% 2,5% 0 0 0,25 0,1 0,06976744 0,01744186 0,28104575 2,50% 
 E( r ) PxR Varianza 1,433333333 1 
M 11,40% 8,9% 0,062061 
 
 
(15 puntos) CBA es una empresa sin deuda, que todavía no se abre a la bolsa, por lo que sus acciones 
no tienen precio de mercado. Suponiendo un período, el flujo de caja esperado final es $50.000, 
descompuesto como $180.000 de ventas, $90.000 de costos variables, proporcionales a las ventas 
y costos fijos, principalmente sueldos de los trabajadores, de $40.000. La correlación de las ventas 
con el retorno del portafolio de mercado 0,6 y la desviación estándar de las ventas es de $40.000. 
La tasa libre de riesgo es 5%, el premio por riesgo del portafolio de mercado es 6% y la desviación 
estándar del portafolio de mercado es 20%. 
Ventas 180.000 
Costo de Ventas (90.000) 
Costo Fijo (40.000) 
Flujo de Caja 50.000 
 
𝑉0 =
𝐸[𝐹𝐶] − 𝜆 𝐶𝑂𝑉(𝐹𝐶, 𝑅𝑚)
1 + 𝑟𝑓
 
𝜆 =
𝜇𝑚 − 𝑟𝑓
𝜎𝑚
2 =
6%
0.22
= 1.5 
 
a) El valor de liquidación de los activos en el momento inicial es $40.000 ¿Conviene poner la 
empresa en funcionamiento para generar los flujos de caja descritos en el enunciado? 
 𝑐𝑜𝑣(𝐹𝐶, 𝑅𝑚) = 𝑐𝑜𝑣(𝑉 − 𝐶𝑥𝑉 − 𝐶𝐹, 𝑅𝑚) = 𝑐𝑜𝑣(0,5𝑉, 𝑅𝑚) = 0,5 𝑐𝑜𝑣(𝑉, 𝑅𝑚) 
 
0,5 𝑐𝑜𝑣(𝑉, 𝑅𝑚) = 0.5 ∗ 40.000 ∗ 0.2 ∗ 0.6 = 2.400 
 
𝑉0 =
𝐸[𝐹𝐶] − 𝜆 𝑐𝑜𝑣(𝐹𝐶, 𝑅𝑚)
1 + 𝑟𝑓
=
50.000 − 1.5 ∗ 2.400
1.05= 44.190 > 40.000 
No liquido la empresa 
 
b) Encuentre el beta de los activos de la empresa con respecto al portafolio de mercado y con 
él, junto con la fórmula del CAPM verifique el cálculo del valor presente encontrado en (a) 
𝛽𝑎,𝑚 =
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑎 , 𝑟𝑚)
𝜎𝑚
2 
𝑟𝑎 =
𝐹𝐶
𝑉0
− 1 =
𝑉 − 𝐶𝑥𝑉 − 𝐶𝐹
𝑉0
− 1 
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑎 , 𝑟𝑚) = 𝐶𝑂𝑉 (
𝑉 − 𝐶𝑥𝑉 − 𝐶𝐹
𝑉0
− 1, 𝑟𝑚) 
 
= 𝐶𝑂𝑉 (
𝑉 − 𝐶𝑥𝑉
𝑉0
, 𝑟𝑚) =
0.5
𝑉0
 𝐶𝑂𝑉(𝑉, 𝑟𝑚) =
2.400
44190
= 0,0543 
𝛽𝑎,𝑚 =
𝐶𝑂𝑉(𝑟𝑎 , 𝑟𝑚)
𝜎𝑚
2 =
0.0543
0.04
= 1.36 
CAPM: 
𝑟𝑎 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑎,𝑚 (𝑟𝑚 − 𝑟𝑓) = 5% + 1.36 ∗ 6% = 13.16% 
𝑉0 =
50.000
1 + 0.1316
= 44.185 𝑎𝑝𝑝 
 
c) La gerencia está “en conversaciones” con los trabajadores de la empresa para cambiar el 
esquema de remuneraciones de $40.000 fijos, a todo evento, a otro en que la mitad sería 
fija y el resto variable, un bono proporcional a las ventas. ¿Qué porcentaje de las ventas 
estaría dispuesto a pagar la gerencia a los trabajadores? ¿Cuál es el valor esperado de los 
pagos a los trabajadores en dicho caso? 
 
Opción 1: CF = 40.000 
Opción 2: Costo salarios = 20.000 (CF) + % PxQ 
 
𝑉𝑃𝑎𝑙𝑡 1 =
40.000
1,05
= 38.095 ; 𝑉𝑃𝑎𝑙𝑡 2 =
20.000
1,05
+ 𝑉𝑃(𝐵𝑜𝑛𝑜) 
𝐴𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
=> 
 
20.000
1,05
=
𝛼(180.000 − 𝜆𝑐𝑜𝑣(𝑉, 𝑟𝑚))
1,05
 
𝛼 =
20.000
180.000 − 𝜆𝑐𝑜𝑣(𝑉, 𝑟𝑚)
=
20.000
180.000 − 1.5 ∗ 4200
= 11,5% 
 
Comparten riesgos, por lo tanto lo dispuesto a pagar (Esperado) debiese ser mayor. 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑢𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 11,5% ∗ 180.000 + 20.000 = 40.700 > 40.000