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Macroeconometŕıa Aplicada
Examen Final
Segundo Semestre 2019
INDICACIONES GENERALES: Responde todas las preguntas que siguen. El examen
debe ser resuelto individualmente. Env́ıa un documento en formato Word o PDF a Juan
Guerra hasta el jueves 12 de diciembre (final del d́ıa). No responderé preguntas aclaratorias.
Si piensas que alguna pregunta no es clara, indica eso en tu informe y responde de la mejor
manera posible. Al recibir tu examen, entenderé que has léıdo y aceptado el siguiente código
de honor.
Código de Honor: Como miembro de la comunidad de la Pontificia Universidad Católica
de Chile, me comprometo a respetar los principios y normativas que la rigen. Asimismo, me
comprometo a actuar con rectitud y honestidad en esta evaluación. Adicionalmente, declaro
estar en condiciones de saludo adecuadas para rendir esta evaluación y que me presento a
ésta bajo mi responsabilidad. En caso de sentirme mal o tener alguna complicación, deberé
informarlo inmediatamente al ayudante o profesor en sala.
1. (30 pts.) Un VAR estructural de primer orden para el vector bivariado xt = [yt, zt]
′
puede expresarse de la siguiente forma:[
1 byz
bzy 1
] [
yt
zt
]
=
[
γyy γyz
γzy γzz
] [
yt−1
zt−1
]
+
[
uyt
uzt
]
, o
Bxt = Γxt−1 + ut
Al premultiplicar por B−1 se obtiene el VAR en forma reducida:
xt = Φxt−1 + εt,
donde Φ = B−1Γ, εt = B
−1ut, y el vector de errores en forma reducida es εt = [εyt, εzt]
′
La matriz de varianza-covarianza de los shocks estructurales es:
Ωu = E[utu
′
t] =
[
var(uyt) 0
0 var(uzt)
]
La matriz de varianza-covarianza de los residuos en forma reducida es:
Ωε = E[εtε
′
t] =
[
var(εyt) cov(εyt, εzt)
cov(εyt, εzt) var(εzt)
]
Se puede demostrar que Ωu = BΩεB
′ (B′ es la traspuesta de B).
Supón que los residuos de un VAR son tales que var(εyt) = 0.75, var(εzt) = 0.5,
cov(εyt, εzt) = 0.25.
(a) Usando exclusivamente la relación Ωu = BΩεB
′, muestra que no es posible
identificar el VAR estructural (es decir, obtener valores para byz, bzy, var(uy),
var(uz)). Sugerencia: primero desarrolla el producto del lado derecho de Ωu =
BΩεB
′, lo que resulta en una matriz 2 × 2, y después nota que cada elemento
de la matriz del lado izquierdo debe ser igual al elemento correspondiente de la
matriz del lado derecho, con lo que se obtienen cuatro ecuaciones.
1
(b) Usando una estructura recursiva tal que byz = 0, encuentra los valores identifica-
dos de bzy, var(uy), var(uz).
(c) Usando una estructura recursiva tal que bzy = 0, encuentra los valores identifica-
dos de byz, var(uy), var(uz).
2. (30 pts.) Considera el siguiente proceso:
yt = µt + vt, donde µt = µt−1 + εt, vt = ηt + β1ηt−1,
en donde εt, ηt son dos ruido blanco con media 0 y varianzas σ
2
ε y σ
2
η, respectivamente.
Además, estos ruido blanco son independientes: E(εt ηt) = 0.
(a) Expresa yt en función de un valor inicial yo y valores históricos de la(s) variable(s)
ruido blanco. También calcula la proyección k periodos adelante, condicional en
información disponible hasta el periodo t.
(b) ¿Cuál es la representación ARIMA del proceso yt, es decir, al representarlo como
un ARIMA(p,d,q), qué valores toman p, d, q? Sugerencia: Analiza las autoco-
varianzas y/o coeficientes de autocorrelación de la primera diferencia del proceso
yt; ¿como qué proceso se comporta?
3. (40 pts.) La crisis financiera en los EEUU y su recuperación posterior: im-
plicancias de trabajar con tendencias determińısticas o estocásticas. Para
esta pregunta, tendrás acceso a datos del PIB de los EEUU (serie trimestral desesta-
cionalizada, muestra 1947:T1–2019:T3). En lo que sigue, Yt denota el nivel del PIB,
yt = ln(Yt) denota su logaritmo natural, y ∆yt = yt−yt−1 denota la primera diferencia
del logaritmo natural del PIB. Por supuesto, Yt = e
yt ; más abajo llamo “exponen-
ciación” a esta operación.
(a) Considera la evolución económica de los EEUU hasta la quiebra de Lehman
Brothers, punto en que la crisis financiera se agudiza. Para el periodo 1947:T1
–2008:T4, evalúa la presencia de una ráız unitaria en yt (logaritmo natural del
PIB) mediante la prueba Dickey-Fuller aumentada (ADF). Incluye los resultados
de la prueba, la interpretación, y los regresores determińısticos (constante y/o
tendencia temporal) que deben usarse para esta serie. Si no puedes rechazar la
hipótesis nula de ráız unitaria para yt, evalúa si su primera diferencia (∆yt) tiene
ráız unitaria. Asimismo, incluye los resultados, la interpretación, y los regresores
determińısticos que deben usarse. ¿Qué sugieren las pruebas ADF sobre el orden
de integración de yt?
(b) Sabemos que la prueba ADF tiene bajo poder, por lo que trabajaremos con una
tendencia determińıstica y una tendencia estocástica para yt. En particular, tra-
bajaremos con datos de 1947:T1–2008:T4, haremos proyecciones para el pe-
riodo 2009:T1–2019:T3, y compararemos estas proyecciones entre śı y con los
datos efectivos. En primer lugar, ajusta una tendencia determińıstica cúbica a yt:
yt = β0+β1t+β2t
2+β3t
3+εt (periodo 1947:T1–2008:T4). Grafica yt y la tendencia
estimada. Analiza si εt, el desv́ıo de la tendencia cúbica, es estacionario, usando
2
la prueba ADF. Muestra los resultados de la prueba, interprétalos, y muestra qué
regresores determińısticos, si fueran necesarios, se debe incluir. Ahora modela
εt, el desv́ıo de la tendencia cúbica, como un proceso AR(2) y proyéctalo para
2009:T1–2019:T3. Muestra en un gráfico εt y la proyección del modelo AR(2). Por
último, calcula el nivel del PIB Yt asociado a esta proyección. Para esto, debes
proyectar la tendencia cúbica y sumarle la proyección de su desv́ıo, y exponenciar
este resultado. Grafica el nivel del PIB Yt efectivo (los datos observados) y proyec-
tado. Para facilitar la inspección visual, muestra solo el periodo 1991:T1–2019:T3
en este gráfico.
(c) Ahora supón que yt sigue una caminata aleatoria con deriva (yt = µ+yt−1+εt). En
este caso su primera diferencia es estacionaria: ∆yt = yt−yt−1 = µ+εt. Proyecta
esta primera diferencia para 2009:T1–2019:T3 y explica cómo la calculas. Nota
que no hace falta hacer ninguna estimación para esto; piensa en la expectativa
condicional, o proyección, Et(∆yt+k), y en la expectativa incondicional, o media,
E(∆yt). Calcula el nivel del PIB Yt asociado a esta proyección y graf́ıcalo, junto
a los datos observados; nuevamente muestra solo el periodo 1991:T1–2019:T3 en
tu gráfico.
(d) Sintetiza tu análisis en un gráfico de la tasa de crecimiento anual del nivel
del PIB Yt (variación porcentual respecto al mismo trimestre del año anterior),
desde 1991:T1 hasta 2019:T3, que considere los datos efectivos y las proyecciones
que hiciste para la sub-muestra 2009:T1–2019:T3 en los dos literales anteriores.
También presenta una tabla con el crecimiento anual promedio para cada año,
desde 2009 hasta 2018 (por ejemplo, el crecimiento promedio de 2009 será el
promedio del crecimiento anual para los cuatro trimestres de ese año). ¿Qué im-
plicancia tienen los supuestos de tendencia estocástica o determińıstica para la
proyección del crecimiento del PIB real? Es decir, ¿por qué la tendencia deter-
mińıstica resulta en una proyección de crecimiento sustancialmente más alta que
la tendencia estocástica?
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