Ayudantia_3

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Instituto de Economı́a UC Teoŕıa Econometŕıa II
Ayudant́ıa 3
Profesor: Tomás Rau
Ayudante: Bastien Maire
5 de Abril, 2019
I. Modelo de conteo: Poisson regression model
Usted está interesada en estimar la importancia de ciertos factores en la cantidad de accidentes de
tránsito por comuna. Considere un modelo de regresión “a la Poisson” en que una variable y∗ de interés,
en particular, accidentes de transito en una comuna i, tiene una función de masa igual a:
f(y∗i ) =
e−µiµyii
yi!
, donde y∗i ∈ {0, 1, 2, 3, ..., }
y en que la esperanza condicional de y∗i es µi = exp(xiβ) donde xi son variables explicativas de la cantidad
de accidentes y β es un vector de parámetros.
a. ¿Cuál es el supuesto fundamental de este modelo? Demuestre.
b. Escriba la función de máxima verosimilitud asociada a este modelo, y encuentre la condición de
primer orden.
c. Demuestre que existe un único máximo asociado a este modelo. Además, escriba la expresión aso-
ciada a la varianza condicional de β.
d. Obtenga los efectos marginales.
e. Discuta la factibilidad de que el supuesto mencionado en a. se cumpla, y mencione un modelo
alternativo para la estimación.
II. Modelo de conteo: Negative binomial model
En el estudio “The effects of drinking and driving laws on car crashes, injuries, and deaths: Evidence
from Chile1”se realiza una estimación por métodos de conteo y logit para estudiar el efecto de la Ley de
“Cero Tolerancia”, que baja drásticamente el nivel permitido de alcohol en la sangre para conductores
en Chile. El objetivo del estudio es estimar el efecto de la ley mencionada en accidentes de tránsito, y
muertes o lesiones causadas por aquellos accidentes. Para esto, los autores estiman un modelo binomial
negativo.
a. Asuma que la cantidad de accidentes yi,t en una región i en el tiempo t distribuye como una Poisson
con parámetro exi,tβ+δPostt+�i,t donde xi,t es un vector fila que contiene variables explicativas del
modelo y Postt es el identificador del tratamiento, es decir, una “dummy” que toma el valor 1 si la
ley hab́ıa sido aprobada en el momento t y 0 en caso contrario; β, δ son los parámetros a estimar y
1Otero and Rau (2017)
�i,t es un término de error que cumple con que e
�i,t ∼ Gamma(1/θ, θ). Demuestre que la esperanza
condicional de los accidentes es:
E[yi,t|xi,t] = ωi,t = exp{xi,tβ + δPostt}
y que la varianza condicional de los accidentes es:
V ar(yi,t|xi,t) = ωi,t(1 + θωi,t)
¿Qué interpretación tiene θ? ¿Por qué es importante?
b. Encuentre la expresión para el “efecto tratamiento” de la Ley Tolerancia Cero que usan los au-
tores en el contexto de este modelo e interprétela. Es decir, encuentre E[yi,t|xi,t, Postt = 1] −
E[yi,t|xi,t, Postt = 0]. Note que esto no es un efecto marginal sino que un efecto “discreto” que se
genera al entrar en vigencia la Ley. Sea claro en los pasos de su demostración y explique con cuidado
cómo se interpreta el efecto discreto que usted encuentra.
III. Modelos de duración: (Prueba 1 - 1/2013)
Suponga que Ud. tiene datos de duración de desempleo ti (en semanas) para N individuos donde los
regresores (variables explicativas) son invariantes en el tiempo Xi.
a. Cuál es la función de verosimilitud si Ud. sabe que la función de riesgo está dada por
h(t|x) = (1/(1 + α))tα exp(β′x)
y no hay censura. (10 puntos)
b. Suponga que todas las duraciones que exceden un año (52 semanas) están censuradas y se les pone
52 semanas solamente. ¿Cómo cambia la función de verosimilitud? (5 puntos)
c. Suponga que el tiempo de censura ci es aleatorio, independiente de ti, y sigue una distribución
exponencial con media µ. ¿Cuál es la función de verosimilitud en este caso? (5 puntos)
Referencias
Otero, S. and T. Rau (2017): “The effects of drinking and driving laws on car crashes, injuries, and
deaths: Evidence from Chile,” Accident Analysis and Prevention.
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	Modelo de conteo: Poisson regression model
	Modelo de conteo: Negative binomial model
	Modelos de duración: (Prueba 1 - 1/2013)