AyudantiCC81a2

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Instituto de Economı́a UC Teoŕıa Econométrica II
Ayudant́ıa 2
Teoŕıa Econométrica II
Profesor: Tomás Rau
Ayudante: Cristine von Dessauer
22 de Marzo, 2019
1 Probit Ordenado
Suponga tiene un ecuación latente de la siguiente forma:
y∗ = xβ + u
Donde la variable y∗ no es observada, x es un vector de observables exógenos y u sigue una
distribución normal con media 0 y varianza σ2. Si bien y∗ no es observada, śı observamos los
siguiente:
y =

1 si y∗ ≤ c1
2 si c1 < y
∗ ≤ c2
3 si c2 < y
∗ ≤ c3
4 si y∗ > c3
donde c1 < c2 < c3, β son parámetros.
a) Suponga que c1, c2, c3 son desconocidos. Escriba la función de verosimilitud para estimar dichos
parámetros, además de β. Interprete los parámetros del modelo (piense en efectos marginales).
Dé un ejemplo en el cual este modelo ocurre en la realidad y es razonable de ser estimado.
b) Suponga ahora que Ud. quiere estimar una ecuación de Mincer y = xβ + u donde y es el
ingreso, x son caracteŕısticas individuales y u es un término de error. Lamentablemente la
encuesta que Ud. dispone tiene la variable ingreso por tramos, de la siguiente forma:
y =

1 si y ≤ c1
2 si c1 < y ≤ c2
3 si c2 < y ≤ c3
4 si y > c3
donde c1 < c2 < c3 generan tramos de ingreso, que son conocidos. ¿Cómo cambia la estimación
e interpretación de los parámetros (β) del modelo respecto al caso anterior? Desarrolle su
respuesta con argumentos estad́ısticos.
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c) Suponga una pequeña variante del modelo presentado en (a). Tenemos la misma ecuación
latente y∗ = xβ + u, pero observamos:
y =

1 si y∗ ≤ c1
2 si c1 < y
∗ ≤ c2
3 si c2 < y
∗ ≤ c3
y∗ si y∗ > c3
donde c1, c2, c3, β son parámetros desconocidos. Escriba la función de verosimilitud.
2 Modelo de selección
Suponga que Ud. quiere modelar la decisión de una persona de trabajar part-time versus full-time.1
Ud. está preocupada puesto que piensa que puede existir sesgo de selección dado que solo observa
dicha decisión si el trabajador está trabajando. En caso contrario, si no está trabajando, Ud. no
observa dicha decisión. Se tienen las siguientes ecuaciones latentes para la decisión de trabajar (y2)
y para las horas trabajadas (en este caso full o part time) (y1):
y1i = xiβ − υ1i (1)
y2i = ziδ − υ2i (2)
donde: (
υ1i
υ2i
)
∼ N
((
0
0
)
,
(
1 ρ12
ρ12 1
))
Aśı, las variables binarias antes mostradas se definen de la siguiente forma:
D1i =

1 y1i ≤ 30, D2 = 1
0 y1i > 30, D2 = 1
missing si D2 = 0.
D2i =
{
1 y2i > 0
0 si no
a) Suponga que Ud. observa las horas trabajadas y1 solo cuando D2 = 1. ¿En qué se diferencia su
respuesta al modelo Heck-Prob visto en clases? Plantee un modelo LIML (limited information)
y FIML (full information) para obtener los parámetros y explique sus diferencias fundamentales.
1Una persona trabaja part-time si lo hace hasta 30 horas a la semana.
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