Ayudantia_4

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Instituto de Economı́a UC Teoŕıa Econometŕıa II
Ayudant́ıa 4
Profesor: Tomás Rau
Ayudante: Bastien Maire
12 de Abril, 2019
I. Estimador máximo verośımil
Sea la variable aleatoria discreta Y , cuya distribución es Geom(p), con p ∈ (0, 1) y donde:
p(y) = Pr(Y = y) = (1− p)y−1p
con soporte y = {1, 2, 3, ...}. Recuerde que la distribución geométrica tiene E[Y ] = 1
p
y V ar[Y ] =
1− p
p2
.
Suponga que cuenta con una muestra aleatoria de n observaciones para la variable dependiente y, y para
el vector de regresores x de dimensión k. Con estos datos, usted quiere estimar el siguiente modelo no
lineal:
y =
1
F (xβ)
+ u
donde F (·) es una función continua que toma valores al interior del intervalo (0, 1) y además se cumple
que: E[u|x] = 0.
a. Escriba la función de probabilidad de la variable aleatoria Y condicional en X.
b. Escriba la esperanza muestral de logaritmo de la función de verosimilitud y muestra que las condi-
ciones de primer orden pueden escribirse de la forma:
1
n
n∑
i=1
ui(β̂)xij = 0 j = 1, ..., k
donde ui(β̂) es una función pseudo-residual. Muestre además que E[ui(β)|x] = 0.
c. Derive una expresión para la varianza asintótica del estimador máximo verośımil.
II. GMM
Considere las siguientes condiciones de momento para las variables aleatorias X e Y escalares:
E [g(x, y, β)] = 0
a. Suponga que
g(x, y, β) =
(
x(y − xβ)
x− 3
)
además suponga que Y |X distribuye normal con media βX y varianza unitaria. ¿Cuál es la ganancia
en eficiencia de usar las dos condiciones de momento en lugar de usar sólo la primera cuando se
estima por EGMM?
b. Responda a la misma pregunta pero con la siguiente función de momento:
g(x, y, β) =
(
x(y − xβ)
y − 3
)
III. GMM
Suponga que Ud. está interesada en estimar el valor esperado µ de una variable aleatoria X y dispone
de una muestra aleatoria simple de tamaño n. Además, conoce el valor poblacional de la varianza σ2 = 5.
a. Describa en detalle como podŕıa estimar µ por medio de GMM Eficiente. Ayuda: use las dos condi-
ciones de momento impĺıcitas en el enunciado, explique como obtendŕıa la weighting matriz de 2×2
y describa el método de estimación. (8 puntos)
b. Encuentre una expresión para la varianza asintótica en término de de los momentos de X. Ayuda:
la expresión puede contener hasta el cuarto momento central de X. (8 puntos)
c. ¿Cómo difiere la varianza encontrada en b) de la varianza del estimador eficiente de µ en ausencia
de conocimiento sobre σ2 (es decir, que no utiliza dicha condición de momento). (4 puntos)
2
	Estimador máximo verosímil
	GMM
	GMM