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Instituto de Economía UC Macroeconometría Aplicada Ayudantía 1 Macroeconometría Aplicada Ayudante: Ferlisa Báez 16 de abril 2020 1. IDENTIFICACIÓN DE MODELOS Considere los siguientes tres modelos: 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 (1) 𝑥𝑡 = 0.4𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 (2) 𝑥𝑡 = 𝜀𝑡 + 0.9𝜀𝑡−1 (3) a. ¿Qué orden tienen estos modelos? 1) Es una caminata aleatoria 2) Es un modelo AR(1) o ARMA(1,0) 3) Es un modelo MA(1) o ARMA(0,1) b. ¿Cómo se verían las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial de estos procesos? (No es necesario calcular, sólo describir) 2) ACF: Cae geométricamente; PACF: Truncado en un rezago 3) ACF: Truncado en un rezago; PACF: Cae geométricamente c. Haciendo una serie de sustituciones sucesivas y/o según lo discutido en clase sobre estos procesos, comenta sobre la persistencia de shocks 𝜀𝑡 para cada caso. Hacemos algunos supuestos para comprobar numéricamente: 𝑥𝑡−1 = 0, hay un shock en el período t, 𝜀𝑡 = 1, además 𝜀𝑡≠𝑖 = 0, ∀𝑖 > 0. 𝑋𝑡 0.4𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 = 0.4 ∗ 0 + 1 = 1 𝔼(𝑋𝑡+1) 0.4𝑥𝑡 + 𝔼(𝜀𝑡+1) = 0.4 ∗ 1 + 0 = 0.4 𝔼(𝑋𝑡+2) 0.4𝔼(𝑥𝑡+1) + 𝔼(𝜀𝑡+2) = 0.4 ∗ 0.4 + 0 = 0.16 𝔼(𝑋𝑡+3) 0.064 … … 𝑋𝑡 𝜀𝑡 + 0.9𝜀𝑡−1 = 1 + 0.9 ∗ 0 = 1 𝔼(𝑋𝑡+1) 𝔼(𝜀𝑡+1) + 0.9𝜀𝑡 = 0 + 0.9 ∗ 1 = 0.9 𝔼(𝑋𝑡+2) 𝔼(𝜀𝑡+2) + 0.9𝔼(𝜀𝑡+1) = 0 + 0 = 0 𝔼(𝑋𝑡+3) 0 … … 2. ESTACIONARIEDAD 1. Considera el proceso 𝑦𝑡 = (1 + 3𝐿 + 0.7𝐿 2)𝜀𝑡, donde 𝜀𝑡~𝑖𝑖𝑑(0,1), es decir tiene media cero y varianza uno. Determine si este proceso es estacionario. Instituto de Economía UC Macroeconometría Aplicada Primero verifico si los dos primeros momentos son constantes: i. Media: 𝔼(𝑦𝑡) = 𝔼(𝜀𝑡) + 3 ∗ 𝔼(𝜀𝑡−1) + 0.7 ∗ 𝔼(𝜀𝑡−2) = 0 ii. Varianza: 𝔼 [(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡)) 2 ] = 𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)] = 𝔼[𝜀𝑡 2 + 32𝜀𝑡−1 2 + 0.72𝜀𝑡−2 2 + 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] = 𝜎2 + 32𝜎2 + 0.72𝜎2 = 10.49 iii. Autocovarianza: 𝛾0 = 10.49 𝛾1 = 𝔼[(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))(𝑦𝑡−1 − 𝔼(𝑦𝑡−1))] = 𝔼[𝑦𝑡 ∗ 𝑦𝑡−1] 𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡−1 + 3𝜀𝑡−2 + 0.7𝜀𝑡−3)] 𝔼[3𝜀𝑡−1 2 + 0.7 ∗ 3𝜀𝑡−2 2 + 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] 𝔼[3𝜀𝑡−1 2 + 0.7 ∗ 3𝜀𝑡−2 2 ] = 3𝜎2 + 2.1𝜎2 = 5.1 𝛾1 = 5.1 𝛾2 = 𝔼[(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))(𝑦𝑡−2 − 𝔼(𝑦𝑡−2))] = 𝔼[𝑦𝑡 ∗ 𝑦𝑡−2] 𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡−2 + 3𝜀𝑡−3 + 0.7𝜀𝑡−4)] 𝔼[0.7𝜀𝑡−2 2 + 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] 𝔼[0.7𝜀𝑡−2 2 ] = 0.7𝜎2 = 0.7 𝛾2 = 0.7 𝛾3 = 𝔼[(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))(𝑦𝑡−3 − 𝔼(𝑦𝑡−3))] = 𝔼[𝑦𝑡 ∗ 𝑦𝑡−3] 𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡−3 + 3𝜀𝑡−4 + 0.7𝜀𝑡−5)] 𝔼[𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] 𝛾3 = 0 Es constante en los dos primeros momentos y en el tercer momento se vuelve 0 a partir del rezago 2. ∴ Es estacionario 2. Considera el proceso 𝑥𝑡 = 0.4𝑥𝑡−1 + 0.5𝑥𝑡−2 + 𝜀𝑡 a. ¿Qué orden tiene este modelo? Es un AR(2) o ARMA(2,0) b. Determine si el proceso es o no estacionario. i. En este caso vamos a escribirlo a partir del operador de rezago: 𝑥𝑡(1 − 0.4𝐿 − 0.5𝐿2) = 𝜀𝑡 ii. Sustituyo L por z: 𝑥𝑡(1 − 0.4𝑍 − 0.5𝑍 2) = 𝜀𝑡 iii. Aplico la fórmula general: 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎 → 𝑧 = 0.4±√−0.42+4∗0.5 2∗−0.5 𝑧1 = −1.87, 𝑧2 = 1.07 Dado que |𝑧1| > 1 & |𝑧2| > 1 → Es estacionario 3. DESCOMPOSICIÓN DE WOLD Muestre que el proceso 𝑥𝑡 = 0.3𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 puede expresarse como un 𝑀𝐴(∞). ¿Cuál es la condición para que esto pueda hacerse? P.D. 𝑥𝑡 = 0.3𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 ↔ 𝑀𝐴(∞) 𝑥𝑡 = 0.3(0.3𝑥𝑡−2 + 𝜀𝑡−1) + 𝜀𝑡 = 0.3 2𝑥𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝑥𝑡 = 0.3 2(0.3𝑥𝑡−3 + 𝜀𝑡−2) + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 = 0.3 3𝑥𝑡−3 + 0.3 2𝜀𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝑥𝑡 = 0.3 3(0.3𝑥𝑡−4 + 𝜀𝑡−3) + 0.3 2𝜀𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 Instituto de Economía UC Macroeconometría Aplicada 𝑥𝑡 = 0.3 4𝑥𝑡−4 + 0.3 3𝜀𝑡−3 + 0.3 2𝜀𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 𝑥𝑡 = 0.3 𝑇𝑥𝑡−𝑇 + ∑ 0.3 𝑘𝜀𝑡−𝑘 ∞ 𝑘=0 𝑥𝑡 = [ lim 𝑇→∞ 0.3𝑇𝑥𝑡−𝑇] + ∑ 0.3 𝑘𝜀𝑡−𝑘 ∞ 𝑘=0 𝑥𝑡 = ∑ 0.3 𝑘𝜀𝑡−𝑘 ∞ 𝑘=0 ↔ 𝑀𝐴(∞) 4. CRITERIOS DE INFORMACIÓN Partiendo del punto 2 de la tarea 2, vamos a completar la siguiente tabla para algunas variaciones de un modelo ARMA, recuerde que la serie tiene 185 observaciones y que le dan el valor de log(𝜎𝜀 2). Orden ARMA log(𝜎𝜀 2) AIC = ln(𝜎𝜀 2) + 2𝑘 𝑇 BIC = ln(𝜎𝜀 2) + 𝑘 𝑇 ln(𝑇) (0,0) 1.234 1.234 + 2 ∗ 2 185 = 1.256 1.234 + 2 185 ln(185) = 1.290 (2,1) 0.996 1.234 + 2 ∗ 5 185 = 1.050 1.234 + 5 185 ln(185) = 1.137 (3,3) 0.977 1.234 + 2 ∗ 8 185 = 1.063 1.234 + 8 185 ln(185) = 1.203 Nótese que el número de parámetros a estimar (k) es igual a 2+orden del modelo ARMA. Ese 2 corresponde a la media y a la desviación estándar que se tienen que estimar para caracterizar cualquier serie de tiempo.
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