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Ayudantia 1

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Instituto de Economía UC Macroeconometría Aplicada 
Ayudantía 1 
Macroeconometría Aplicada 
Ayudante: Ferlisa Báez 
16 de abril 2020 
 
1. IDENTIFICACIÓN DE MODELOS 
Considere los siguientes tres modelos: 
𝑥𝑡 = 𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 (1) 
𝑥𝑡 = 0.4𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 (2) 
𝑥𝑡 = 𝜀𝑡 + 0.9𝜀𝑡−1 (3) 
a. ¿Qué orden tienen estos modelos? 
1) Es una caminata aleatoria 
2) Es un modelo AR(1) o ARMA(1,0) 
3) Es un modelo MA(1) o ARMA(0,1) 
b. ¿Cómo se verían las funciones de autocorrelación (ACF) y autocorrelación parcial de estos 
procesos? (No es necesario calcular, sólo describir) 
2) ACF: Cae geométricamente; PACF: Truncado en un rezago 
3) ACF: Truncado en un rezago; PACF: Cae geométricamente 
c. Haciendo una serie de sustituciones sucesivas y/o según lo discutido en clase sobre estos 
procesos, comenta sobre la persistencia de shocks 𝜀𝑡 para cada caso. 
Hacemos algunos supuestos para comprobar numéricamente: 𝑥𝑡−1 = 0, hay un shock en el período t, 
𝜀𝑡 = 1, además 𝜀𝑡≠𝑖 = 0, ∀𝑖 > 0. 
𝑋𝑡 0.4𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 = 0.4 ∗ 0 + 1 = 1 
𝔼(𝑋𝑡+1) 0.4𝑥𝑡 + 𝔼(𝜀𝑡+1) = 0.4 ∗ 1 + 0 = 0.4 
𝔼(𝑋𝑡+2) 0.4𝔼(𝑥𝑡+1) + 𝔼(𝜀𝑡+2) = 0.4 ∗ 0.4 + 0 = 0.16 
𝔼(𝑋𝑡+3) 0.064 
… … 
 
𝑋𝑡 𝜀𝑡 + 0.9𝜀𝑡−1 = 1 + 0.9 ∗ 0 = 1 
𝔼(𝑋𝑡+1) 𝔼(𝜀𝑡+1) + 0.9𝜀𝑡 = 0 + 0.9 ∗ 1 = 0.9 
𝔼(𝑋𝑡+2) 𝔼(𝜀𝑡+2) + 0.9𝔼(𝜀𝑡+1) = 0 + 0 = 0 
𝔼(𝑋𝑡+3) 0 
… … 
 
2. ESTACIONARIEDAD 
 
1. Considera el proceso 𝑦𝑡 = (1 + 3𝐿 + 0.7𝐿
2)𝜀𝑡, donde 𝜀𝑡~𝑖𝑖𝑑(0,1), es decir tiene media cero 
y varianza uno. Determine si este proceso es estacionario. 
Instituto de Economía UC Macroeconometría Aplicada 
Primero verifico si los dos primeros momentos son constantes: 
i. Media: 𝔼(𝑦𝑡) = 𝔼(𝜀𝑡) + 3 ∗ 𝔼(𝜀𝑡−1) + 0.7 ∗ 𝔼(𝜀𝑡−2) = 0 
ii. Varianza: 𝔼 [(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))
2
] = 𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)] = 
𝔼[𝜀𝑡
2 + 32𝜀𝑡−1
2 + 0.72𝜀𝑡−2
2 + 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] = 𝜎2 + 32𝜎2 + 0.72𝜎2 = 10.49 
iii. Autocovarianza: 𝛾0 = 10.49 
𝛾1 = 𝔼[(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))(𝑦𝑡−1 − 𝔼(𝑦𝑡−1))] = 𝔼[𝑦𝑡 ∗ 𝑦𝑡−1] 
𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡−1 + 3𝜀𝑡−2 + 0.7𝜀𝑡−3)] 
𝔼[3𝜀𝑡−1
2 + 0.7 ∗ 3𝜀𝑡−2
2 + 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] 
𝔼[3𝜀𝑡−1
2 + 0.7 ∗ 3𝜀𝑡−2
2 ] = 3𝜎2 + 2.1𝜎2 = 5.1 
𝛾1 = 5.1 
𝛾2 = 𝔼[(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))(𝑦𝑡−2 − 𝔼(𝑦𝑡−2))] = 𝔼[𝑦𝑡 ∗ 𝑦𝑡−2] 
𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡−2 + 3𝜀𝑡−3 + 0.7𝜀𝑡−4)] 
𝔼[0.7𝜀𝑡−2
2 + 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] 
𝔼[0.7𝜀𝑡−2
2 ] = 0.7𝜎2 = 0.7 
𝛾2 = 0.7 
𝛾3 = 𝔼[(𝑦𝑡 − 𝔼(𝑦𝑡))(𝑦𝑡−3 − 𝔼(𝑦𝑡−3))] = 𝔼[𝑦𝑡 ∗ 𝑦𝑡−3] 
𝔼[(𝜀𝑡 + 3𝜀𝑡−1 + 0.7𝜀𝑡−2)(𝜀𝑡−3 + 3𝜀𝑡−4 + 0.7𝜀𝑡−5)] 
𝔼[𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜𝑠] 
𝛾3 = 0 
Es constante en los dos primeros momentos y en el tercer momento se vuelve 0 a partir del rezago 2. 
∴ Es estacionario 
 
2. Considera el proceso 𝑥𝑡 = 0.4𝑥𝑡−1 + 0.5𝑥𝑡−2 + 𝜀𝑡 
a. ¿Qué orden tiene este modelo? 
Es un AR(2) o ARMA(2,0) 
b. Determine si el proceso es o no estacionario. 
i. En este caso vamos a escribirlo a partir del operador de rezago: 𝑥𝑡(1 −
0.4𝐿 − 0.5𝐿2) = 𝜀𝑡 
ii. Sustituyo L por z: 𝑥𝑡(1 − 0.4𝑍 − 0.5𝑍
2) = 𝜀𝑡 
iii. Aplico la fórmula general: 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑧 =
0.4±√−0.42+4∗0.5
2∗−0.5
 
𝑧1 = −1.87, 𝑧2 = 1.07 
Dado que |𝑧1| > 1 & |𝑧2| > 1 → Es estacionario 
3. DESCOMPOSICIÓN DE WOLD 
Muestre que el proceso 𝑥𝑡 = 0.3𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 puede expresarse como un 𝑀𝐴(∞). ¿Cuál es la condición para 
que esto pueda hacerse? 
P.D. 𝑥𝑡 = 0.3𝑥𝑡−1 + 𝜀𝑡 ↔ 𝑀𝐴(∞) 
𝑥𝑡 = 0.3(0.3𝑥𝑡−2 + 𝜀𝑡−1) + 𝜀𝑡 = 0.3
2𝑥𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 
𝑥𝑡 = 0.3
2(0.3𝑥𝑡−3 + 𝜀𝑡−2) + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 = 0.3
3𝑥𝑡−3 + 0.3
2𝜀𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 
𝑥𝑡 = 0.3
3(0.3𝑥𝑡−4 + 𝜀𝑡−3) + 0.3
2𝜀𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 
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𝑥𝑡 = 0.3
4𝑥𝑡−4 + 0.3
3𝜀𝑡−3 + 0.3
2𝜀𝑡−2 + 0.3𝜀𝑡−1 + 𝜀𝑡 
𝑥𝑡 = 0.3
𝑇𝑥𝑡−𝑇 + ∑ 0.3
𝑘𝜀𝑡−𝑘
∞
𝑘=0
 
𝑥𝑡 = [ lim
𝑇→∞
0.3𝑇𝑥𝑡−𝑇] + ∑ 0.3
𝑘𝜀𝑡−𝑘
∞
𝑘=0
 
𝑥𝑡 = ∑ 0.3
𝑘𝜀𝑡−𝑘
∞
𝑘=0
↔ 𝑀𝐴(∞) 
4. CRITERIOS DE INFORMACIÓN 
 
Partiendo del punto 2 de la tarea 2, vamos a completar la siguiente tabla para algunas variaciones de un 
modelo ARMA, recuerde que la serie tiene 185 observaciones y que le dan el valor de log(𝜎𝜀
2). 
Orden ARMA log(𝜎𝜀
2) AIC = ln(𝜎𝜀
2) +
2𝑘
𝑇
 BIC = ln(𝜎𝜀
2) +
𝑘
𝑇
ln(𝑇) 
(0,0) 1.234 
1.234 +
2 ∗ 2
185
= 1.256 1.234 +
2
185
ln(185) = 1.290 
(2,1) 0.996 
1.234 +
2 ∗ 5
185
= 1.050 1.234 +
5
185
ln(185) = 1.137 
(3,3) 0.977 
1.234 +
2 ∗ 8
185
= 1.063 1.234 +
8
185
ln(185) = 1.203 
 
Nótese que el número de parámetros a estimar (k) es igual a 2+orden del modelo ARMA. Ese 2 
corresponde a la media y a la desviación estándar que se tienen que estimar para caracterizar cualquier 
serie de tiempo.

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