Taller_05_06

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemática
PIMU A
Minicurso: Funciones trigonométricas
Resumen: Los ejercicios de este documento evalúan los contenidos vis-
tos en las clase 5 y 6.
Copyright c⃝ 2017
Actualizado el: 15 de Enero de 2017
2
Escritura
1. El número π se escribe pi
2. La expresión x2 se escribe x^2
3. La expresión |x| se escribe |x|
4. La expresión
√
x se escribe sqrt(x)
5. El intervalo cerrado [0, 1] se escribe [0,1]
6. El intervalo abierto (1, 3) se escribe (1,3)
7. El intervalo
(
−∞, 1
2
]
se escribe (-inf,1/2]
8. El intervalo (−∞,∞) se escribe (-inf,inf)
9. El conjunto (−3,−1] ∪ (4,∞) se escribe (-3,-1]U(4,inf)
10. El conjunto {2} ∪ (3, 4] se escribe [2,2]U(3,4]
3
Calcular el valor de la expresión
sin(18◦) cos(27◦) + cos(18◦) sin(27◦)
Solución.
Pregunta 1
4
Calcular el valor de la expresión
cos
(
3π
7
)
cos
(
2π
21
)
+ sin
(
3π
7
)
sin
(
2π
21
)
Solución.
Pregunta 2
5
Calcular el valor de la expresión
tan(73◦)− tan(13◦)
1 + tan(73◦) tan(13◦)
Solución.
Pregunta 3
6
El valor de sin(15◦) es igual a:
√
6−
√
2
4
√
6 +
√
2
4
√
6−
√
2
2
√
6 +
√
2
2
Pregunta 4
7
El valor de tan(75◦) es igual a:
√
3 + 1√
3− 1
√
3− 1√
3 + 1
1−
√
3
1 +
√
3
1 +
√
3
1−
√
3
Pregunta 5
8
El valor de cos(105◦) es igual a:
√
2−
√
6
4
√
2 +
√
6
4
√
6−
√
2
4
√
6 +
√
2
4
Pregunta 6
9
1. sin(t+ π) es igual a
sin(t) − sin(t) cos(t) − cos(t)
2. cos(t+ π) es igual a
sin(t) − sin(t) cos(t) − cos(t)
3. sin
(
t+ π
2
)
es igual a
sin(t) − sin(t) cos(t) − cos(t)
4. cos
(
t+ π
2
)
es igual a
sin(t) − sin(t) cos(t) − cos(t)
5. tan
(
t+ π
2
)
es igual a
tan(t) − tan(t) cot(t) − cot(t)
Pregunta 7
10
La expresión sin(x+ y)− sin(x− y) es igual a
2 cos(x) sin(y)
−2 cos(x) sin(y)
2 cos(y) sin(x)
−2 cos(y) sin(x)
Pregunta 8
11
La expresión cos
(
x+ π
6
)
+ sin
(
x− π
3
)
es igual a
0
−1
1
2
Pregunta 9
12
La expresión
sin(x− y)
cos(x) cos(y)
es igual a
tan(x)− tan(y)
sin(x)− sin(y)
tan(x) + tan(y)
sin(x) + sin(y)
Pregunta 10
13
La expresión
sin(x+ y)− sin(x− y)
cos(x+ y) + cos(x− y) es igual a
tan(y)
tan(x)
cot(x)
cot(y)
Pregunta 11
14
La expresión cos(x+ y) cos(x− y) es igual a
cos2(x)− sin2(y)
cos2(x) + sin2(y)
sin2(x)− cos2(y)
sin2(x) + cos2(y)
Pregunta 12
15
La expresión −
√
3 sin(x) + cos(x) es igual a
−2 sin
(
x− π
6
)
−2 sin
(
x+
π
6
)
−2 sin
(
x+
π
3
)
−2 sin
(
x− π
3
)
Pregunta 13
16
La expresión sin(x) + cos(x) es igual a
√
2 sin
(
x+
π
4
)
√
2 sin
(
x− π
4
)
−
√
2 sin
(
x+
π
4
)
−
√
2 sin
(
x− π
4
)
Pregunta 14
17
Considere la siguiente figura:
α β
γ
6 4
3 4
Determine el valor exacto de tan(γ).
Solución.
tan(γ) =
Pregunta 15
18
Se sabe que α es un ángulo en el tercer cuadrante tal que tan(α) =
3
4
. El valor numértico de sin(30◦ −α)
está dado por:
−4 + 3
√
3
10
−4− 3
√
3
10
4 + 3
√
3
10
4− 3
√
3
10
Pregunta 16
19
Determine el valor numérico de cot(t− π/4) sabiendo que tan(t) = 2/3.
Solución.
cot(t− π/4) =
Pregunta 17
20
Determine el valor numérico de sin(α + β) sabiendo que sin(α) = 12
13
y tan(β) = 3
4
con α en el segundo
cuadrante y β en el tercer cuadrante.
Solución.
sin(α+ β) =
Pregunta 18
21
Determine el valor numérico de tan(α+ β) sabiendo que cos(α) = − 2√
5
y sin(β) = 2√
13
con α en el tercer
cuadrante y β en el segundo cuadrante.
Solución.
sin(α+ β) =
Pregunta 19
22
Al simplificar la expresión 2 sin(18◦) cos(18◦) queda:
sin(36◦)
sin(9◦)
cos(36◦)
cos(9◦)
Pregunta 20
23
Al simplificar la expresión
2 tan(14◦)
1− tan2(14◦) queda:
tan(28◦)
tan(7◦)
cot(28◦)
cot(7◦)
Pregunta 21
24
Al simplificar la expresión cos2(18◦)− sin2(18◦) queda:
cos(36◦)
cos(9◦)
sin(36◦)
sin(9◦)
Pregunta 22
25
Al simplificar la expresión
√
1 + cos(30◦)
2
queda:
cos(15◦)
cos(60◦)
sin(15◦)
sin(60◦)
Pregunta 23
26
Si t está en el primer cuadrante y sin(t) =
3
5
, determine el valor numérico de sin(2t).
Solución.
sin(2t) =
Pregunta 24
27
Si t está en el cuarto cuadrante y cos(t) =
5
13
, determine el valor numérico de tan(2t).
Solución.
tan(2t) =
Pregunta 25
28
Si sin(t) > 0 y cot(x) =
2
3
, determine el valor numérico de cos(2t).
Solución.
cos(2t) =
Pregunta 26
29
Las siguientes fórmulas
sin2(x) =
1− cos(2x)
2
y cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
permiten reducir potencias en una expresión trigonométrica.
¿Cuál de las siguientes expresiones es una reducción en potencias de sin4(x)?
3− 4 cos(2x) + cos(4x)
8
3 + 4 cos(2x) + cos(4x)
8
3− 4 cos(2x)− cos(4x)
8
3 + 4 cos(2x)− cos(4x)
8
Pregunta 27
30
Las siguientes fórmulas
sin2(x) =
1− cos(2x)
2
y cos2(x) =
1 + cos(2x)
2
permiten reducir potencias en una expresión trigonométrica.
¿Cuál de las siguientes expresiones es una reducción en potencias de cos4(x)?
3− 4 cos(2x) + cos(4x)
8
3 + 4 cos(2x) + cos(4x)
8
3− 4 cos(2x)− cos(4x)
8
3 + 4 cos(2x)− cos(4x)
8
Pregunta 28
31
Si 0 < x <
π
2
y sin(x) =
3
5
, determine sin
(
x
2
)
.
Solución.
sin
(
x
2
)
=
Pregunta 29
32
Si
π
2
< x < π y cos(x) = −4
5
, determine tan
(
x
2
)
.
Solución.
tan
(
x
2
)
=
Pregunta 30
33
Si
3π
2
< x < 2π y sec(x) =
3
2
, determine cos
(
x
2
)
.
Solución.
cos
(
x
2
)
=
Pregunta 31
34
Al simplificar la expresión (cos(x) + sin(x))2 − 1 se obtiene:
sin(2x)
cos(2x)
2 sin(x)
2 cos(x)
Pregunta 32
35
Al simplificar la expresión
2 tan(x)
1 + tan2(x)
se obtiene:
sin(2x)
cos(2x)
tan(2x)
tan(2x)
Pregunta 33
36
Al simplificar la expresión
sin(4x)
4 sin(x) cos(x)
se obtiene:
sin(2x)
cos(2x)
sec(2x)
csc(2x)
Pregunta 34
37
Al simplificar la expresión cos4(x)− sin4(x) se obtiene:
cos(2x)
cos2(2x)
sin(2x)
sin2(2x)
Pregunta 35
38
Calcular el valor exacto de arcsin
(
1
2
)
.
Solución.
Pregunta 36
39
Calcular el valor exacto de arccos
(
−1
2
)
Solución.
Pregunta 37
40
Calcular el valor exacto de arctan
(√
3
)
Solución.
Pregunta 38
41
Calcular el valor exacto de arcsin
(
−1
2
)
Solución.
Pregunta 39
42
Determine el valor exacto de la siguiente expresión
E = arcsin
(
1
2
)
+ arctan
(
−
√
3
3
)
− arccos
(
−
√
2
2
)
Solución.
Pregunta 40
43
Calcular el valor exacto de sin
(
arcsin
(
1
4
))
.
Solución.
Pregunta 41
44
Calcular el valor exacto de arccos
(
cos
(π
3
))
.
Solución.
Pregunta 42
45
Calcular el valor exacto de arctan
(
tan
(
3π
4
))
.
Solución.
Pregunta 43
46
Calcular el valor exacto de arccos
(
cos
(
−π
4
))
.
Solución.
Pregunta 44
47
Calcular el valor exacto de tan
(
arcsin
(
−
√
3
2
))
.
Solución.
Pregunta 45
48
Calcular el valor exacto de arccos
(√
3 sin
(π
6
))
.
Solución.
Pregunta 46
49
Calcular el valor exacto de sec(arcsin(12/13)).
Solución.
Pregunta 47
50
Calcular el valor exacto de sin(arccos(3/5)).
Solución.
Pregunta 48
51
Calcular el valor exacto de tan(arcsin(1/2)).
Solución.
Pregunta 49
52
Calcular el valor exacto de tan(2 arctan(5/13)).
Solución.
Pregunta 50
53
Calcular el valor exacto de cos(arcsin(3/5)− arccos(3/5)).
Solución.
Pregunta 51
54
Una expresión algebraica que representa a
cos(arcsin(x))
es:
√
1− x2
− 1√
1− x2
−
√
1− x2
1√
1− x2
Pregunta 52
55
Una expresión algebraica que representa a
sin(arctan(x))
es:
x√
1 + x2
1√
1 + x2
√
1 + x2
x
√
1 + x2
Pregunta 53
56
Una expresión algebraica que representa a
sin(2 arcsin(x))
es:
2x
√
1− x2
2
√
1− x2
2x√
1− x2
2√
1− x2
Pregunta 54
57
Una expresión algebraica que representa a
sin (arctan(x)− arcsin(x))
es:
x(
√
1− x2 − 1)√
1 + x2
x
√
1 + x2√
1− x2 − 1
x(
√
1− x2 + 1)√
1 + x2
x
√
1 + x2√
1− x2 + 1
Pregunta 55
58
Determine el valor de α+ β + γ en la siguiente figura.
1 1 1
1
α β γ
Sugerencia. Primero use la fórmula de adición para calcular α + β.
Nota. Escriba su resultado en radianes.
Solución.
α+ β + γ=
Pregunta 56
59
Determine el conjunto solución de la ecuación
sin(2x) = 0, x ∈ [−π, π]
Solución
x =
Pregunta 57
60
Determine el conjunto solución de la ecuación
cos(3x) =
1
2
, x ∈ [−2π, 0]
x =
Pregunta 58
61
Determine el conjunto solución de la ecuación
tan
(
x
2
)
=
√
3, x ∈ [0, 3π]
Solución
x =
Pregunta 59
62
Determine el conjunto solución de la ecuación
sin(3x) cos(x) = 0, x ∈ [0, π]
Solución
x =
Pregunta 60
63
Determine el conjunto solución de la ecuación
(2 sin(3x) + 1) cos(2x) = 0, x ∈ [0, π]
Solución
x =
Pregunta 61
64
Determine el conjunto solución de la ecuación
2 cos2(x) + sin(x) = 1, x ∈ [0, 2π]
Solución
x =
Pregunta 62
65
Determine el conjunto solución de la ecuación
tan(2x) = 2 sin(x), x ∈ [−π, π]
Solución
x =
Pregunta 63
66
Determine el conjunto solución de la ecuación
3 sin2(x)− 7 sin(x) + 2 = 0, x ∈ [0, 2π]
Solución
x =
Pregunta 64
	sqIDeqSqBn1: 
	obj.eqSqBn1.1: 
	obj.eqSqBn1.2: 
	obj.eqSqBn1.3: 
	obj.eqSqBn1.4: 
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	corr.P21.140: 
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	obj.P21.142: 
	corr.P21.142: