Ayudantia02_Pauta_

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Segundo Semestre 2017 
PAUTA AYUDANTÍA 2 
1. Definamos como A al evento en que el azar los vuelve a juntar 
 
Tenemos que los ex se encuentra en secciones distintas, cuando la facultad selecciona al azar 
alumnos de ambas secciones para formar la sección tres, el número total de secciones 3 
distintas posibles serían: 
 
#𝑆 = (
40
10
) ∗ (
50
20
) 
 
De este total, los ex están juntos nuevamente en: 
 
#𝐴 = (
39
9
) ∗ (
49
19
) 
 
Luego, 
𝑃(𝐴) =
#𝐴
#𝑆
=
1
10
 
 
 
2. Casos totales: 
 
Etapa 1: De los 92 torniquetes elegimos 24 para acceso Avenida Maratón: 
(
92
24
) 
Etapa 2: De los (92 - 24) = 68 torniquetes restantes elegimos 56 para acceso Avenida Grecia: 
(
68
56
) 
 
Etapa 3: De los (68 - 56) = 12 torniquetes restantes elegimos 12 para acceso calle Gmo. Mann: 
sólo 1 manera. 
 
De este modo, los casos totales son: 
#𝑆 = (
92
24
) ∗ (
68
56
) 
 
Casos Favorables: Dado que la mitad de los torniquetes (46) son defectuosos, mantener las 
proporciones iguales en los tres accesos significa que en cada uno de ellos, la mitad de los 
torniquetes debe ser defectuoso. Para ello, dividimos los 92 torniquetes en dos grupos: los 46 
defectuosos y los 46 no defectuosos: 
 
Etapa 1: Para Avenida Maratón: de los 46 torniquetes defectuosos elegimos 12, y de los 46 
torniquetes no defectuosos elegimos 12: 
 
(
46
12
) ∗ (
46
12
) 
 
Etapa 2: Para Avenida Grecia: de los (46 - 12) = 34 torniquetes defectuosos elegimos 28, y 
de los (46 - 12) = 34 torniquetes no defectuosos elegimos 28: 
(
34
28
) ∗ (
34
28
) 
 
Etapa 3: Para calle Gmo. Mann: de los (34 - 28) = 6 torniquetes defectuosos elegimos 6, y de 
los (34 - 28) = 6 torniquetes no defectuosos elegimos 6: sólo una manera. 
De este modo, los casos favorables son: 
#𝐴 = (
46
12
)
2
∗ (
34
28
)
2
 
Finalmente, la probabilidad pedida es: 
𝑃(𝐴) =
#𝐴
#𝑆
=
(46
12
)
2
∗ (34
28
)
2
(92
24
) ∗ (68
56
)
 
 
3. Definamos 
• 2n: cantidad invitados 
• a: número de personas que prefieren pino 
• b: número de personas que prefieren napolitana 
• n: cantidad de pino y napolitana 
• 2n-(a+b): sin preferencia 
• A: se respetan las preferencias 
 
Luego, 
𝑃(𝐴) =
#𝐴
#Ω
, 
 Ω = 2𝑛 ∗ (2𝑛 − 1) … 1 = (2𝑛)!
 
#𝐴 = (#𝑃𝑖𝑛𝑜)(#𝑁𝑎𝑝𝑜)(#𝑆𝑖𝑛 𝑝𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎) 
(#𝑃𝑖𝑛𝑜) = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑎 + 1) 
#𝑁𝑎𝑝𝑜 = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑏 + 1) 
#𝑆𝑃 = (2𝑛 − 𝑎 − 𝑏)! 
 
Por lo tanto, 
𝑃(𝐴) =
𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑎 + 1) ∗ 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑏 + 1) ∗ (2𝑛 − 𝑎 − 𝑏)!
(2𝑛)!
 
 
 
4. Definamos como A al evento (o suceso) “Obtener algún premio” y n al número de boletos 
adquiridos. 
Se pide P(A) > 0,8 (1) 
 
Alternativa 1: Por propiedad del complemento tenemos que 
 
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(�̅�) 
= 1 −
(2
0
) ∗ (98
𝑛
)
(100
𝑛
)
 
= 1 −
2!
0! ∗ 2!
∗
98!
𝑛! ∗ (98 − 𝑛!)
100!
𝑛! ∗ (100 − 𝑛!)
 
= 1 −
(100 − 𝑛) ∗ (99 − 𝑛)
100 ∗ 99
 
 
Evaluando en (1) tenemos que 
(100 − 𝑛) ∗ (99 − 𝑛)
100 ∗ 99
 > 0,2 −→ 𝑛2 − 199𝑛 + 7920 < 0 
 
Donde las soluciones son 55 y 144. Por lo tanto, se recomienda adquirir más de 55 boletos 
para que la probabilidad de ganar algún premio sea superior a 0,8. 
 
Alternativa 2: Tenemos que 
 
𝑃(𝐴) =
(2
1
) ∗ ( 98
𝑛−1
) + (2
2
) ∗ ( 98
𝑛−2
)
(100
𝑛
)
 
=
2!
1! ∗ 1!
∗
98!
(𝑛 − 1)! ∗ (98 − 𝑛 + 1)!
+
2!
2! ∗ 0!
∗
98!
(𝑛 − 2)! ∗ (98 − 𝑛 + 2)!
100!
𝑛! ∗ (100 − 𝑛)!
 
=
2 ∗ 𝑛 ∗ (100 − 𝑛)
100 ∗ 99
+
𝑛 ∗ (𝑛 − 1)
100 ∗ 99
 
 
Evaluando en (1) tenemos que 
2 ∗ 𝑛 ∗ (100 − 𝑛)
100 ∗ 99
+
𝑛 ∗ (𝑛 − 1)
100 ∗ 99
> 0,8 −→ 𝑛2 − 199𝑛 + 7920 < 0 
 
 
Donde las soluciones son 55 y 144. Por lo tanto, se recomienda adquirir más de 55 boletos 
para que la probabilidad de ganar algún premio sea superior a 0,8. 
 
 
5. La probabilidad buscada estaría dada por: 
𝑃 =
#𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
#𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
 
 
Primero para los casos totales tenemos las posibles combinaciones de distribuir los 90 
alumnos en tres secciones de 30 alumnos. Para la primera sección tenemos la combinación 
de elegir 30 alumnos de 90, para la segunda 30 de 60 y la última es con los que quedan. Esto 
es una multinomial distribuyendo 90 alumnos. 
 
Por lo tanto: 
#𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = (
90
30 30 30
) 
 
Para los casos favorables, son los que los dos amigos queden en la misma sección; si elegimos 
una sección donde están juntos, todos los otros alumnos en esa sección pueden variar, de la 
misma forma en las otras secciones. Esto es equivalente a dividir los otros 88 alumnos en 
grupos de 28, 30 y 30, ya que fijamos a Nicolás y Fernando en una sección. 
 
#𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 = (
88
28 30 30
) + (
88
30 28 30
) + (
88
30 30 28
) = (
88
28 30 30
) ∗ 3 
 
Finalmente, 
𝑃 =
#𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
#𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
= 0,3258