Ayudantia09

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Segundo Semestre 2017 
 
AYUDANTIA 9 
EAS200a: Probabilidad y Estadística 
Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso 
Ayudantes docentes: Sebastián Martínez, Consuelo Sotomayor 
y Juan Cortés 
 
1. Debido a variaciones en un proceso de producción (materias primas, maquinarias, habilidad 
de la mano de obra, etc.) las longitudes de piezas cilíndricas de tipo A se comportan como 
una variable aleatoria con distribución Normal con media 35,2 cm y varianza 0,6 cm2. 
 
a) ¿Qué porcentaje de las piezas producidas se encontrarán entre 31,5 cm y 36,5 cm? 
 
Como parte de una máquina, la pieza de tipo A va ensamblada con otras dos piezas, una a 
continuación de la otra, también cilíndricas, pero de tipo B, que por las mismas razones de 
variación en el proceso de producción tienen longitudes que se comportan como variables 
aleatorias con distribución Normal de media 6 cm y varianza 0,4 cm2. 
 
Para prevenir un roce excesivo entre las piezas la longitud total del ensamble debe medir entre 
46,8 cm y 47,5 cm. 
 
b) Suponiendo que las longitudes son independientes, ¿Qué porcentaje de ensambles van a 
presentar un roce excesivo? 
 
Ayuda: Sean 𝑋1, … 𝑋𝑛 variables aleatorias independientes con distribución Normal con 
parámetros (𝑢1, 𝜎1
2), … , (𝑢𝑛, 𝜎𝑛
2), respectivamente, entonces 𝑋1 + ⋯ + 𝑋𝑛~ Normal (𝑢1 +
⋯ + 𝑢𝑛, 𝜎1
2 + ⋯ + 𝜎𝑛
2) 
 
c) Si las varianzas de las distribuciones de tipo A y B disminuyeran en un 50% ¿Qué 
porcentaje de ensambles van a presentar un roce excesivo? 
 
 
2. La concentración media diaria de contaminantes en una corriente se comporta como una 
variable aleatoria X cuyo valor esperado 𝑢𝑋 es 60 mg/lts y su desviación estándar 𝜎𝑋 es igual 
a 12 mg/lts. Suponga que la función de densidad de X está dada por 
𝑓𝑋(𝑥) =
1
√2𝜋
∗
1
𝑥𝜑
∗ exp [−
1
2
(
ln 𝑥 − 𝜆
𝜑
)
2
] 
Con 𝑥 > 0, 𝜆 ∈ ℝ 𝑦 𝜑 > 0. La varianza y esperanza de esta distribución en términos de los 
parámetros λ y 𝜑 están dadas por: 
𝑢𝑋 = exp (𝜆 +
1
2
𝜑2) , 𝜎𝑋
2 = 𝑢𝑋
2 (𝑒𝜑
2
− 1) 
 
a) Muestre que Y=lnX tiene distribución Normal, con valor esperado λ y desviación 
estándar 𝜑. 
b) Usando (a), calcule la probabilidad de que la concentración promedio de contaminantes 
en la corriente sea superior a 100 mg/lts en un día determinado.