Ayudantia06_Pauta_

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Segundo Semestre 2017 
PAUTA AYUDANTÍA 6 
 
1. 
 
 
 
 Luego m= 2 es mediana de X. 
La moda de la variable X es aquel valor que tiene mayor probabilidad, que 
corresponde a X=2. 
 
2. 
 a) 
𝑀𝑌(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑌) = 𝐸(𝑒𝑡(𝛼+𝛽𝑋)) = 𝐸(𝑒𝛼𝑡+𝛽𝑡𝑋) = 𝐸(𝑒𝛼𝑡) ∗ 𝐸(𝑒𝛽𝑡𝑋) = 𝑒𝛼𝑡 ∗ 𝑀𝑋(𝛽𝑡) 
 
b) 
𝑀𝑋(𝑡) = 𝐸(𝑒𝑡𝑋) = ∫
𝑒𝑡𝑥
𝑏 − 𝑎 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑒𝑏𝑡 − 𝑒𝑎𝑡
(𝑏 − 𝑎)𝑡 ; 𝑡 ≠ 0 
 
c) 
 Utilizando lo obtenido en la parte a) 
 
𝑀𝑌(𝑡) = 𝑒𝛼𝑡 ∗ 𝑀𝑋(𝛽𝑡) = 𝑒𝛼𝑡 ∗
𝑒𝑏𝛽𝑡 − 𝑒𝑎𝛽𝑡
(𝑏 − 𝑎)𝛽𝑡 =
𝑒𝛼𝑡+𝑏𝛽𝑡 − 𝑒𝛼𝑡+𝑎𝛽𝑡
(𝑏 − 𝑎)𝛽𝑡 =
𝑒(𝛼+𝑏𝛽)𝑡 − 𝑒(𝛼+𝑎𝛽)𝑡
(𝑏 − 𝑎)𝛽𝑡 ; 𝑡
≠ 0 
 
𝑑) 𝑓𝑋(𝑥) =
1
2 ; −1 ≤ 𝑥 ≤ +1 ; 𝑀𝑋(𝑡) =
𝑒𝑡−𝑒−𝑡
2𝑡 ; 𝑡 ≠ 0 
 
 
e) 
 
 𝑓𝑋(𝑥) =
1
6 ; 2 ≤ 𝑥 ≤ 8 ; 𝑀𝑋(𝑡) =
𝑒8𝑡−𝑒−2𝑡
6𝑡 ; 𝑡 ≠ 0 
 
f) 
𝑀𝑌(𝑡) =
𝑒(𝛼+𝑏𝛽)𝑡 − 𝑒(𝛼+𝑎𝛽)𝑡
(𝑏 − 𝑎)𝛽𝑡 =
𝑒8𝑡 − 𝑒−2𝑡
2 ∗ 3𝑡 =
𝑒8𝑡 − 𝑒−2𝑡
6𝑡 ; 𝑡 ≠ 0 
 
Como la f.g.m. de Y es la misma que la obtenida en e), se tiene que la función de densidad de 
Y debe ser la misma que la de X, 
 
Por lo tanto: 𝑓𝑌(𝑦) =
1
6 ; 2 ≤ 𝑦 ≤ 8 
 
3. 
 
 
 
4.