Ayudantia05

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Segundo Semestre 2017 
 
AYUDANTIA 5 
EAS200a: Probabilidad y Estadística 
Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso 
Ayudantes docentes: Sebastián Martínez, Consuelo Sotomayor 
y Juan Cortés 
 
1. Un lote compuesto por 6 artículos contiene 2 defectuosos. Si dichos artículos se inspeccionan 
aleatoriamente, extrayendo uno a uno y sin reposición hasta encontrar los dos artículos 
defectuosos, determine el valor esperado y varianza de la variable aleatoria X definida como 
el número de artículos inspeccionados. 
 
2. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad: 
 
𝑓𝑋(𝑥) = {
𝑘 ∗ 𝑥 +
1
2
, 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
a) ¿Para qué valores de k, 𝑓𝑋(𝑥) es realmente una función de densidad? 
b) Calcular el valor esperado de X. 
c) ¿Para qué valores de k se minimiza la varianza de X? 
d) Obtener la función generadora de momentos de X. 
 
3. Suponga que la cantidad de visitas que debe realizar un vendedor para que un nuevo cliente 
le haga una primera compra es una variable aleatoria cuya función de probabilidad está dada 
por 
 
𝑝(𝑥) =
1
5
∗ (
4
5
)
𝑥−1
, 𝑥 € ℕ 
 
a) Muestre que 
∑ 𝑝(𝑥) = 1
𝑥€Ѳ𝑥
 
b) Muestre que la función generadora de momentos del modelo propuesto está dada por 
𝑀(𝑡) =
𝑒𝑡
5 − 4𝑒𝑡
, 𝑐𝑜𝑛 𝑡 < ln(5) − ln (4) 
c) ¿Cuál es la cantidad de visitas esperadas para que un cliente haga la primera compra? 
Si la cantidad de visitas es un número impar, la contribución de cada producto vendido es 
una variable aleatoria C que en este caso asume el valor $100, sin embargo, si la cantidad de 
visitas es un número par, la contribución C de cada producto en este otro caso asume el valor 
de $50. 
d) Obtenga la función de probabilidad de C. 
e) Obtenga la varianza de C. 
Ayuda: Alguna de las siguientes igualdades podrían ser de utilidad 
∑ (
𝑛
𝑘
) 𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘 = (𝑎 + 𝑏)𝑛, ∑ ∅𝑘 =
∅𝑥
1 − ∅
 𝑠𝑖 |∅| < 1, ∑
𝜆𝑘
𝑘!
= exp (𝜆)
∞
𝑘=0
∞
𝑘=𝑥
𝑛
𝑘=0
 
 
4. El sistema previsional vigente en nuestro país ha generado un gran debate a raíz de una serie 
de movilizaciones lideradas por “NO+AFP”, quienes piden que el sistema actual cambie, 
pero últimamente lo que ha estado en la palestra es el destino y administración del 5% de 
cotización adicional que se ha planteado para aumentar el monto de la jubilación. 
 
Suponga que el costo (en UF) de administración de este 5% se comporta como una variable 
aleatoria mixta con comportamiento probabilístico dado por: 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑘, 𝑥 = 0 
(1 − 𝑘)𝑒−𝑥, 𝑥 > 0
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
donde k (0 < k < 1/2) corresponde a la proporción de aliados que encargará la administración 
de este nuevo fondo a las actuales AFP’s, y que pagarán 0 UF, ya que según las AFP el costo 
por administración ya se encuentra cubierto por lo que cotiza actualmente. 
 
a) Si el 50% de los costos de administración son inferiores a 0.26 UF, ¿cuál sería la 
proporción de afiliados que encargarán a las actuales AFP’s la administración de estos 
fondos? 
b) ¿Cuál es el costo de administración esperado?