Ayudantia 4 (E)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Primer Semestre 2018 
AYUDANTIA 4 
EAS200a: Probabilidad y Estadística 
Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso 
Ayudantes docentes: Jorge Jadue, Pedro Correa, Carlos Fardella, M. José Valdivieso, Juan 
Cortés y Antonia Agüero 
 
1. El IMACEC o Indicador Mensual de Actividad Económica, tal como su nombre lo indica, es 
un índice representativo de la actividad económica de Chile, abarcando alrededor del 90% de 
los bienes y servicios que componen el PIB del país y emulando por lo tanto parte de su 
comportamiento. Hace unos días la actual administración se mostró gratamente sorprendida 
por el crecimiento del 2.8% con respecto a febrero del 2015. Un investigador propone que 
las tasas de crecimiento anual del índice IMACEC se comporta como una variable aleatoria 
continua cuya función de densidad está dada por 
𝑓(𝑥) = 𝑘(𝑥 + 𝑎)2(𝑎 − 𝑥) 
Para −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ +𝑎, 𝑘 = 3
4𝑎4
 𝑦 𝑎 ∈ 𝑅0+ 
En base al modelo propuesto por el investigador: 
 
a) Determine la función de probabilidad acumulada. 
 En base a datos históricos se estima que el valor de a es 0.2. 
b) ¿Cuál sería la probabilidad de observar el próximo mes una tasa de crecimiento anual 
superior a 0.02? 
c) ¿Cuál es la moda de la tasa de crecimiento anual del IMACEC, es decir, la tasa que 
maximiza la función de densidad? 
 
 
 
 
 
2. El personal de ventas de una compañía consta de 4 ingenieros (tres de los cuales tienen más 
de 40 años de edad) y 6 representantes de ventas (dos de los cuales tienen más de 40 años de 
edad). Se selecciona, supuestamente al azar, a un ingeniero y a dos representantes de ventas 
para recibir un adiestramiento especial. 
a) ¿Qué y cuantos resultados componen el espacio muestral de este experimento? Puede 
ser de utilidad enumerar a los ingenieros con los números del 1 al 4 y a los representantes 
de ventas con los números del 5 a 10. 
b) Sea Y = número de personas seleccionadas que tienen más de 40 años de edad. Calcule 
P(Y = y) y su función distribución acumulada. 
c) Calcule el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria Y. 
 
 
 
 
3. El sistema previsional vigente en nuestro país ha generado un gran debate a raíz de una serie 
de movilizaciones lideradas por “NO+AFP”, quienes piden que el sistema actual cambie, 
pero últimamente lo que ha estado en la palestra es el destino y administración del 5% de 
cotización adicional que se ha planteado para aumentar el monto de la jubilación. 
 
Suponga que el costo (en UF) de administración de este 5% se comporta como una variable 
aleatoria mixta con comportamiento probabilístico dado por: 
 
𝑓(𝑥) = {
𝑘, 𝑥 = 0 
(1 − 𝑘)𝑒−𝑥, 𝑥 > 0
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
 
 
donde k (0 < k < 1/2) corresponde a la proporción de aliados que encargará la administración 
de este nuevo fondo a las actuales AFP’s, y que pagarán 0 UF, ya que según las AFP el costo 
por administración ya se encuentra cubierto por lo que cotiza actualmente. 
 
a) Si el 50% de los costos de administración son inferiores a 0.26 UF, ¿cuál sería la 
proporción de afiliados que encargarán a las actuales AFP’s la administración de estos 
fondos? 
b) ¿Cuál es el costo de administración esperado? 
 
 
 
4. Suponga que la cantidad de visitas que debe realizar un vendedor para que un nuevo cliente 
le haga una primera compra es una variable aleatoria cuya función de probabilidad está dada 
por 
 
𝑝(𝑥) =
1
5
∗ (
4
5
)
𝑥−1
, 𝑥 € ℕ 
 
a) Muestre que 
∑ 𝑝(𝑥) = 1
𝑥€Ѳ𝑥
 
b) Muestre que la función generadora de momentos del modelo propuesto está dada por 
𝑀(𝑡) =
𝑒𝑡
5 − 4𝑒𝑡
, 𝑐𝑜𝑛 𝑡 < ln(5) − ln (4) 
c) ¿Cuál es la cantidad de visitas esperadas para que un cliente haga la primera compra? 
Si la cantidad de visitas es un número impar, la contribución de cada producto vendido es 
una variable aleatoria C que en este caso asume el valor $100, sin embargo, si la cantidad de 
visitas es un número par, la contribución C de cada producto en este otro caso asume el valor 
de $50. 
d) Obtenga la función de probabilidad de C. 
e) Obtenga la varianza de C. 
Ayuda: Alguna de las siguientes igualdades podrían ser de utilidad 
∑(
𝑛
𝑘
)𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘 = (𝑎 + 𝑏)𝑛, ∑∅𝑘 =
∅𝑥
1 − ∅
 𝑠𝑖 |∅| < 1, ∑
𝜆𝑘
𝑘!
= exp (𝜆)
∞
𝑘=0
∞
𝑘=𝑥
𝑛
𝑘=0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se tiene que 
P(C = 50) = P(X sea par) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mientras que 
𝑃(𝐶 = 100) = 1 − 𝑃(𝐶 = 50) =
5
9
 
Por lo tanto 
𝑝𝐶(𝑐) =
{
 
 
 
 
4
9
, 𝑐 = 50
5
9
, 𝑐 = 100
0, 𝑒. 𝑜. 𝑐.
 
 
 e) Se pide 
𝑉𝑎𝑟(𝐶) = 𝐸(𝐶2) − 𝐸2(𝐶) = (
4
9
∗ 502 +
5
9
∗ 1002) − (
4
9
∗ 50 +
5
9
∗ 100)
2
= 617.284