Ayudantia 11 (E)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Primer Semestre 2018 
AYUDANTIA 11 
EAS200a: Probabilidad y Estadística 
Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso 
Ayudantes docentes: Jorge Jadue, Pedro Correa, Carlos Fardella, M. José Valdivieso, Juan 
Cortés y Antonia Agüero 
 
1. El número de clientes Y que llegan a una sucursal del “BANCO EAS200A” en un intervalo 
de tiempo t sigue una distribución de Poisson(λt). Suponga ahora que t es el valor de una 
variable aleatoria T con densidad Exponencial de parámetro igual a 1. En otras palabras, 
 
Y|T=t ∼ Poisson(λt) y T∼Exponencial(1) 
 
Sin obtener la distribución marginal de Y y utilizando el teorema de esperanzas condicionales 
y varianzas condicionales (descomposición de la varianza): 
 
a) Calcule E (Y). 
b) Calcule Var (Y) 
 
2. Un experimento consiste en lanzar una moneda equilibrada dos veces. Suponga que se asigna 
como resultado del experimento un cero si se observa sello y uno si se observa cara. 
Defina las siguientes variables aleatorias: 
 
X: suma de resultados. 
Y: diferencia entre el 1er y 2do resultado. 
 
a) Determine la distribución conjunta de X e Y. 
b) Determine la distribución marginal de X y de Y. 
c) Calcule la correlación entre X e Y. ¿Son independientes? 
 
3. Considere la población de estudiantes de pre-grado de la UC subdividida en dos sub-
poblaciones (mujeres y hombres). 
Llame π1 y π2 a las probabilidades de seleccionar una estudiante mujer y un estudiante 
hombre, respectivamente. Supongamos que disponemos de información de una muestra 
aleatoria de 150 de alumnos. 
Sean las variables aleatorias X: número de estudiantes mujeres en la muestra e Y: número 
de estudiantes hombres en la muestra. 
 
a) Establezca la función de probabilidad conjunta del vector aleatorio (X,Y). Determine su 
soporte (o recorrido). 
b) Demuestre que Cov (X,Y) = −nπ1 π2. 
c) Defina como p1 y p2 las proporciones muestrales de estudiantes mujeres y de estudiantes 
hombres. Determine la Cov (p1, p2). 
d) Determine el coeficiente de correlación lineal entre p1 y p2. 
 
4. En Mayo del 2010 se lanzó la app de conductores privados Uber que ha revolucionado el 
mercado del transporte de pasajeros a nivel mundial. El usuario a través de un dispositivo 
móvil selecciona un auto que esté cerca de su ubicación, y paga directamente a través de su 
tarjeta de crédito registrada en la aplicación, lo que hace a este servicio mucho más seguro y 
confiable. Suponga que, en la ciudad de New York, el número de usuarios de Uber sigue un 
proceso Poisson con una tasa de 150.000 usuarios x día. Para mejorar más aún la calidad de 
servicio, hace algunos días se empezó a operar en NY un nuevo sistema que permite a sus 
clientes dejar propina a los conductores. Se estima que la proporción diaria de usuarios que 
dejarían propina no es constante, si no que puede ser modelada por la siguiente función de 
densidad: 
𝑓(𝑥) = 12𝑥2(1 − 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
 
Defina la v.a Y = número de usuarios que dejan propina en un día. 
a) Determine la distribución de Y condicional a X = x. 
b) En un día dado el 20% de los usuarios dejan propina. Calcule la probabilidad aproximada 
de que el número de usuarios que dejan propina resulte ente 29.750 y 30.250. 
c) Determine el valor esperado y la varianza del número diario de usuarios que dejan 
propina a los conductores.