Ayudantia 12 (E)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS 
Primer Semestre 2018 
AYUDANTIA 12 
EAS200a: Probabilidad y Estadística 
Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso 
Ayudantes docentes: Jorge Jadue, Pedro Correa, Carlos Fardella, M. José Valdivieso, Juan 
Cortés y Antonia Agüero 
 
1. Actualmente el gas natural residencial tiene dos fuentes de origen (GAR: Gasoducto vía 
Argentina y GNL: Gasoducto vía Quintero). Suponga que el consumo C de gas natural 
(demanda) diario se comporta como una variable aleatoria normal con parámetros µ = 75 y 
σ = 10 (expresado en miles de m3). En cambio, la oferta, corresponde a la suma de las dos 
fuentes GAR +GNL, donde la primera distribuye normal con parámetros µ = 25 y σ = 10; 
mientras que el aporte de GLN sigue una distribución normal de µ = 60 y σ = 5, ambas 
independientes. 
 
a) Determine la probabilidad que el aporte de GNL triplique el aporte de GAR. 
b) Determine en nivel mínimo de oferta que debe existir, con el objetivo de satisfacer al 
menos el 95% de la demanda. 
c) Determine la probabilidad que algunos sectores de Santiago sufran un corte por falta de 
gas (Blackout Gasífero) si ambos aportes están correlacionados. Suponga que ρ = −1/2. 
Ayuda: Recuerde que una combinación lineal de variables aleatorias con distribución Normal 
también sigue una distribución Normal. 
 
2. La línea de ensamblaje de una empresa metalúrgica produce una cantidad muy grande de 
artículos diariamente. Esta línea de ensamblaje posee un plan de Control de Calidad que 
consiste en seleccionar aleatoriamente 80 artículos terminados cada día y dentro de ellos se 
cuenta el número de artículos defectuosos “Y”. 
 
Defina como U a la probabilidad que un artículo sea defectuoso. Suponga que U varía día a 
día según una distribución Uniforme (0, 1/4). 
 
a) ¿Qué distribución propone usted para la variable aleatoria Y condicionada a una 
realización u de la probabilidad U? 
b) Obtener el valor esperado incondicional de Y. 
c) Obtener la varianza incondicional de Y. 
 
3. A un mes de que llegue la Navidad, los centros comerciales y grandes tiendas se preparan ya 
que el período navideño representa un porcentaje importante de los ingresos del comercio de 
todo el año. El comportamiento anual de las ventas en el mes de diciembre está altamente 
correlacionado y suponga que en una cierta tienda de retail, a las ventas de diciembre del año 
2017 y 2018 las denotan por X1 y X2, las cuales dependen de otras variables Y1 e Y2 las 
cuales son independientes entre sí y distribuyen Normal con media y varianza µ1, σ21 y µ2 y 
σ22 respectivamente. 
 
A partir de lo anterior, se definen las ventas diciembre del 2016 y 2017 por 
𝑋1 =
𝑌1
𝛼2 − 1
 𝑋2 = 𝛼𝑋1 + 𝑌2 
donde 0 ≤ α < 1. Interesa estimar si las ventas navideñas de este año serán mayores que el 
año pasado. Para ello, 
 
a) Calcule el valor esperado y varianza de X2 −X1. 
b) Si α = 0.5, µ1 = 40, µ2 = 30 y σ1 = 30, σ2 = 25. Calcule la probabilidad de que las ventas 
navideñas de este año sean mayores que el año pasado. 
 
4. Considere el vector aleatorio discreto (Y, X1, X2)’ cuya función de probabilidad conjunta está 
dado por la siguiente tabla: 
 
 
 
a) Obtenga la función de probabilidad marginal de X1, es decir, 𝑝𝑋1(𝑥1) 
b) Obtenga la función de probabilidad conjunta entre X1 e Y, es decir, 𝑝𝑌,𝑋1(𝑦, 𝑥1). 
c) Obtenga el valor esperado de Y condicional a una realización x1 de la variable aleatoria 
X1, es decir, E(Y |X1 = x1). Evalúe para x1 igual a 0 y 1. 
d) Una esperanza condicional es el mejor predictor de Y en base a X1. Una forma muy 
popular de representar este predictor es una línea recta (Regresión Lineal): 
𝐸(𝑌 𝑋1⁄ = 𝑥1) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥1 
A partir de los resultados obtenidos en (c), obtenga los valores de 𝛽0 y 𝛽1. 
 
e) Compruebe además que los valores obtenidos en d) coinciden al obtenerlos de la 
siguiente manera: 
𝛽1 =
𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑋1)
𝑉𝑎𝑟(𝑋1)
 𝑦 𝛽0 = 𝐸(𝑌) − 𝛽1 ∗ 𝐸(𝑋1)