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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS Primer Semestre 2018 AYUDANTIA 11 EAS200a: Probabilidad y Estadística Ayudante coordinador: Valentina Valdivieso Ayudantes docentes: Jorge Jadue, Pedro Correa, Carlos Fardella, M. José Valdivieso, Juan Cortés y Antonia Agüero 1. El número de clientes Y que llegan a una sucursal del “BANCO EAS200A” en un intervalo de tiempo t sigue una distribución de Poisson(λt). Suponga ahora que t es el valor de una variable aleatoria T con densidad Exponencial de parámetro igual a 1. En otras palabras, Y|T=t ∼ Poisson(λt) y T∼Exponencial(1) Sin obtener la distribución marginal de Y y utilizando el teorema de esperanzas condicionales y varianzas condicionales (descomposición de la varianza): a) Calcule E (Y). b) Calcule Var (Y) 2. Un experimento consiste en lanzar una moneda equilibrada dos veces. Suponga que se asigna como resultado del experimento un cero si se observa sello y uno si se observa cara. Defina las siguientes variables aleatorias: X: suma de resultados. Y: diferencia entre el 1er y 2do resultado. a) Determine la distribución conjunta de X e Y. b) Determine la distribución marginal de X y de Y. c) Calcule la correlación entre X e Y. ¿Son independientes? 3. Considere la población de estudiantes de pre-grado de la UC subdividida en dos sub- poblaciones (mujeres y hombres). Llame π1 y π2 a las probabilidades de seleccionar una estudiante mujer y un estudiante hombre, respectivamente. Supongamos que disponemos de información de una muestra aleatoria de 150 de alumnos. Sean las variables aleatorias X: número de estudiantes mujeres en la muestra e Y: número de estudiantes hombres en la muestra. a) Establezca la función de probabilidad conjunta del vector aleatorio (X,Y). Determine su soporte (o recorrido). b) Demuestre que Cov (X,Y) = −nπ1 π2. c) Defina como p1 y p2 las proporciones muestrales de estudiantes mujeres y de estudiantes hombres. Determine la Cov (p1, p2). d) Determine el coeficiente de correlación lineal entre p1 y p2. 4. En Mayo del 2010 se lanzó la app de conductores privados Uber que ha revolucionado el mercado del transporte de pasajeros a nivel mundial. El usuario a través de un dispositivo móvil selecciona un auto que esté cerca de su ubicación, y paga directamente a través de su tarjeta de crédito registrada en la aplicación, lo que hace a este servicio mucho más seguro y confiable. Suponga que, en la ciudad de New York, el número de usuarios de Uber sigue un proceso Poisson con una tasa de 150.000 usuarios x día. Para mejorar más aún la calidad de servicio, hace algunos días se empezó a operar en NY un nuevo sistema que permite a sus clientes dejar propina a los conductores. Se estima que la proporción diaria de usuarios que dejarían propina no es constante, si no que puede ser modelada por la siguiente función de densidad: 𝑓(𝑥) = 12𝑥2(1 − 𝑥), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 Defina la v.a Y = número de usuarios que dejan propina en un día. a) Determine la distribución de Y condicional a X = x. b) En un día dado el 20% de los usuarios dejan propina. Calcule la probabilidad aproximada de que el número de usuarios que dejan propina resulte ente 29.750 y 30.250. c) Determine el valor esperado y la varianza del número diario de usuarios que dejan propina a los conductores. 141kt Poisson CAT XE Ct Ettl 1 XE Ely X EH EIELXIYDEHIEELEIYIT atYEly.ECI b Var IV varlxj varlttlxlYDTElvarlxltD varlxtttflx.tl µ Vault sect 2 f X 1 X Intel 1 1 y 4 no1 O 1 PM y 5L 01 O O 0,25 o 0,25 55 00 o.rs o s 2 O 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1 C Corre COV x y Tx Vary Cori El lanky My EH ECN.EU El X 4 1 l r 0,25T 0.0 0,25 2.0 0,25 t 1 1 6,25 0,25 t 0,25 O El Xli 0.0125 t n 0,5 t 2 0,25 Elk 1 TE 4 1 0,25 0 0,5 1 0,25 O Cav O 1 O O Corr 0 Independencia PIX 4 Mx Ply O 0,25 0,25 NO es independiente PIKO y 1 plxeny.pl Xin 070,625 In prob mujer hito Ha Prob hombres ni mujeres muestra l n hombre nuestra Px y IX 4 150 F Era i4 Multinomial naso Tr Ma El recorrido y y 1 0,1 150 y 0,1 150 Xxy 150 b COU l X y n Mr Ha TE 1 t y n ni 150 ar 1 4 VarCH t Var y t 2 Lou Cx y Var xxy Var n O O Var X va y t 2 Cov Xy Corky varia var ay XN 13in n 150 Tr Var X n.IT 11 Tr n Tr Ma y v 13in n 150 Tal Var y n.kz 11 Tr h.IT jp Cov Xy X n.lt IT n Mr Mr c Ps P n n Wv Ipn Pr wu In In t.tn V Xiii n Mr 2 Mr Mr h d Corr pr pa Fav Pr Pr pr Var Pr Var Pr var E var Kl e T.r.IT 2 ITr.IT n art 4 It h Orr pr pr _Trata _Ha.IT Et If 1 Y no de usuarios que dejan propina en 1 día proporción diaria de usuarios que dejan propina YIX Poisson lvy 150.000 f x 12 211 X 0 E X E l b 0,2 y 1 0,2 Poisson Vx 30.000 ENlmaoooo P130.2507Y 729.750 Ty 30.000 P 30 2507 y p 29.750 y t.IO 1 44 t Io l 1,44 E 1,44 1 OI11,44 2 11,44 1 2 0,9251 a 1 0 8502 c TE4 El Etty Poisson E IV V El LA v x tal DX V f 12 41 XI d v 12 3 12 4 d y v V 90.000 Var y var El 41 11 t E var y IX Var IV t ECU V Var X VE CX 2 Var X a a 3 5 Var 4 x.mx f x DX Var Xl 12 211 dx Ix xa thx 12 3 dx p FI Vary V v 150.000 s 150.000 9 108 9.104 9000 r 104
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