Ayudantía 5

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
Mart́ın Rafols
Felipe D́ıaz - Pedro Iñiguez
Elisa Sitnisky - Consuelo Sotomayor
2do Semestre 2019
Ayudant́ıa 5
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 1
Una variable aleatoria Y que tiene alguna de sus probabilidades en puntos
discretos y el resto en puntos continuos, se dice que tiene una distribución
mezclada. Denote con F (y) una función de distribución de una variable
aleatoria Y que tiene una distribuciòın mezclada. Para todos los fines
pràıcticos, cualquier funciòın F (y) de distribuciòın mezclada se puede es-
cribir de manera ùınica como
F (y) = c1F1(y) + c2F2(y)
donde F1(y) es una función acumulada de una v.a discreta X1 y F2(y) es
una función de distribución acumulada de una v.a X2 continua, donde c1
es la probabilidad acumulada de todos los puntos discretos y c2 = 1c1 es
la probabilidad acumulada de todas las porciones continuas.
Además, si g(Y ) es una función de Y , entonces
E (Y ) = c1E [g(X1)] + c2E [g(X2)]
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 1
A continuación se presenta un Ejemplo de una v.a Mixta.
Denote con Y la vida útil (en cientos de horas) de componentes electrónicos.
Estos fallan con frecuencia inmediatamente después de conectarlos en un
sistema. Se ha observado que la probabilidad de falla inmediata es 1/4.
Si un componente no falla de inmediato, la distribución para su vida útil
tiene la función de densidad exponencial
f (y) =
{
e−y y > 0
0 e.o.c
(a) Encuentre la función de distribución de Y y evalúe P(Y > 10).
(b) Encuentre la media y la varianza de Y .
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 2
La volatilidad de los retornos diarios de un portafolio de acciones puede ser
modelado por una distribución Gamma, definida por la siguiente función
de densidad
f (x) =
νk
Γ(k)
xk−1 e−ν x , x > 0, ν > 0, k > 0
La función Γ(·) tiene las siguientes propiedades:
(1) Γ(k) =
∫ ∞
0
uk−1 e−u du; (2) Γ(a + 1) = a Γ(a);
(3) Γ(n + 1) = n!, si n ∈ N0; (4) Γ(1/2) =
√
π
(a) Muestre que su función generadora de momentos está dada por
(
ν
ν − t
)k
,
para t < ν.
(b) Muestre que su coeficiente de variación es
1√
k
.
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 3
Supóngase que la duración en d́ıas de un producto perecible que se com-
ercializa en los supermercados chilenos es una variable aleatoria D cuya
función de densidad está dada por:
fD(d) =
 0.5e
−0.5(d−1) si d ≥ 1
0 eoc.
donde el número e=2,71...
(a) Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria D.
(b) Supóngase que los art́ıculos son comercializados en cajas de 8 unidades.
Se selcciona una caja al azar, se define la variable aleatoria X como
el númeto de productos en la caja cuya duración supera los 5 d́ıas.
Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria X (asuma indepen-
dencia).
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 4
La distribución Lindley es utilizada usualmente para describir el compor-
tamiento frecuentista de la vida útil X (en meses), de ciertos dispositivos
simples como la bateŕıa.. Se puede utilizar en una aplia variedad de cam-
pos, incluyendo la bioloǵıa, ingenieŕıa y medicina. El parámetro de forma θ,
es un número real positivo y puede dar lugar a una distribución unimodal.
La función densidad y de probabilidad acumulada son:
f (x) =
θ2
(1 + θ)
(1 + x)e−θx
FX (x) = 1−
1 + θ + θx
1 + θ
e−θx
con θ > 0 y x ≥ 0.
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 4
(a) Obtenga el tiempo de vida útil esperado.
(b) Obtenga la moda de este modelo, y comente.
(c) Obtenga el coeficiente de variación de este modelo.
(d) Sea Y el tiempo de vida truncado de X , es decir, se cumple la siguiente
igualdad:
pY (y) = P(y ≤ X ≤ y + 1), con y ∈ N0
Obtenga la función de probabilidad puntual de Y .
(e) Sea θ = 1/2. Determine la probabilidad de que una bateŕıa dure al
menos 2.8 meses considerando el tiempo continuo y luego calcula la
misma probabilidad para el tiempo truncado. Compare los resultados.
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