Ayudantía 6

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
Mart́ın Rafols
Felipe D́ıaz - Pedro Iñiguez
Elisa Sitnisky - Consuelo Sotomayor
2do Semestre 2019
Ayudant́ıa 6
: , 1
Ayudant́ıa 6
Ejercicio 1
Un proceso para refinar azúcar rinde hasta 1 tonelada de azúcar puro al
d́ıa, pero la cantidad real producida, Y , es una variable aleatoria debido
a descomposturas de máquinas y otros problemas. Suponga que Y tiene
función de densidad dada por
f (y) =
{
2y 0 ≤ y ≤ 1
0 e.o.c
A la compañ́ıa se le paga a razón de $300 por tonelada de azúcar refinada,
pero también tiene un costo fijo general de $100 por d́ıa. Por tanto, la
utilidad diaria, en cientos de dólares, es U = 3Y −1. Encuentre la función
de densidad de probabilidad para U.
: , 2
Ayudant́ıa 6
Ejercicio 2
La distribución Log-Gamma (α,β) es una distribución muy popular para
ajustarse a datos con asimetŕıa negativa. Su función de densidad está
definida como:
f (x) =
1
αβΓ(β)
exp
[
βx − 1
α
ex
]
con x ∈ R, α > 0 y β > 0.
(a) Determine la función generadora de momentos de este modelo.
(b) Obtenga la distribución Y = exp(X ) y muestre que el nuevo modelo,
es el visto en el problema de la ayudant́ıa anterior.
: , 3
Ayudant́ıa 6
Ejercicio 3
Suponga que la cantidad de visitas que debe realizar un vendedor para que
un nuevo cliente le haga una primera compra es una variable aleatoria cuya
función de probabilidad está dada por:
p(x) =
1
5
·
(
4
5
)x−1
, x ∈ N
(a) Muestre que
∑
x∈θX p(x) = 1
(b) Muestre que la función generadora de momentos del modelo propuesto
está dada por M(t) = e
t
5−4et , con t < ln(5)− ln(4).
(c) ¿Cuál es la cantidad de visitas esperadas para un cliente que haga la
primera compra?
: , 4
Ayudant́ıa 6
Ejercicio 3
Si la cantidad de visitas es un número impar, la contribución de cada
producto vendido es una variable aleatoria C que en este caso asume el
valor $100, sin embargo si la cantidad de visitas es un número par, la
contribución C de cada producto en este caso asume el valor de $50.
(d) Obtenga la función de probabilidad de C.
(e) Obtenga la varianza de C.
Ayuda, Alguna de las siguientes igualdades podŕıan se de utilidad:
n∑
k=0
(
n
k
)
akbn−k = (a + b)n,
∞∑
k=x
φk =
φx
a− φ
si |φ| < 1,
∞∑
k=0
λk
k!
= eλ
: , 5