Pauta Ayudantía 8

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Pregunta 2
En la industria del vino, es de suma importancia el tipo de corcho utilizado para conservar el estado del
vino. Los corchos de buena calidad son los que aparecen enteros, sin grietas y manchados sólo en la zona que
ha estado expuesta al vino. Por este motivo, el gerente de una empresa vitivińıcola quiere evaluar la calidad
de dos máquinas que cortan corchos. La primera produce corchos con diámetros normalmente distribuidos
con media de 3 cm y desviación estándar de 0.1 cm. La segunda máquina produce corchos con diámetros
que tienen una distribución normal con media 3.08 cm y desviación estándar de 0.2 cm. Suponga que cada
d́ıa de operación se escoje al azar una de las dos máquinas, y se sabe que la máquina 1 tiene probabilidad
0.65 de ser seleccionada. Al finalizar el d́ıa se realiza un control de calidad, y solo serán aceptados corchos
que tengan diámetros entre 2.9 cm y 3.1 cm.
(a) [2.0 Puntos] Encuentre el valor esperado del diámetro de un corcho.
(b) [4.0 Puntos] ¿Cuál máquina tiene mayor probabilidad de producir un corcho aceptable?
Solución:
(a) Sea X el diámetro de un corcho.
Sean Xi : diámetro de un corcho producido por la máquina i, i = 1, 2.
Se sabe que X1 ∼ N(3, 0.12) y X2 ∼ N(3.08, 0.022), [0.5 Ptos], luego
E(X) = E(X|Máquina I)P (Máquina I) + E(X|Máquina II)P (Máquina II) [0.5 Ptos]
= 3 · 0.65 + 3.08 · 0.35 [0.5 Ptos]
= 3.028 [0.5 Ptos]
(b) Máquina I: Un corcho será aceptado si 2.9 < X1 < 3.1, luego
P (2.9 < X1 < 3.1) = P
(
2.9− 3
0.1
<
X − 3
0.1
<
3.1− 3
0.1
)
[0.3 Ptos]
= Φ
(
3.1− 3
0.1
)
− Φ
(
2.9− 3
0.1
)
= Φ(1)− Φ(−1) [0.5 Ptos]
= 0.8413447− 0.1586553 [0.5 Ptos]
= 0.6826895 [0.5 Ptos]
Máquina II: Un corcho será aceptado si 2.9 < X2 < 3.1, luego
P (2.9 < X2 < 3.1) = P
(
2.9− 3.08
0.2
<
X − 3.08
0.2
<
3.1− 3.08
0.2
)
[0.3 Ptos]
= Φ
(
3.1− 3.08
0.2
)
− Φ
(
2.9− 3.08
0.2
)
= Φ(0.1)− Φ(−0.9) [0.5 Ptos]
= 0.5398278− 0.1840601 [0.5 Ptos]
= 0.3557677 [0.5 Ptos]
Luego la máquina I tiene mayor probabilidad de producir un corcho aceptable. [0.4 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 2 Primer Semestre 2017
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Segundo Semestre 2017
Curso : Probabilidad y Estad́ıstica
Sigla : EAS200a
Profesores : Rafael Águila (Sec 01) M Ignacia Vicuña (Sec 02), Osvaldo Ferreiro (Sec 03)
Pauta Control 4
Problema 1:
El próximo 19 de Noviembre se realizará la elección presidencial de Chile para el peŕıodo 2018-2022. En
elecciones anteriores, el horario de mayor afluencia de votantes fue entre las 10:00 y las 13:00, alcanzado una
tasa de 3 votantes por minuto en las mesas de votación.
(a) [2.0 Ptos] Calcule la probabilidad de que entre las 11:00 y 11:03 lleguen a lo más 8 personas a votar.
(b) [2.0 Ptos] ¿Qué tan probable es que en el horario de mayor afluencia, el tiempo de llegada entre dos
personas consecutivas a su mesa de votación sea menor a 2 minutos?
(c) [2.0 Ptos] Si Ud. llegó a su mesa de votación a las 10:30 y hay 15 personas en la fila antes que Ud.
Calcule la probabilidad de que en a lo más cinco minutos, hayan llegado las personas que están en la
fila antes que Ud.
Solución:
(a) Sea Xt : el número de votantes que llegan a las mesas de votación en el horario de mayor afluencia en
t minutos.
Xt ∼ Poisson(3t) [0.5 Ptos]
P (X3 ≤ 8) =
8∑
x=0
e−3·3(3 · 3)x
x!
[0.5 Ptos]
= 0.455653 Tabla acumulada Poisson(9) [1.0 Ptos]
(b) Alternativa 1:
Sea T el tiempo (en minutos) entre la llegada de dos personas a la mesa de votación.
T ∼ exp(3) [0.5 Ptos]
P (T < 2) = 1− e−6 = 0.9975 [1.5 Ptos]
Alternativa 2:
P (X2 ≥ 1) = 1− P (X2 ≤ 0) = 1− 0.002479 = 0.9975 [2.0 Ptos]
(c) Sea T15 el tiempo (en minutos) hasta la llegada de la quinceava persona a la mesa de votación.
T15 ∼ Gamma(15, 3) [0.5 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 1 Segundo Semestre 2017
P (T15 ≤ 5) = 1− P (T15 > 5) = 1− P (X5 ≤ 14) [0.5 Ptos]
= 1−
14∑
x=0
e−3·5(−3 · 5)x
x!
= 1− 0.4656 Tabla acumulada Poisson(15) [0.5 Ptos]
= 0.5344 [0.5 Ptos]
Problema 2:
Según la Organización de las Naciones Unidas para la Alimentación y la Agricultura (FAO), a nivel mundial
el 42 % de la población depende de la agricultura. La mayoŕıa de los páıses que han logrado un crecimiento
económico importante y reducción de la pobreza, lo han hecho de la mano con el crecimiento agŕıcola.
Suponga que la superficie X de las explotaciones hortofrut́ıcolas en el sur de Chile, sigue una distribución
LogNormal. Se sabe que la mediana de X es 15 hectáreas y que sólo el 1 % de las explotaciones son mayores
de 50 hectáreas.
(a) [3.0 Ptos] ¿Qué porcentaje de las explotaciones serán menores de 5 hectáreas?
(b) [3.0 Ptos] Si se examinan 50 superficies, calcule la probabilidad aproximada de que superficie total de
las explotaciones hortofrut́ıcolas sea mayor a 700 hectáreas.
Solución:
(a) X superficie de las explotaciones hortofrut́ıcolas en una región.
X ∼ Log Normal(λ, ξ2)
donde
P (X ≤ 15) = 0.5 = P
(
lnX − λ
ξ
≥ ln 15− λ
ξ
)
= 0.5
ln 15− λ
ξ
= Φ−1(0.5)
ln 15− λ
ξ
= 0
⇒ λ = ln(15) = 2.71 [0.5 Ptos]
P (X ≥ 50) = 0.01⇒ 1− P (X < 50) = 0.01
1− P (lnX < ln 50) = 0.01
1− P
(
lnX − 2.71
ξ
<
ln 50− 2.71
ξ
)
= 0.01
Φ
(
ln 50− 2.71
ξ
)
= 0.99
ln 50− 2.71
ξ
= Φ−1(0.99)
ln 50− 2.71
ξ
= 2.32
ξ = 0.5175 [0.8 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 2 Segundo Semestre 2017
Pregunta 2
La longitud W en miĺımetros de los art́ıculos que produce una máquina del tipo A tienen una distribución
Normal con media 100 y desviación estándar 5, y la longitud Y de los art́ıculos que produce una máquina
del tipo B, distribuyen normal con media 120 y desviación estándar 10.
Si se extraen, independientemente un art́ıculo del tipo A y otro del tipo B.
(a) [2.0 Ptos] Calcule la probabilidad que uno de los art́ıculos tenga una longitud menor a 95 miĺımetros
y el otro una longitud mayor de 105.
Para realizar una extracción aleatoria, primero se lanza un dado balanceado y si el resultado es uno o seis,
se extrae un art́ıculo que produce la máquina tipo A, en caso contrario se extrae un art́ıculo que produce la
máquina del tipo B. Defina como X a la longitud de art́ıculo extráıdo.
(b) [2.0 Ptos] Calcule la probabilidad de que la longitud del art́ıculo sea menor a 110 miĺımetros.
(c) [2.0 Ptos] Determinar la función de densidad de X.
Solución
(a) Sea XA y XB la longitud de un art́ıculo proveniente de la máquina tipo A y B respectivamente. Del
enunciado tenemos que
XA ∼ Normal(100, 52) y XB ∼ Normal(120, 102)
Se pide
p = P ({[XA < 95] ∩ [XB > 105]} ∪ {[XA > 105] ∩ [XB < 95]}) , [0.5 Ptos.]
la cual se obtiene como sigue:
p = P ({[XA < 95] ∩ [XB > 105]}) + P ({[XA > 105] ∩ [XB < 95]}) , por ser eventos disjuntos [0.3 Ptos.]
= P (XA < 95) · P (XB > 105) + P (XA > 105) · P (XB < 95), por independencia [0.2 Ptos.]
= Φ
(
95− 100
5
)[
1− Φ
(
105− 120
10
)]
+
[
1− Φ
(
105− 100
5
)]
Φ
(
95− 120
10
)
[0.2 Ptos.]
= Φ(−1,0) · [1− Φ(−1,5)] + [1− Φ(1,0)] · Φ(−2,5) [0.2 Ptos.]
= [1− Φ(1,0)] · Φ(1,5) + [1− Φ(1,0)] · [1− Φ(2,5)] [0.2 Ptos.]
= [1− 0,8413] · 0,9332 + [1− 0,8413] · [1− 0,9938] [0.2 Ptos.]
= 0,1490828 [0.2 Ptos.]
(b) Sea X la longitud del art́ıculo seleccionado, se pide
P (X ≤ 110) = P (X ≤ 110 |Tipo A) · P (Tipo A) + P (X ≤ 110 |Tipo B) · P (Tipo B) [0.8 Ptos.]
= P (XA ≤ 110) ·
2
6
+ P (XB ≤ 110) ·
4
6
[0.2 Ptos.]
= Φ
(
110− 100
5
)
· 1
3
+ Φ
(
110− 120
10
)
· 2
3
[0.2 Ptos.]
= Φ (2) · 1
3
+ Φ (−1) · 2
3
[0.2 Ptos.]
= Φ (2) · 1
3
+ [1− Φ (1)] · 2
3
[0.2 Ptos.]
= 0,9772 · 1
3
+ [1− 0,8413] · 2
3
[0.2 Ptos.]
= 0,4315333 [0.2 Ptos.]
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 3 Primer Semestre 2011
(c) La función de distribución de X está dada por
FX(x) = P (X ≤ x |Tipo A) · P (Tipo A) + P (X ≤ x |Tipo B) · P (Tipo B)
= FXA(x) ·
1
3
+ FXB (x) ·
2
3
= Φ
(
x− 100
5
)
· 1
3
+ Φ
(
x− 120
10
)
· 2
3
[0.5 Ptos.]
Mientras que la función de densidad se obtiene derivando FXcon respecto a x, es decir,
fX(x) =
d
dx
FX(x) [0.5 Ptos.]
= φ
(
x− 100
5
)
· 1
5
· 1
3
+ φ
(
x− 120
10
)
· 1
10
· 2
3
[0.5 Ptos.]
=
1
15
√
2π
{
exp
[
−1
2
(
x− 100
5
)2]
+ exp
[
−1
2
(
x− 120
10
)2]}
[0.2 Ptos.]
+ 1 Punto Base
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 4 Primer Semestre 2011