Ayudantía 5 Enunciado

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
Mart́ın Rafols
Victoria Van Bavel - Carlos Fardella
Primer Semestre 2020
Ayudant́ıa 5
: , 1
Ayudant́ıa 5
Ejercicio 1
Considere una variable aleatoria X cuya función de densidad:
fX (x) =
 k · x +
1
2 −1 ≤ x ≤ 1
0 e.o.c
(1)
(a) ¿Para qué valores de k , fX (x) es realmente una función de densidad?
(b) Determine el valor esperado de X.
(c) Para que valores de k se minimiza la varianza de X?
(d) Obtener la f.g.m de X y obtener la esperanza.
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 1
Repaso y Tips
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 1
Solución
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 2
Supóngase que la duración en d́ıas de un producto perecible que se com-
ercializa en los supermercados chilenos es una variable aleatoria D cuya
función de densidad está dada por:
fD(d) =
 0.5e
−0.5(d−1) si d ≥ 1
0 eoc.
donde el número e=2,71...
(a) Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria D.
(b) Supóngase que los art́ıculos son comercializados en cajas de 8 unidades.
Se selcciona una caja al azar, se define la variable aleatoria X como
el númeto de productos en la caja cuya duración supera los 5 d́ıas.
Obtenga el valor esperado de la variable aleatoria X (asuma indepen-
dencia).
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 2
Repaso y Tips
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 2
Solución
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 3
La distribución Lindley es utilizada usualmente para describir el compor-
tamiento frecuentista de la vida útil X (en meses), de ciertos dispositivos
simples como la bateŕıa.. Se puede utilizar en una aplia variedad de cam-
pos, incluyendo la bioloǵıa, ingenieŕıa y medicina. El parámetro de forma θ,
es un número real positivo y puede dar lugar a una distribución unimodal.
La función densidad y de probabilidad acumulada son:
f (x) =
θ2
(1 + θ)
(1 + x)e−θx
FX (x) = 1−
1 + θ + θx
1 + θ
e−θx
con θ > 0 y x ≥ 0.
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 3
(a) Obtenga el tiempo de vida útil esperado.
(b) Obtenga la moda de este modelo, y comente.
(c) Sea Y el tiempo de vida truncado de X , es decir, se cumple la siguiente
igualdad:
pY (y) = P(y ≤ X ≤ y + 1), con y ∈ N0
Obtenga la función de probabilidad puntual de Y .
(e) Sea θ = 1/2. Determine la probabilidad de que una bateŕıa dure al
menos 2.8 meses considerando el tiempo continuo y luego calcula la
misma probabilidad para el tiempo truncado. Compare los resultados.
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 3
Repaso y Tips
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Ayudant́ıa 5
Ejercicio 3
Solución
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