Ayudantia 7 - Pauta Javi

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Problema 1:
A una bomba de bencina llegan en promedio 20 clientes por hora (Poisson). Determine la probabilidad 
de que el próximo cliente demore menos de 2 minutos en llegar. 
•
A una farmacia llegan en promedio 10 clientes por hora (Poisson). ¿Cuánto tiempo en minutos se debe 
esperar que transcurra entre 10 clientes?
•
En un curso en que aprobó el 84.13% se sabe que la desviación estándar fue de 0.2 puntos. Bajo 
Normalidad ¿Cuál fue la media del curso?
•
a) Nos dicen que el número de clientes que llega a la bomba de bencina sigue una distribución Poisson con 
una tasa de 20 clientes/hora.
Eventos discretos Llegada de clientes
Soporte continuo Horas
Queremos saber la probabilidad de que un nuevo cliente llegue en menos de dos minutos desde el 
último que llegó, esto significa que necesitamos saber cómo distribuye el tiempo 𝑇 entre la llegada de 
dos cliente. Sabiendo que la llegada de los clientes siguen un proceso poisson, recordemos que existe 
una distribución para el tiempo que transcurre entre éxitos, esta es la distibución exponencial;
𝑇~𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙(20)
𝑓 (𝑡) = 20𝑒
𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(20)
λ = 20
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Se utiliza la misma tasa que la 
distribución poisson que da origen a 
la exponencial, en este caso;
2 minutos 0.033 horas
Luego necesitamos calcular la probabilidad de que 𝑇 sea menor a 2 minutos. Para calcular esta 
probabilidad hay que tener en cuenta que la tasa que estamos usando está medida en horas, por lo que 
tenemos que llevar nuestra probabilidad a esa misma unidad;
𝑃(𝑇 ≤ 0.033) = 20𝑒 𝑑𝑡
.
𝑃(𝑇 ≤ 0.033) = − 𝑒
.
𝑃(𝑇 ≤ 0.033) = 1 − 𝑒 .
𝑃(𝑇 ≤ 0.033) = 0.4868
Entonces la probabilidad que buscamos es;
Solución:
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b) Nuevamente tenemos una distribución Poisson, esta vez con una tasa de 10 clientes por hora, y nos 
piden información sobre el tiempo que transcurre, pero esta vez entre 10 clientes, desde que llega el 
primero hasta que llega el décimo. 
𝑇 ~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝜆 = 10, 𝑘 = 9)
𝑓 (𝑡) =
𝜆
Γ(𝑘)
⎯⎯⎯⎯𝑡 𝑒
Entonces, si empezamos a contar desde que llega el primer cliente tenemos que contar 9 eventos de un 
proceso poisson. Si el tiempo en horas entre la llegada del primer y el décimo cliente es 𝑇 ;
μ =
𝑘
𝜆
⎯⎯=
9
10
⎯⎯⎯= 0.9 ℎ
Entonces el tiempo que se debe esperar que transcurra (Tiempo esperado, esperanza,…) será;
μ = 54 𝑚𝑖𝑛
Este resultado está medido en horas, ya que nuestra tasa está expresada en horas, así que debemos 
cambiarlo a minutos;
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𝑋~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇, 0.2)
c) Tenemos un curso con una aprobación de 84.13%. Basándonos en nuestro sistema de notas, diremos que 
un alumno aprueba con promedio mayor o igual a 4.0. Entonces, si los promedios del curso son una variable 
aleatoria 𝑋 que distribuye normal con media μ y desviación estándar 𝜎 = 0.2 ,
𝑃(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟) = 𝑃(𝑋 ≥ 4.0)
 0.8413 = 𝑃(𝑋 ≥ 4.0)
la probabilidad de aprobar está dada por,
0.8413 = 𝑃
𝑋 − 𝜇
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ ≥
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
0.8413 = 𝑃 𝑍 ≥
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
0.8413 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
 1 − 0.8413 = 𝜙
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
 𝜙 (1 − 0.8413) =
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
 −𝜙 (0.8413) = 
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
Para poder obtener esta probabilidad usando la tabla debemos estandarizar la distribución.
Se suman los valores de los 
ejes para encontrar el z 
que necesitamos
−1 =
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
 μ = 4.2
−𝜙 (0.8413) = 
4 − 𝜇
0.2
⎯⎯⎯⎯⎯
Usamos la propiedad:
𝑧 = 𝜙 (𝑝) = − 𝜙 (1 − 𝑝)
Ahora ya sabemos que
(𝑋 − 𝜇)/𝜎 sigue una 
distribución normal estándar
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Problema 2:
Usted bien sabe que por estos días las Bolsas de Valores están muy volátiles. Es muy difícil predecir si el índice 
correspondiente del valor de las acciones va a subir o bajar. Asuma que la probabilidad de que en un día 
determinado cualquiera suba el índice es 𝜋 = 0, 25. Se asume (parece ser cierto por estos días) que los 
sucesos asociados al precio de las acciones en días diferentes son independientes. 
a) ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria 𝑋 = Número de días hábiles en que el índice sube en un mes 
(de 22 días hábiles)? 
b) Casi todos los días están “a la baja”. Por ello, usted espera con ansias un día en que el índice accionario 
suba. Justificando su planteamiento, ¿Qué distribución seguiría la variable aleatoria Y = Número de días de 
espera hasta que sube el índice? Siempre con 𝜋 = 0, 25, determine la probabilidad de que haya al menos 3 
días.
c) La gente corre apresuradamente para llegar a comprar acciones y se ha detectado que el tiempo que se usa 
en trasladarse a la Bolsa es Normal con media de 24,6 minutos y desviación estándar de 6 minutos. ¿Qué 
valor de tiempo de traslado produce que solo el 20% de las personas demoren menos que dicho tiempo? 
Solución:
a) Si se plantea que el comportamiento de las acciones en cada día es independiente a los anteriores, y que 
existen dos opciones en la bolsa de valores, que suba (éxito) o que baje (fracaso), podemos concluir que el 
comportamiento diario es un experimento Bernoulli con probabilidad de éxito π = 0.25. Luego, si 
consideramos los 22 días hábiles del mes y contamos los días que las acciones suben;
𝑋: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 ℎá𝑏𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠
esta variable aleatoria tendrá una distribución Binomial con π = 0.25 y 𝑛 = 22.
𝑋~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝜋 = 0.25, 𝑛 = 22)
b) Ahora queremos estudiar la cantidad de días que se deben esperar hasta que la bolsa suba, es decir hasta 
que ocurra el primer éxito. Sea Y la variable que cuenta estos días;
𝑌: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 ℎ𝑎𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑎
Esta variable seguirá una distribución Geométrica;
𝑌~𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎(𝜋 = 0.25)
𝑓 (𝑌 = 𝑦) = 0.25 (1 − 0.25) 𝑦 = 0,1,2, …
Y la probabilidad pedida es que los días de espera sean el menos 3, es decir 𝑌 ≥ 3;
𝑃(𝑌 ≥ 3) = 1 − 𝑃(𝑌 < 3)
𝑃(𝑌 ≥ 3) = 1 − 0.25 0.75
𝑃(𝑌 ≥ 3) = 1 − 0.25 − 0.25 0.75
𝑃(𝑌 ≥ 3) = 0.5625
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c) El tiempo 𝑇 que demoran las personas en trasladarse a la bolsa sigue una distribución Normal con media 
μ = 24.6 min y una desviación estándar σ = 6 min;
𝑇~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(24.6, 6 )
Buscamos un tiempo 𝑡 tal, que el 20% de las personas se demore menos que ese tiempo, es decir que la 
probabilidad de que el tiempo sea menor a 𝑡 es 0.2;
 𝑃(𝑇 < 𝑡) = 0.2
𝑃
𝑇 − 𝜇
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯<
𝑡 − 24.6
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2
 
𝑡 − 24.6
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝜙 (0.2)
 
𝑡 − 24.6
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = −𝜙 (0.8)
 𝑡 = −0.84 6 + 24.6
 𝑡 = 19.56
 
𝑡 − 24.6
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = −0.84
 𝜙
𝑡 − 24.6
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2
 𝑃 𝑍 <
𝑡 − 24.6
6
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.2
Usamos la propiedad:
𝑧 = 𝜙 (𝑝) = − 𝜙 (1 − 𝑝)
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Problema 3:
𝑌 = 𝑥 + 𝑐𝑋
La cadena de centros comerciales Mall Plaza ha estado analizando si cambia su política de tarifa de 
arriendo mensual para sus locatarios. Actualmente posee una estructura de ingresos fijos (denótelo por 
𝑥 ) más una componente adicional (denótela por 𝑐) en el caso que los locatarios superen cierto monto de 
ventas mensuales. De esta manera la tarifa de arriendo mensual (en miles de pesos) para sus locatarios 
está expresada por;
donde 𝑋 es una variable aleatoria Bernoulli, que toma el valor 1 con probabilidad 𝑝 = 0.1 si las ventas 
mensuales superan cierto monto y cero sino. La propuesta del nuevo gerente comercial es eliminar la 
componente fija, a cambio de una tarifa de arriendo mensual correspondiente al 0.2% de las ventas 
mensuales (denótela por 𝑍) de los locatarios. 
𝑌 = 0.002 𝑍
Así con la propuesta,la tarifa de arriendo mensual (en miles de pesos) para sus locatarios estaría dada por
donde Z tiene distribución 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(µ, 𝜎 ).
a) Encuentre la función de probabilidad de la tarifa actual de arriendo y la función de densidad de la tarifa 
propuesta por el nuevo gerente comercial. ¿Reconoce algún modelo? En caso afirmativo menciónelo y 
especifique sus parámetros.
b) Suponga que 𝑥 = 1000, 𝑐 = 875, y que los locales ganan en promedio 523,69 millones de pesos con 
una desviación estándar de 98,5 millones de pesos. Para la tarifa actual y para la tarifa propuesta, calcule 
la probabilidad de que la tarifa mensual de arriendo supere el millón de pesos. En base a lo anterior, ¿Cuál 
de los dos modelos de tarifas le conviene más a los locatarios?
Solución:
a) Tenemos dos funciones de variables aleatorias, una para la tarifa actual y una para la tarifa propuesta, y 
tendremos que aplicar una transformación para ambos casos. En el caso de la tarifa actual hablamos de una 
variable discreta, por lo tanto buscamos una función de probabilidad, mientras que para la tarifa propuesta 
se trata de una variable aleatoria continua, entonces buscamos una función de densidad. 
Tarifa actual: Si las ventas superan cierto monto 𝑌 = 𝑥 + 𝑐 (𝑋 = 1)
 Si las ventas NO superan cierto monto 𝑌 = 𝑥 (𝑋 = 0)
𝑃(𝑌 = 𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑔 (𝑦))
Recordemos que para una variable discreta donde 𝑌 = 𝑔(𝑋);
En nuestro caso la función inversa está dada por;
𝑔(𝑋) = 𝑌 = 𝑥 + 𝑐𝑋 𝑔 (𝑌 ) = 𝑋 = ⎯⎯⎯⎯
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Además conocemos la distribución que sigue la variable aleatoria 𝑋;
𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑝 = 0.1)
𝑃 (𝑋 = 𝑥) = 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑥 = 0,1
Entonces, unimos todo para obtener la función de probabilidad de la variable 𝑌 ;
𝑃 (𝑌 = 𝑦) =
0.9, 𝑌 = 𝑥
0.1, 𝑌 = 𝑥 + 𝑐
𝑍~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(𝜇, 𝜎 )
𝑓 (𝑧) =
1
√2𝜋𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒𝑥𝑝 −
1
2
⎯⎯
𝑥 − 𝜇
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯
Tarifa propuesta: En este caso, la variable es continua
𝑓 (𝑌 = 𝑦) = 
𝑑
𝑑𝑦
⎯⎯⎯𝑔 (𝑦) 𝑓 𝑔 (𝑦)
por lo que usaremos el método de teorema de transformación;
Definimos la función 𝑌 = 𝑔(𝑍)
Buscamos su inversa 𝑍 = 𝑔 (𝑌 )
Derivamos la función inversa 
Evaluamos la función inversa en 
la distribución de Y
𝑌 = 0.002 𝑍
𝑔 (𝑌 ) = 𝑍 = 500 𝑌
𝑑
𝑑𝑌
⎯⎯⎯ 𝑔 (𝑌 ) = 500
𝑓 𝑔 (𝑦) =
1
√2𝜋𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒𝑥𝑝 −
1
2
⎯⎯
500𝑦 − 𝜇
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑓 𝑔 (𝑦) =
1
√2𝜋𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒𝑥𝑝 −
1
2
⎯⎯
𝑦 − 𝜇/500
𝜎/500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
(Tiene raíz única)
Despejamos Z:
𝑌
0.002
⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝑍
500𝑌 = 𝑍
𝑃 (𝑌 = 𝑦) = 𝑃 𝑋 =
𝑦 − 𝑥
𝑐
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑃 (𝑌 = 𝑦) = 0.1⎯⎯⎯⎯ (0.9) ⎯⎯⎯⎯ 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 + 𝑐
𝑃(𝑌 = 𝑦) = 𝑃(𝑋 = 𝑔 (𝑦))
 𝑔 (𝑌 ) = 𝑋 = ⎯⎯⎯⎯
Para 𝑦 = 𝑥 𝑃 (𝑌 = 𝑥 ) = 0.1 0.9 = 0.9
Para 𝑦 = 𝑥 + 𝑐 𝑃 (𝑌 = 𝑥 + 𝑐) = 0.1 0.9 = 0.1
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𝑓 (𝑌 = 𝑦) = 
𝑑
𝑑𝑦
⎯⎯⎯𝑔 (𝑦) 𝑓 𝑔 (𝑦)
𝑓 (𝑌 = 𝑦) = 500
1
√2𝜋𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒𝑥𝑝 −
1
2
⎯⎯
𝑦 − 𝜇/500
𝜎/500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑓 (𝑌 = 𝑦) =
1
√2𝜋𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ 
500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒𝑥𝑝 −
1
2
⎯⎯
𝑦 − 𝜇/500
𝜎/500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑓 (𝑌 = 𝑦) =
1
2𝜋
𝜎
500
⎯⎯⎯
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
 
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯𝑒𝑥𝑝 −
1
2
⎯⎯
𝑦 − 𝜇/500
𝜎/500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑌 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝜇
500
⎯⎯⎯ ,
𝜎
500
⎯⎯⎯
Unimos todo lo anterior para usar el teorema de transformación;
b) Con los valores entregados, al reemplazar en las distribuciones, obtenemos;
𝑃 (𝑌 = 𝑦) =
0.9, 𝑌 = 1000
0.1, 𝑌 = 1875
Tarifa actual:
𝑌 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
523690
500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,
98500
500
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑌 ~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(1047.38, (197) )
Tarifa propuesta:
𝑃(𝑌 > 1000) = 𝑃(𝑌 = 1875)
𝑃(𝑌 > 1000) = 0.1
En el caso de la tarifa actual la tarifa superará el millón solo cuando 𝑌 = 1875, por lo tanto la 
probabilidad de que esto suceda será;
𝑃(𝑌 > 1000) = 1 − 𝑃(𝑌 ≤ 1000)
𝑃(𝑌 > 1000) = 1 − 𝑃
𝑌 − 1047.38
197
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≤
1000 − 1047.38
197
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑃(𝑌 > 1000) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ −0.24)
𝑃(𝑌 > 1000) = 𝑃(𝑍 ≤ 0.24)
𝑃(𝑌 > 1000) = 𝜙(0.24)
𝑃(𝑌 > 1000) = 0.6064
En el caso de la tarifa propuesta, la probabilidad será;
Para la tarifa propuesta, la probabilidad de superar el millón de pesos en arriendo es mayor a la tarifa 
actual, por lo tanto a los arrendatarios les conviene seguir con la tarifa que ya tienen.
Prom. de ventas: μ = 523690
Ds. De ventas: σ = 98500
 *Ojo: las v.a están en 
 miles de pesos
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Problema 3:
Un minimarket quiere potenciar a sus clientes el uso de tarjetas bancarias para disminuir la cantidad de 
efectivo en sus cajas para brindarle mayor seguridad a sus empleados. Estudios históricos del comportamiento 
de los clientes muestra que el número de ventas diarias que tiene el minimarket puede ser modelado por un 
proceso Poisson, donde en promedio hay 900 ventas diarias. Además del estudio se desprende que un 20%
paga con tarjeta bancaria. Por otro lado, los montos de las ventas en el minimarket distribuyen Normal donde 
se sabe que la mediana es de $10550 pesos y el 25% de los montos de las ventas son inferiores a $6120. La 
estrategia utilizada para aumentar las ventas con tarjeta bancaria, será de aplicarle un descuento de un 3% a 
los clientes cuyas compras exceden a los $15000 pesos y que utilicen este medio de pago. 
a) Calcule la probabilidad de que el monto de una venta supere los $15000 pesos. 
b) Calcule la probabilidad de que en a lo más la tercera venta del día sea la primera venta con monto superior a 
los $15000.
c) ¿Cuántos minutos se debe esperar hasta que ocurra la quinta venta con pago de tarjeta bancaria? 
d) Calcule la probabilidad de que en media hora a lo más dos ventas se les aplique un descuento de 3% al valor 
total de su compra.
Solución:
 𝑃(𝑋 < 6120) = 0.25
 
6120 − 10550
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 𝜙 (0.25)
 
6120 − 10550
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = −𝜙 (1 − 0.25)
 
6120 − 10550
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = −𝜙 (0.75)
 σ = −
6120 − 10550
0.67
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
 𝜎 = 6611.94
 
6120 − 10550
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = −0.67
 𝜙
6120 − 10550
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.25
𝑃
𝑋 − 𝜇
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯ <
6120 − 10550
𝜎
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0.25
a) Como indica el enunciado, el monto de las ventas 𝑋 distribuye normal. Al ser la distribución normal simétrica 
respecto a su media, la mediana coincide con la media, por lo tanto μ = 10550. Además sabemos que el cuantil 
6120 acumula el 25%;
𝑋~𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙(10550,6611.94 )
Por lo tanto la distribución de 𝑋 queda;
𝑃(𝑋 > 15000) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 15000)
𝑃(𝑋 > 15000) = 1 − 𝑃
𝑋 − 10550
6611.94
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ≤
15000 − 10550
6611.94
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑃(𝑋 > 15000) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.673)
𝑃(𝑋 > 15000) = 1 − 𝜙(0.673)
𝑃(𝑋 > 15000) = 1 − 0.7486
𝑃(𝑋 > 15000) = 0.2514
Y ahora podemos calcular la probabilidad de que los montos sean mayores a $15000;
Usamos la propiedad:
𝑧 = 𝜙 (𝑝) = − 𝜙 (1 − 𝑝)
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 Ayud. Proba 7 página 10 
b) Con la información obtenida anteriormente, podemos decir que cada venta por sobre $15000 es un evento 
Bernoulli con 𝑝 = 0.2514, por lo tanto si definimos el número de ventas que deben hacerse hasta la primera 
venta sobre este monto como 𝑌, esta variable sigue una distribución;
𝑌~𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎(𝑝 = 0.2514)
𝑃 (𝑌 = 𝑦) = 0.2514 (1 − 0.2514)
𝑃(𝑌 ≤ 3) = 𝑃(𝑌 = 1) + 𝑃(𝑌 = 2) + 𝑃(𝑌 = 3)
𝑃(𝑌 ≤ 3) = 0.2514 (1 − 0.2514)
𝑃(𝑌 ≤ 3) = 0.2514 + 0.1881 + 0.1409
𝑃(𝑌 ≤ 3) = 0.5804
Por lo tanto la probabilidad de que a lo más la tercera venta del día sea la primera que supere los $15000 
(𝑌 ≤ 3), estará dada por;
c) Nos dicen que las ventas del minimarket siguen una distribución Poisson con tasa λ = 900 ⎯⎯⎯ . Luego, las 
ventas que se realizan con tarjeta bancaria también seguirán una distribuciónPoisson pero con una tasa 
diferente. Si la probabilidad de que una venta sea con tarjeta es 0.2 la tasa será;
λ = 900 0.2
𝑣𝑡𝑎𝑠
𝑑í𝑎
⎯⎯⎯⎯
λ = 180
𝑣𝑡𝑎𝑠
𝑑í𝑎
⎯⎯⎯⎯
𝑍 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(180)
Por lo tanto las ventas que se realizan con tarjeta de crédito, que llamaremos 𝑍 siguen una distribución 
Poisson;
𝑇 ~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎(𝜆 = 180, 𝑘 = 5)
Entonces, el tiempo hasta que ocurra la quinta venta con tarjeta bancaria, 𝑇 , seguirá una distribución Gamma;
μ =
𝑘
𝜆
⎯⎯=
5
180
⎯⎯⎯ = 0.0278 𝑑í𝑎𝑠
Y el tiempo esperado hasta que ocurra la quinta venta será;
0.0278 𝑑í𝑎𝑠 = 0.6672 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 40.032 𝑚𝑖𝑛
Como nuestra tasa está en días, también el resultado está en días. Si lo cambiamos a otra unidad;
d) Para que a una venta se le aplique el descuento de 3% debe ser por un monto mayor a $15000 y con tarjeta 
bancaria, por lo tanto las compras a las que se les aplica el descuento, que definiremos como 𝑊, siguen una 
distribución Poisson y debemos conocer la tasa de ocurrencia;
λ % = 900 0.2514 0.2 = 45.252
𝑣𝑡𝑎𝑠
𝑑í𝑎
⎯⎯⎯⎯
ventas
 Tasa de todas las
*ojo: poner atención a las 
unidades de tiempo
Probabilidad de que una 
venta supere los $15000
Probabilidad de que la venta 
sea con tarjeta
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Como la tasa está medida en días, el tiempo que ocuparemos en la distribución de Poisson también debe estar en 
días (30 𝑚𝑖𝑛 = 0.021 𝑑í𝑎𝑠). De esta forma la probabilidad de que en media hora a lo más dos ventas tengan 
descuento será;
𝑃(𝑊 . ≤ 2) = 𝑃(𝑊 . = 0) + 𝑃(𝑊 . = 1) + 𝑃(𝑊 . = 2)
𝑃(𝑊 . ≤ 2) =
(0.95) 𝑒 .
𝑤!
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑃(𝑊 . ≤ 2) = 0.387 + 0.367 + 0.174
𝑃(𝑊 . ≤ 2) = 0.928
𝑊 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(45.252)
𝑃 (𝑊 = 𝑤) = 
(45.252𝑡) 𝑒 .
𝑤!
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Con esto obtenemos la distribución de 𝑊 ;
*Si el problema se quisiera trabajar 
directamente en minutos, habría que 
cambiar la tasa de días a minutos
45.252
𝑣𝑡𝑎𝑠
𝑑í𝑎
⎯⎯⎯⎯ = 0.0314
𝑣𝑡𝑎𝑠
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
Opción en minutos:
𝑊 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(0.0314)
𝑃 (𝑊 = 𝑤) = 
(0.0314𝑡) 𝑒 .
𝑤!
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑃(𝑊 ≤ 2) = 𝑃(𝑊 = 0) + 𝑃(𝑊 = 1) + 𝑃(𝑊 = 2)
𝑃(𝑊 ≤ 2) =
(0.942) 𝑒 .
𝑤!
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑃(𝑊 ≤ 2) = 0.39 + 0.366 + 0.173
𝑃(𝑊 ≤ 2) = 0.929
λ % = 0.0314
𝑣𝑡𝑎𝑠
𝑚𝑖𝑛
⎯⎯⎯⎯
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