Ayudantia1_2009_2

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Teorı́a Microeconómica I
Ayudantı́a I
Viernes 14 de Agosto del 2009
0) Definiciones.
-Acotación de un conjunto, cota superior, supremo, cota inferior e ı́nfimo.
-Funciones, dominio y rango.
-Continuidad, monotonicidad, inversibilidad.
-Rn, propiedades, vecindario, apertura y clausura.
-Espacio métrico, espacio vectorial, desigualdad triangular.
-Convexidad, funciones convexas, conjuntos convexos.
-Condiciones necesarias y suficientes, relaciones lógicas.
1) Si (A,%) ⊂ A × A es una relación binaria en A, decimos que su parte simétrica es la relación (A,∼) y que su parte
asimétrica es la relación (A,�) definidas de la siguiente forma:
a ∼ b⇔ a % b ∧ b % a
a � b⇔ a % b ∧ b 6% a
a) Demuestre que si (A,%) es completa y transitiva, entonces (A,�) también lo es, pero no es completa.
b) Demuestre que si (A,%) es completa y transitiva, entonces (A,∼) también lo es, pero no es completa.
c) Demuestre que si (A,%) es completa y transitiva, entonces también es transitiva negativa (i.e. que si a % b ⇒ ∀ z
(a % z ∨ z % b).)
2) Una persona puede destinar en cada fecha t una fracción del tiempo de que dispone al consumo de drota (xt) o a otras
actividades (yt), donde la restricción está dada por:
xt + yt = 1
a) Verifique que si la persona tuviera la siguiente función de utilidad
ut(xt, yt) = xλt y
1−λ
t
donde λ ∈ (0, 1) es un parámetro, entonces destinarı́a una fracción λ de su tiempo al consumo de droga.
b)Suponga, en cambio, que el individuo escoge en t maximizando ut y que el parámetro λ depende del promedio del consumo
pasado de droga (z) de la siguiente forma:
1
λ(z) =
26z−3
1 + 26z−3
con
zt =
1
t− 1
t−1∑
j=1
xj
Verifique que si en el primer perı́odo el individuo destinara un tercio de su tiempo al consumo de droga, entonces lo seguirı́a
haciendo por siempre. Verifique que lo mismo ocurrirı́a si, en cambio, le hubiera destinado dos tercios de su tiempo, o la mitad.
Puede racionalizarse el comportamiento de este individuo por medio de una relación de preferencias?
3) Si se define el conjunto decisión en A como
d(A) = {a ∈ A : ∀b ∈ A, a % b}
a) Demuestre que ∀B ⊂ A : a∗ ∈ B
a∗ ∈ d(A)⇒ a∗ ∈ d(B)
Si ahora definimos una relación binaria sobre conjuntos de actos (&,A) como
A & B ⇔ d(A) % d(B)
b) Muestre que (&,A) es una preferencia
c) Demuestre que si B es subconjunto de A, entonces A es preferido a B de acuerdo con esta preferencia
4)Considere un individuo que consume sólo queso y vino. Sea y la cantidad de queso que consume y x3 la cantidad de vino.
Sea I su ingreso. Sus preferencias sobre queso y vino son:
u(y, x3) = α ln y + (1− α) lnx3
Donde α ∈ (0, 1). El consumidor no puede adquirir queso directamente, sino que debe fabricarla comprando dos insumos que
son leche (x1) y sal (x2), de acuerdo con la siguiente tecnologı́a
y = mı́n(x1; 2x2 − 2)
a) Escriba la función de utilidad global u(x1, x2, x3) que representa las preferencias del consumidor por los tres bienes básicos.
b) Muestre que la función de costos en la producción de y es
e(p1, p2, y) =
(
p1 +
p2
2
)
y + p2
c) Obtenga las demandas compensadas por los insumos x1 y x2
d) Escriba la restricción presupuestaria del problema del consumidor
e) Obtenga las demandas marshallianas por los tres bienes básicos.
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