Ayudantia9_2009_2_Pauta

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Teorı́a Microeconómica I
Ayudantı́a IX
Viernes 30 de Octubre del 2009
1) Considere el siguiente modelo de un duopolio de Bertrand con productos diferenciados e información asimétrica. La deman-
da que enfrenta la firma i es qi(pi, pj) = a− pi− bipj . Los costos son cero para ambas firmas. La sensibilidad de la demanda
de i sobre el precio j puede ser alta o baja. Esto es, bi toma valores bH o bL (bH > bL > 0) con probabilidad θ y (1 − θ)
respectivamente, independiente de la realización de bj . Cada firma conoce su bi pero no el de su competidor. Todo esto es de
conocimiento común.
a) Resueva el Equilibrio de Nash con bH = bL = b e interprete sus resultados.
Cada empresa debe maximizar la utilidad eligiendo el precio que cobrará, o sea
máx
pi
πi = pi · (a− pi− bpj)
Entonces su función de mejor respuesta es
pi =
a− bpj
2
y como la del otro individuo debe ser igual, la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas nos da que
pi =
a− b
(
a−bpi
2
)
2
que es lo mismo que reemplazar pj de acuerdo a la función de mejor respuesta del otro (de todas formas traten de mentalizar la
EIEED, me parece importante). Luego, los precios de equilibrio son
pi =
a
2 + b
= pj
b) Encuentre las funciones de mejor respuesta de las firmas.
En este caso las funciones de mejor respuesta son con la utilidad esperada de la firma, o sea deben maximizar
máx
pi
E[π]i = pi · (a− pi− biE[pj ])
Naturalmente la condición de primer orden dependerá del tipo que tenga la empresa i, pero como ella lo conoce entonces su
estrategia debe contemplar una acción en cada caso (un precio para cuando es de tipo bH y otro para cuando es de tipo bL).
Entonces, la estrategia contingente al tipo es:
1
pHi =
a− bHE[pj ]
2
pLi =
a− bLE[pj ]
2
y como
E[pj ] = θpHj + (1− θ)pLj
entonces las funciones de mejor respuesta para las dos empresas en los dos casos se pueden escribir como
pHi =
a− bH(θpHj + (1− θ)pLj )
2
pLi =
a− bL(θpHj + (1− θ)pLj )
2
pHj =
a− bH(θpHi + (1− θ)pLi )
2
pLj =
a− bL(θpHi + (1− θ)pLi )
2
c) Encuentre el equilibrio de Nash de este juego.
Tenemos el sistema anterior, cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas (pHi , p
L
i , p
H
j y p
L
j ) por lo que es gratis el resultado.
2) Diez feroces piratas se juntan para dividir un botı́n de 100 monedas de oro. Lo harán de acuerdo a las siguientes reglas: el
pirata No. 1 propone una división de las monedas (cada moneda es indivisible), por ejemplo, (55, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5); esto
significa que, de ser aceptada su propuesta, se queda con 55 monedas mientras cada uno de los restantes piratas se queda con
cinco. Los diez piratas votan la proposición. Si la mayorı́a acepta, el botı́n se reparte de acuerdo con lo propuesto. En caso de
que haya empate o pierda, el primer pirata es arrojado por la borda y el pirata No. 2 propone cómo repartir las monedas, lo que
se vota entre los nueve piratas restantes, y ası́ sucesivamente. Los empates son resueltos en favor de la proposición. Además, si
a un pirata le es indiferente aprobar o rechazar una propuesta, votará en contra y cada pirata prefiere quedarse con nada antes
de ser arrojado por la borda.
a) Modele rigurosamente el juego.
Una modelación rigurosa implica mostrar el árbol de decisiones del juego y cuándo elige uno u otro jugador, cuáles son las
opciones que pueden tomar y las consecuencias de una u otra. En esencia el árbol es el siguiente
Donde cada pirata propone una repartición entre un conjunto (finito) de posibilidades, para luego ser Aceptada o Rechazada
entre los que queden a bordo. Los que son botados del barco reciben un pago de -1 y quienes no reciben el pago en monedas
2
correspondiente.
b) Describa una estrategia del pirata No. 1, y una del pirata No. 3.
Una estrategia ejemplo para el pirata 1 serı́a repartir el botin de acuerdo al vector (100, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) y luego aceptar
su propuesta.
Una estrategia ejemplo para el pirata 3 serı́a Aceptar siempre la propuesta de P1, Aceptar la propuesta de P2 si le tocan más
de 50 monedas, el vector de repartición (30, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10) (ojo que el vector tiene que ser para los 8 piratas que
quedan solamente) y Rechazar su propia propuesta (es ilógico, pero puede ser parte de la estrategia).
En otras palabras, una estrategia tiene que considerar para cada individuo una acción cada vez que le toque decidir si aceptar o
no la propuesta y un vector de repartición para cuando le toque a él partir el botı́n.
c) Encuentre el resultado inducido por el equilibrio perfecto en subjuegos.
El juego se resuelve por inducción hacia atrás, el penúltimo pirata sabe que si rechazan su oferta se irá por la borda y obten-
drá -1, por lo que votará a favor de su propia propusta. Como el último pirata querrá votar en contra, se produce un empate y
éste se decide en favor de la proposición. Luego, el pirata 9 debe decidir qué vector de repartición elegir, y naturalmente el que
más le conviene (domina) es (100,0). Luego, el pirata 8 debe decidir entre que lo tiren por la borda o realizar una propuesta que
pueda ser aceptada. Para que sea aceptada, debe conseguir al menos un voto de los dos últimos, por lo que tratará de convencer
al pirata 10 (pues al pirata 9 no lo puede mejorar, ya tiene 100 en caso de rechazo). Para esto, debe ofrecerle por lo menos 1 al
pirata 10 y por lo tanto el vector que propone el pirata 8 es (99, 0, 1). El pirata 7 está en la misma disyuntiva, por lo que decide
tratar de “comprarse.al pirata 9 que obtendrı́a 0 en este caso, al cual convence con un pago de 1, luego el vector de repartición
que maximiza su utilidad es (99, 0, 1, 0) que es aceptado por él y el pirata 9 y por lo tanto se acepta.
Podemos seguir ası́ hasta el pirata 1 o bien ver que hay un claro patrón. El vector óptimo para el pirata 6 es (98, 0, 1, 0, 1) con lo
que consigue los 3 votos necesarios para aceptar su propuesta, entonces el pirata 5 propondrı́a (98, 0, 1, 0, 1, 0) por las mismas
razones, hasta llegar a que el pirata 1 propone (96, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0) inicialmente, lo que es inmediatamente aceptado por
él y los piratas 3, 5, 7 y 9, lo que lleva a su aceptación. Este es el resultado del juego, pero recuerden que escribir el Eq. de Nash
no es escribir el resultado. Como en este ejercicio nos piden escribir el resultado, no hay problema, pero si nos pidieran escribir
el EN, tendrı́amos que escribir las estrategias de equilibrio para cada uno de los piratas.
3) Dos socios deben disolver una sociedad. El individuo i es dueño de m acciones de la sociedad, mientras que el individuo
j es dueño de n acciones (todas las accioens son idénticas y m+n es el total de acciones.) Es de conocimiento común que la
valoración de cada socio por acción distribuye iid U ∼ [0, 1].
Considere el siguiente mecanismo: Cada socio emite en forma cerrada un precio por acción; el que ofrece el precio más alto le
compra al otro sus acciones al precio ofrecido.
a) Derive el EBN de este mecanismo.
La utilidad del individuo i tendrá la forma
3
Ui =
{
(m+ n)vi − nbi, si bi > bj
mbj , si bj > bi
por lo que su utilidad esperada es
EUi = [(m+ n)vi − nbi] · prob(bi > bj) + [mbj ] · prob(bj > bi)
Luego, si asumimos ofertas simétricas y lineales (cosa que en realidad deberia haber estado en el enunciado, pero la mayorı́a
de las veces para este tipo de ejercicios pueden asumirlo.) de la forma bi = αi + βivi, tenemos que la utilidad esperada del
individuo es
EUi[vj ] = [(m+ n)vi − nbi] · prob(bi > αj + βjvj) + [mbj ] · prob(αj + βjvj > bi)
= [(m+ n)vi − nbi] · prob(
bi − αj
βj
> vj) + [mbj ] · prob(vj >
bi − αj
βj
)
=
∫ bi−αj
βj
0
[(m+ n)vi − nbi]dvj +
∫ 1
bi−αj
βj
[m(αj + βjvj)]dvj
= [(m+ n)vi − nbi][
bi − αj
βj
] + [m(αjvj + βj
v2j
2
)]
∣∣∣∣∣
vj=1
vj=
bi−αj
βj
De las condiciones de primer orden, entonces llegamos a que
bi =
m+ n
2m+ n
vi
y raelizando el proceso análogo para el individuo j llegamos a que
bj =
m+ n
2n+m
vj
b) Muestre que este mecanismo es ICEB (i.e.que decir la verdad es una estrategia dominante)
Para mostrar esto, basta establecer que, bajo este mecanismo y asumiendo que los otros individuos dicen la verdadera valoración,
el individuo no tiene incentivo a decir otra valoración. Si v̂i es la valoración que el individuo reporta, entonces desea maximizar
máx
v̂i
∫ v̂i 2n+m2m+n
0
[(m+ n)vi − n
m+ n
2m+ n
v̂i]dvj +
∫ 1
v̂i
2n+m
2m+n
[m
m+ n
2n+m
vj ]dvj
Integrando esto obtenemos lo que se quiere maximizar. Luego sacamos la CPO respecto a v̂i y podemos ver que
v̂i = vi
i.e. que la estrategia óptima es decir la propia valoración, q.e.d.
4) Considere el siguiente juego:
• Primero el jugador 2 escoge U o D.
• Si escoge U tanto el jugador 1 como el 2 reciben un pago de 52 .
• Si el jugador 2 escoge D, se juega el siguiente juego simultáneo:
4
l r
H 3,3 0,2
L 2,0 2,2
a) Escriba el juego en su forma extensiva.
b) Defina las estrategias de cada jugador.
Las estrategias de los jugadores son:
S1 = {H,L}
S2 = {Ul, Ur,Dl,Dr}
c) Encuentre los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos y compárelos con los equilibrios de Nash.
Para encontrar los EPS primero debemos encontrar los EN del juego completo, haciendo la matriz
Ul Ur Dl Dr
H 52 ,
5
2
5
2 ,
5
2 3,3 0,2
L 52 ,
5
2
5
2 ,
5
2 2,0 2,2
Luego hay 3 EN del juego completo, (L,Ul); (L,Ur); (H,Dl). Ahora bien, el único subjuego propio del juego es el que parte
en el nodo en que juega 1, por lo que los EN del subjuego son
l r
H 3,3 0,2
L 2,0 2,2
i.e. (H, l); (L, r) por lo que para ser perfecto en subjuegos, un equilibrio debe contener las estrategias que son EN en el
subjuego, por lo tanto los únicos EN del juego que pueden ser EPS son (L,Ur); (H,Dl).
5