Tarea3_2003_2

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Teoría Microeconómica I, 2do. Semestre 2003
Tarea 3, Lunes 30 de Septiembre
Fecha entrega: Jueves 9 (al inicio de la Ayudantía)
Prof.: Juan-Pablo Montero (jmontero@faceapuc.cl)
Ayudantes: Paula Benavides (pbenavid@puc.cl) y Manuel Hermosilla (mihermos@puc.cl)
Entregar 8 de 10 problemas (se recomienda hacerlos todos)
1. (Kreps 5.2) Consideren el siguiente problema de elección social en un modelo de consumo de dos
bienes y dos (tipos de) consumidores. Los bienes se denominan tillip y quillip y los dos consumidores
se denominan 1 y 2. El consumidor 1 posee la función de utilidad u1(t, q) = 6+0, 4 ln(t)+0, 6 ln(q),
siendo t la cantidad de tillip que 1 consume y q es la cantidad de quillip. El consumidor 2 posee la
función de utilidad u2(t, q) = 8+ ln(t) + ln(q). La dotación social consiste en 15 unidades de tillip
y 20 de quillip.
(a) Entre todas las asignaciones de bienes de consumo factible, determine todas aquellas que son
Pareto eficientes para esta sociedad
(b) Suponga que un planificador social tiene una función de bienestar social de la siguiente forma:
El bienestar social, en función de (u1, u2), es una suma ponderada con peso 2 para la menor
entre u1 y u2 y peso 1 para la mayor de las dos. ¿Cuál será el plan óptimo de bienestar elegido
por este planificador social?
2. En una economía de puro intercambio y perfectamente competitiva hay dos tipos de consumidores
A y B que se encuentran en iguales cantidades. Estos consumidores consumen bienes x e y de
acuerdo a sus funciones de utilidad
uA = x− 100 · e−y/10 + 47
uB = y − 100 · e−x/10 + 100
Cada consumidor tipo A tiene una dotación inicial de 40 unidades de x mientras que cada con-
sumidor tipo B tiene una dotación de 50 unidades de y.
(a) Denotando por p el precio relativo de y, derive las funciones de demanda de ambos consumi-
dores y comente sus propiedades [ojo con las soluciones esquina]
(b) Gráfica o analíticamente muestre que hay multiplicidad de equilibrios competitivos [hint: haga
un gráfico con el exceso de demanda de x (i.e., demanda menos oferta por x) en función de
p; se sabe que en equilibrio competitivo el exceso de demanda de cualquiera de los bienes es
exactamente igual a cero]
3. (Varian 17.9) Considere una economía con 15 consumidores (enumerados del 1 al 15) y 2 bienes (x e
y). El consumidor 3 tiene la siguiente función de utilidad del tipo Cobb-Douglas: u3 = lnx+ ln y.
En una determinada asignación Pareto eficiente, el consumidor 3 tiene un nivel de consumo de
(10;5). ¿Qué precios competitivos están detrás de esta asignación Pareto eficiente?
4. Demuestre o encuentre un contraejemplo de la siguiente proposición: en una economía de puro
intercambio y con consumidores idénticos, un aumento en la dotación de un bien produce una caída
en el precio de ese bien relativo a todos los otros bienes.
5. Mas-Collel-Whinston-Green [MWG] 15.B.6.
6. Hay dos bienes x e y y dos consumidores A y B con las siguientes utilidades y dotaciones
uA = a lnxA + (1− a) ln yA wA = (0; 1)
uB = min(xA, yA) wB = (1; 0)
Encuentre el equilibrio Walrasiano.
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7. (Kreps 8.11) Considere la siguiente economía: Existen tres productos, leguma, tillip y quillip, dos
(tipos de) consumidores (denominados 1 y 2) y dos (tipos de) empresas (denominadas x e y).
La empresa x pertenece en su totalidad al consumidor 1 y produce tillip a partir de la leguma
de acuerdo con la sencilla tecnología lineal de producción t ≤ 3l. Es decir, por cada unidad de
leguma utilizada como factor de producción, la empresa produce a lo más tres unidades de tillip.
La empresa y pertenece en su totalidad al consumidor 2 y produce quillip a partir de la leguma de
acuerdo con la tecnología de producción q ≤ 4l. Cada consumidor posee inicialmente 5 unidades de
leguma. El consumidor 1 tiene una función de utilidad dada por u1(t, q) = 6+0, 4 ln(t)+0, 6 ln(q),
siendo t la cantidad de tillip que 1 consume y q es la cantidad de quillip. El consumidor 2 posee
la función de utilidad u2(t, q) = 8 + ln(t) + ln(q).
(a) ¿Cuál es el equilibrio general (Walrasiano) de esta economía? Supongan que las empresas
toman los precios como dados y desean maximizar sus beneficios y los consumidores toman
los precios como dados. Cuando calculen los precios, normalícenlos de modo que el precio de la
leguma sea igual a 1. ¿Cuál sería el equilibrio si se invirtiera la propiedad de las empresas? ¿Y
si cada consumidor poseyera un 50% en cada empresa? [hint: cuando hay retornos constantes
a escala la indefinición de producción de la empresa se resuelve con el despeje de los mercados]
(b) ¿Cuál es el conjunto de todas las asignaciones factibles y Pareto eficientes de esta economía?
8. En una economía perfectamente competitiva hay 2 bienes, x e y, producidos usando capital, K, y
trabajo, L, de acuerdo a las siguientes funciones de producción
x = min{Kx, Lx}
y = min{Ky, Ly/4}
Inicialmente hay 200 unidades de capital y 440 unidades de trabajo en mano de los consumidores,
las que están repartidas equitativamente al igual que las utilidades de las empresas. Capital y
trabajo son totalmente movibles entre la producción de x e y. Denote por w el precio del trabajo
y r el del capital. Los consumidores son idénticos y tienen preferencias de acuerdo a la función de
utilidad u =
√
xy.
(a) Establezca las condiciones que debe satisfacer el equilibrio Walrasiano de esta economía colo-
cando especial atención a la posibilidad de que alguno de los factores (trabajo o capital) no
sea totalmente empleado.
(b) Determine las cantidades de equilibrio x e y, el precio de equilibrio py/px y el precio w/r.
(c) El gobierno introduce una regulación requiriendo a la industria que produce x usar 3 unidades
adicionales de capital por unidad de producto con el objeto de eliminar la contaminación que
emite. ¿Como afecta esta regulación el equilibrio Walrasiano de la economía? ¿Están los dos
factores totalmente empleados en este nuevo equilibrio? Comente.
9. MWG 16.G.5.
10. (Kreps 6.5) Imaginen una economía formada por tres personas en la que el primer bien son servicios
de jardinería, el consumo de los cuales embellece el jardín propio y del vecino, y el segundo bien
es la comida. Imaginen que dos de los consumidores de esta sociedad viven en casa contiguas,
mientras que el tercero vive al otro lado de una montaña especialmente grande. El consumo que
realiza el tercer consumidor de servicios de jardinería no genera ninguna externalidad a los otros
dos consumidores, pero cada uno de éstos genera una externalidad positiva a su vecino a través del
consumo de servicios de jardinería. Para ser precisos, imaginen que los consumidores 1 y 2 poseen
funciones de utilidad de la forma:
V i(x) = w(x11) + w(x
2
1) + x
i
2
en donde w : [0,∞) → < es una función estrictamente creciente, estrictamente cóncava y difer-
enciable. Adviertan que los consumidores 1 y 2 obtienen tanta utilidad a partir del jardín de su
vecino como del suyo propio, y que utilidad es una función lineal en la comida (en clases ya vimos
que este era un caso especial). Imaginen también que el consumidor 3 posee una función de utilidad
de la forma V 3(x) = w(x31) + x
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2. Existe una dotación social de servicios de jardinería y comida.
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(a) Supongan que la dotación social se asigna inicialmente en partes iguales entre los tres con-
sumidores. ¿Cuál será el equilibrio Walrasiano correspondiente (con externalidades)?
(b) Caractericen el conjunto de asignaciones de eficiencia de Pareto. ¿Es eficiente en el sentido
de Pareto la asignación de equilibrio en (a)?
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