Ayudantia 10

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IE–UC Teoŕıa Econométrica I
Ayudant́ıa 10
Teoŕıa Econométrica I
Profesor: Tomás Rau
Ayudantes: Bernardo de Moura y Sebastián Poblete
10/11/2017
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1. Lamentablemente la presencia de instrumentos débiles produce problemas de consis-
tencia del estimador de variables instrumentales y no podemos tener una noción de la
magnitud del sesgo en muestras finitas.
2. El algoritmo BHHH, en la práctica, puede ser preferible a Newton-Rhapson.
2 Problemas
1. Considere un individuo que busca empleo en el mercado laboral y que el tiempo que
demora en recibir una oferta sigue una distribución exponencial con una tasa igual a 1/θ.
Es decir,
f(y; θ) =
1
θ
exp(−y/θ)
donde θ > 0, e y > 0 indexa el tiempo medido en d́ıas.
a) ¿Cuál es el tiempo esperado en el cual el individuo recibiŕıa trabajo? Indique el
procedimiento realizado para llegar a dicha expresión.
b) Ahor suponga que la tasa de ocurrencia de las ofertas no es común para todos los
individuos sino que depende de caracteŕısticas observables de ellos. Aśı, suponga
que la distribución condicional del tiempo que tarda en llegar a la oferta es:
f(yi|xi;β) =
1
x′iβ
exp(−y/x′iβ)
Donde xi es un vector de k× 1 de caracteŕısticas y β es un vector de parámetros de
k × 1. Asuma que x′iβ > 0. Escriba el promedio muestral del log de la funci[on de
verosimilitud para una muestra de n observaciones independientes.
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c) Compute las condiciones de primer orden (CPO) para la estimación del parámetro
β. Muestre que dicha condición de primer orden puede ser escrita de la siguiente
forma:
1
n
n∑
i=1
xi
(x′iβ̂)
2
ui(β̂)
donde ui(β̂) es un pseudo-residuo que usted debe encontrar. Demuestre además que
E[ui(β̂)|xi] = 0
d) Dado que la CPO de la pregunta anterior no permite una solución anaĺıtica cerrada
para β, explique un algoritmo numérico y sus supuestos que permitan encontrar una
solución numérica para β̂. Discuta los potenciales problemas que pueden amenzar
la convergencia de dicho algoritmo.
2. Se dice que una variable aleatoria y tiene distribución Poisson(λ) si tiene una dis-
tribución discreta en los enteros no negativos, con una función de distribución discreta:
f(y;λ) =
e−λλy
y!
Recuerde que la distribución tiene media E[y] = λ y varianza V ar[y] = λ.
Suponga que usted tiene una muestra aleatoria de n observaciones de una variable
dependiente escalar yi y un regresor de dimensión k× 1 donde la distribución condicional
de yi dado xi es Poisson(x
′
iβ):
f(yi|xi;β) =
e−x
′
iβ(x′iβ)
y
y!
donde se asume que xiβ > 0 con probabilidad 1 para todo valor de β, pero el soporte de
la distribución de xi no involucra β.
Derive la función condicional promedio de la log-likelihood L(β; y|x) de este problema.
Muestre que las condiciones de primer orden para el estimador máximo verośımil de β
puede ser escrito de la forma:
0 =
1
n
n∑
i=1
ui(β̂) · xi
para alguna función de “pseudo-residuo” u(β̂) y muestre que satisface E[ui(β̂)|xi] =
0. Además, derive una expresión para la distribución asintótica del estimador máximo
verośımil, incluyendo una expresión para su matriz de covarianzas asintótica.
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