Ayudantía 4

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IE–UC Teoŕıa Econométrica I
Ayudant́ıa 4
Teoŕıa Econométrica I
Profesor: Tomás Rau
Ayudantes: Bernardo De Moura, Sebastián Poblete
1 Septiembre 2017
1 Comentes
1. Un test de Wald en un modelo lineal que ha relajado el supuesto de normalidad
es inconducente. No será posible conocer la distribución del estad́ıstico aún cuando
la muestra sea particularmente grande.
2. El método delta es clave para determinar la distribución asintótica de funciones
de variables aleatorias normales.
3. La heterocedasticidad es un problema grave en el contexto de un modelo de
regresión lineal pues no permite identificar los parámetros β
2 Ejercicios
1. Sea el modelo lineal:
yi = xiβ + ei, E(ei|xi) = 0
donde xi es un vector de 1×k y β un vector de parámetros de k×1, yi, ei escalares.
Usted está preocupado por el impacto de algunos valores inusualmente altos de
algunos regresores. En consecuencia, Ud. estima el modelo para una submuestra
para la cual |xi| ≤ c, para un valor c constante. Sea β el estimador OLS en esta
submuestra:
β =
(
n∑
i=1
x′ixi1(|xi| ≤ c)
)−1( n∑
i=1
x′iyi1(|xi| ≤ c)
)
donde 1(·) es una función indicadora que toma el valor 1 si el argumento es verdadero
y 0 si no lo es.
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IE–UC Teoŕıa Econométrica I
a) Muestre que plim β = β. Sea riguroso y enuncie todos los teoremas y leyes
utilizados en su desarrollo.
b) Encuentre la distribución asintótica de
√
n(β − β). Sea riguroso y enuncie
todos los teoremas y leyes utilizados en su desarrollo.
c) Si el modelo fuese
yi = xiβ + ei, E(xiei) = 0
¿Cambia el resultado encontrado en (a)? Explique.
2. Suponga un modelo de regresión lineal sin intercepto
yi = xiβ + ei
Donde xi, ei, β son escalares y E(ei|xi) = 0. Consideremos el estimador:
β̃ =
∑n
i=1 yi∑n
i=1 xi
Asumiendo que xi, β y ei tienen finitos momentos y {yi, xi} son muestras aleatorias
iid.
a) Muestre que es insesgado y consistente, indicando los teoremos usados.
b) Derive la distribución asintótica de
√
n(β̃ − β) cuando la muestra tiende a in-
finito, indicando los teoremas usados. Proponga un estimador para la varianza
asintótica sin asumir homocedasticidad.
c) Una amiga le propone explotar el supuesto de identificación E(ei|xi) = 0 de la
siguiente forma: E(x2i ei|xi) = 0. Verifique que se cumple la condición anterior
y muestre que:
β =
E(x2i yi)
E(x3i )
asumiendo que E(x3i ) 6= 0.
d) Usando el principio de la analoǵıa, una prima le propone el siguiente estimador:
β̈ =
∑
x2i yi∑
x3i
muestre que es insesgado, consistente, y obtenga su distribución asintótica
asumiendo que existe tercer y cuarto momento de xi y que E(x3i ) 6= 0. Note que
en general, es posible construir muchos estimadores consistentes y asintóticamente
normales pero sabemos que hay uno más eficiente bajo los supuestos usuales,
¿cuál es ese estimador?
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