Ayudantia 9

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Ayudantía 9
Teoría Econométrica I
Profesor: Tomás Rau
Ayudantes: Bernardo de Moura, Sebastián Poblete
3 de Noviembre, 2017
1. Commentes
1. Lamentablemente la presencia de instrumentos débiles produce problemas de consistencia del
estimador de variables instrumentales y no podemos tener una noción de la magnitud del sesgo
en muestras finitas.
2. Si tengo un modelo y = xβ+u y x = zπ+v con E [u|x] 6= 0 y z satisface E [z′u] = 0 y E [z′x] 6= 0;
pero no cuento con todas las variables en una misma muestra. Entonces es imposible que pueda
estimar consistente β, aun cuando tenga 2 muestras, una con y e z y la otra con x y z.
3. El estimador de variables instrumentales (o 2SLS) es insesgado y consistente bajo la hipótesis
nula de exogeneidad débil de los regresores o bajo la alternativa.
2. Problema a), examen 2015
Considere los siguientes problemas de endogeneidad.
1. Suponga que los coeficientes β = [β1, β2]
′ del modelo lineal y = Xβ + u son estimados por
2SLS, donde se asume que los errores u independientes de la matriz de instrumentos Z. V (u) =
V (u|Z) = σ2I. Un análisis de 163 observaciones es el que sigue
β̂2SLS =
[
2 5
]′
, σ̂22SLS = 4,
(
X̂ ′X̂
)
= X ′Z (Z ′Z)
−1
Z ′X =
[
5 1
1 1
]
Construya un intervalo con un 95% de confianza para γ = β1 · β2, bajo el supuesto de que la
muestra es lo suficientemente grande para aplicar los teoremas usuales y aproximaciones lineales.
¿Est´a γ0 en el intervalo? Ayuda: use la interpretacón de Theil para el cálculo de la varianza de
β̂2SLS .
2. Considere el siguiente problema con regresores endógenos:
y =Y β +Xγ + u
Y =ZΠ +Xφ+ v
donde Y es una matriz de regresores endógenos de T ×N (donde T es el tamaño muestral y N
la cantidad de regresores endógenos), la matriz X corresponde a regresores exógenos de T ×K1
y Z a una matriz de instrumentos exógenos de T ×K2. Asuma que los instrumentos satisfacen
los supuestos (1) y (2) vistos en clases. Además, suponga que el vector de residuos de T × 1 u
es homocedástico con varianza σ2u y la matriz de residuos V de T ×N tiene varianza igual a ΩV
. Estamos interesados en testear la hipótesis nula H0 : β = β0 contra la alternativa Ha : β 6= β0
pero se nos ha adverdito que los instrumentos son débiles.
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(a) Explique detalladamente los problemas de realizar inferencia estad´ısti- ca ante la presencia
de instrumentos débiles. De un ejemplo de la distribución empírica en muestra finita en la
presencia de instrumentos débiles.
(b) Escriba la forma reducida (en función de variables exógenas) y obtenga una reparametrización
que le permita testear H0 : β = β0, sin necesidad de estimar por 2SLS. Explique detallada-
mente. Ayuda, pruebe restando Y β0 a ambos lados de ecuación y reemplazando la primera
etapa.
(c) Ahora, notando que bajo la hipótesis nula, tenemos que y−Y β0−Xγ = u y que la variable
aleatoria
Z ′ [y − Y β0 −Xγ]
i.i.d.∼ N
(
0, σ2u (Z
′Z)
)
Proponga un test para H0 usando la construcción estándar vista en clases y plantee su
distribución asintótica y grados de libertad. No es necesario que haga una demostración
pero explique en detalle.
2. Problema 1, examen 2014
Considere el siguiente modelo lineal particionado Y = X1β1 +X2β2 + ε con n observaciónes; Xi tiene
ki variables con i = 1, 2. A este modelo le llamaremos el modelo verdadero y/o modelo “largo”.
1. Suponga que ambos X son endógenos pero solo tiene Z2, instrumentos limpios y correlacionados
para X2. Muestre que si el set de instrumentos Z2 no explica X1 en absoluto, es decir E [Z ′2X1] =
0, Ud. puede estimar consistentemente β2 usando la interpretación de Theil en el modelo “corto”
que regresiona Y sobre X̂2, donde X̂2 = Z2Π̂2 y Π̂2 = (Z ′2Z2)
−1
Z ′2X2. Luego, en este caso
tener menos instrumentos aun le permitiría estimar consistentemente parámetros de su modelo
original. Reflexione acerca de este resultado.
2. Suponga ahora que no tiene instrumentos y que E [ε|X1] 6= 0 pero E [ε|X2] = 0. Suponga
adicionalmente que E [X ′1X2] = 0. Demuestre que el estimador OLS de β2 del modelo “largo” es
inconsistente. Explique.
3. Usando los mismos supuestos de b), muestre que el estimador OLS de β2 en el modelo “corto”
que regresiona Y en X2 es consistente, a pesar de la endogeneidad de X1. En este caso omitir
variables endógenas no produce inconsistencia. Reflexione acerca de este resultado.
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