Ayudantia 2

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IE–PUC Teoŕıa Econométrica I
Ayudant́ıa 2
Teoŕıa Econométrica I
Sebastián Poblete
Profesor: Tomás Rau
Ayudantes: Bernardo De Moura, Sebastián Poblete∗
18 Agosto 2017
1 Ejercicios
1. Considere el modelo de regresión particionada Y = X1β1 +X2β2 + u donde
Y es un vector de n × 1, X1 es una matriz de n × k1 y X2 es una matriz de
n × k2 con k1 + k2 = k y u es un vector de n × 1. Los parámetros β1 y β2
son vectores de k1 × 1 y k2 × 1 respectivamente. Suponga que se cumplen los
supuestos vistos en clases.
a) Demuestre que el estimador MCO de β1 en el modelo largo (o completo)
es igual a β̂1 = (X
′
1M2X1)
−1X ′1M2Y donde M2 = I −X2(X ′2X2)−1X ′2 y
que su varianza es V (β̂1) = σ2(X
′
1M2X1)
−1.
b) Ahora suponga que X2 corresponde a una matriz de efectos fijos para
distintos grupos (y k2 es muy grande), donde la columna j-ésima (j ∈
{1, 2, ..., k2}) de X2 tiene un 1 toda vez que el individuo correspondiente
pertenece al grupo j y un 0 de otra forma. Por ejemplo, si n = 6, k2 = 4
y ordenamos las observaciones por grupo, de 1 a k2 = 4 tenemos que:
X2 =

1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1

luego, los individuos 1 y 2 pertenecen al grupo 1, el individuo 3 al grupo 2
y aśı. Suponga que Ud. necesita estimar los “efectos fijos grupo” pero son
muchos y el computador que dispone no posee la capacidad para invertir
una matriz de k2 × k2 no diagonal. Una amiga le sugiere el siguiente
algoritmo en dos pasos:
∗Dudas de esta ayudant́ıa a sjpobleteuc.cl
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i) Estime β1 usando FWL (asuma que k1 es pequeño)
ii) Dado el estimador β̂1, estime β2 aśı:
β̂2 = (X
′
2X2)
−1X2(Y −X1β̂1)
Demuestre que ii) es correcto, es decir que el estimador de β2 propuesto
satisface las ecuaciones normales de MCO, dado β1. Demuestre que la
matriz (X ′2X2) es diagonal con el numero de observaciones de cada grupo
en la diagonal y que el estimador de β2 no es más que un promedio simple
por grupo del pseudo residuo Y −X1β̂1. ¿Tiene razón su amiga?
c) Ahora, suponga que no le interesan los “efectos fijos grupo” y sea β̂∗1 =
(X ′1X1)
−1X ′1Y el estimador de la regresión corta, que omite X2. Conocido
es el hecho de que β̂∗1 es usualmente sesgado. Ahora, muestre que en
general, las diferencias entre las varianzas teóricas cumplen que V (β̂1) −
V (β̂∗1) ≥ 0 en el sentido semi-definido positivo. Ayuda: use expresiones
para la varianza (con σ2). Use además que si A−B ≤ 0 entonces A−1 −
B−1 ≥ 0 en el sentido semi-definido positivo.
2. Suponga que usted está interesada en estimar el siguiente modelo de
regresión lineal: Y = Xβ + u y suponga que el modelo satisface los supuestos
de Gauss-Markov. Una amiga está preocupada por la escala de su vector de
parámetros y le propone el siguiente problema de optimización para acotar su
tamaño:
S̃2 = (Y −Xβ)′(Y −Xβ) + λβ′β
donde λ > 0 es un “parámetro de penalización” que supondremos fijo. Es decir,
mientras más grande sea λ más castigará que β′β sea grande y más se alejará
de minimizar S̃2.
a) Derive el estimador de β que minimiza S̃2. Sea P̃ = (X ′X + λI)−1X ′
la matriz de proyección análoga a P en MCO. ¿proyecta P̃ en el espacio
generado por las columnas de X? Sea M̃ = I − P̃ , ¿puede decir donde
NO proyecta esta matriz?
b) Muestre que β̃ es sesgado y obtenga una forma para su matriz de varianzas
y covarianzas.
c) Muestre que si λ > 0, la matriz de varianzas y covarianzas de β̃ es menor
que la de β̂MCO en un sentido semi-definido postivo. Ayuda: si (A − B)
es positiva definida (A−1 −B−1) es negativa definida.
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