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Apuntes Resumidos Cálculo II

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Apuntes para Cálculo II
cod.- 527148
Trimestre 3 - 2018
1) Integral Definida
1.1) Sumas de Riemann.
• Partición. Sea [a, b] un intervalo cerrado. Definimos P = {x0, x1, . . . , xn} como una par-
tición del intervalo [a, b] si
a = x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
• Sumas Superior e Inferior. Sea f : [a, b]→ R con f ∈ B([a, b]) ( B([a, b]) es el conjunto
de funciones acotadas en [a,b]) y P una partición del intervalo [a, b]. Denotamos
Mi = sup
x∈[xi−1,xi]
f(x)
mi = ı́nf
x∈[xi−1,xi]
f(x)
con i = 1, . . . , n. Con esto definimos Suma Superior
S(f,P) =
n∑
i=0
Mi ·∆xi
de forma análoga definimos Suma Inferior
S(f,P) =
n∑
i=0
mi ·∆xi
para cualquier partición se cumple que S(f,P) ≤ S(f,P)
• Refinación. Sea P una partición del intervalo [a, b] y a esta le agregamos un nuevo punto
de [a, b] entonces formamos una partición P ′ del mismo intervalo que tiene la propiedad
P ⊆ P ′. Además
S(f,P) ≤ S(f,P ′) ≤ S(f,P ′) ≤ S(f,P)
1.2) Integral de Riemann.
• Integral Superior e Inferior. Sea f : [a, b]→ R y f ∈ B([a, b]). entonces podemos llamar
Integral Superior a∫ b
a
f(x) dx = ı́nf
{
S(f,P) : con P partición de [a, b]
}
de forma análoga definimos Integral Inferior∫ b
a
f(x) dx = sup {S(f,P) : con P partición de [a, b]}
ademas se cumple que
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx
• Riemann-Integrable. Sea f : [a, b] → R y f ∈ B([a, b]). diremos que f es Riemman-
Integrable en [a, b] si ∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx
en tal caso denotamos simplemente
∫ b
a
f(x) dx
• Definición de Integral de Riemann. Sea f : [a, b] → R y f ∈ B([a, b]). Definimos
Integral de Riemann como∫ b
a
f(x) dx = ĺım
n→+∞
b− a
n
n∑
i=1
f
(
a+ i
b− a
n
)
Teorema. Toda función continua en [a, b] es Riemman-Integrable en [a, b]. Aunque esto no
condiciona a que solo las funciones continuas son Riemman-Integrables un ejemplo son
las funciones a tramos, estas serán Riemann-Integrables si poseen una cantidad finita de
discontinuidades y ademas los limites laterales deben existir.
Teorema. Toda función monótona en [a, b] es Riemann-Integrable en [a, b].
• Propiedades. Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas y Riemann-Integrables en su
dominio entonces
I
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx, con c ∈ [a, b]
I
∫ b
a
λf(x) + g(x) dx = λ
∫ b
a
f(x) dx+
∫ b
a
g(x) dx, con λ ∈ R
I Si ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ g(x) ⇒
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
g(x) dx
I
∫ a
a
f(x) dx = 0
I
∫ b
a
f(x) dx = −
∫ a
b
f(x) dx
Desde ahora a las funciones Riemann-Integrables las llamaremos únicamente Integrables.
1.3) Teorema del Valor Medio para Integrales.
• Teorema Particular. Sea f : [a, b]→ R una función continua sobre [a, b] entonces
∃ξ ∈ [a, b] :
∫ b
a
f(x) dx = f(ξ)(b− a)
donde f(ξ) se conoce como el valor promedio de f en [a, b]
• Teorema General. Sean f, g : [a, b] → R con f una función continua en [a, b] y g una
función integrable y que mantenga el mismo signo en [a, b], entonces
∃ξ ∈ [a, b] :
∫ b
a
f(x) · g(x) dx = f(ξ)
∫ b
a
g(x) dx
1.4) Teorema Fundamental del Cálculo.
• Primer Teorema. Sea f : [a, b]→ R una función continua en ]a, b[ e integrable en [a, b] y
F : [a, b]→ R tal que
F (x) =
∫ x
0
f(t) dt
entonces
F ′(x) =
(∫ x
0
f(t) dt
)′
= f(x)
• Segundo Teorema (Regla de Barrows). Sea f : [a, b] → R una función continua en
[a, b] con F una primitiva de f , entonces∫ b
a
f(x) dx = F (b)− F (a)
• Generalización del Primer Teorema. Sean f : A → R una función continua en A e
integrable en [g(x), h(x)], con h(x), g(x) ∈ A ambas funciones derivables, entonces por la
regla de la cadena obtenemos:(∫ h(x)
g(x)
f(t) dt
)′
= f(h(x)) · h′(x)− f(g(x)) · g′(x)
1.5) Métodos de Integración Definida
• Sustitución. Sea h : [a, b]→ R tal que h(x) = f(g(x)) · g′(x) con h integrable en [a, b]
y g′ continua en [a, b], entonces a
∫ b
a h(x)dx le realizamos la sustitución u = g(x), du =
g′(x) dx, de esta forma la integral queda∫ b
a
f(g(x)) · g′(x) dx =
∫ u(b)
u(a)
f(u) du = F (u(b))− F (u(a))
• Por Partes. Sean f, g : [a, b]→ R ambas diferenciables tales que f ′ y g′ son integrables
en [a, b], entonces∫ b
a
f(x) · g′(x) dx = f(x) · g(x)|ba −
∫ b
a
f ′(x) · g(x) dx
2) Integrales Impropias
2.1) Integrales Impropias de Primera Especie.
• Definición. Sean f : [a,+∞[ integrable en [a, t] con t ≥ a y F : [a,+∞[→ R tal que F es
una primitiva de f , con esto definimos la integral impropia de primera especie como:
+∞∫
a
f(x) dx = ĺım
b→+∞
b∫
a
f(x) dx = ĺım
b→+∞
F (b)− F (a)
Si ĺım
b→+∞
b∫
a
f(x) dx existe y es finito decimos que la integral es convergente. En caso de que
el limite exista y sea ±∞ decimos que la integral diverge, si el limite no existe decimos que
es oscilante.
De forma análoga se definen las integrales impropias de primera especie en intervalos de la
forma ]−∞, b] para funciones f :]−∞, b]→ R integrables en [t, b], para todo t ∈ R, y las
representamos por
b∫
−∞
f(x) dx = ĺım
a→−∞
b∫
a
f(x) dx = ĺım
a→−∞
F (b)− F (a)
• Integral-p. A la integral
+∞∫
1
1
xp
dx
la llamamos integral-p la cual converge para p > 1 y diverge para p ≤ 1
• Integral Sobre R. Sea f : R → R integrable en todo intervalo cerrado de R. Definimos
la integral sobre R como ∫
R
f(x) dx =
+∞∫
−∞
f(x) dx
y esta sera convergente si existe un a ∈ R tal que
a∫
−∞
f(x) dx y
+∞∫
a
f(x) dx
convergen.
• Condición de Convergencia. Sea f : [a,+∞[ integrable en [a, t] con t ≥ a. Si al calcular
ĺım
x→+∞
f(x) = L 6= 0, entonces
+∞∫
a
f(x) dx diverge. NOTA: Si bien este resultado les puede
ser útil, no podrá ser usado hasta que se analice el capitulo de Series del curso, ya que su
demostración esta estrictamente ligada.
2.4) Criterios de convergencia para Integrales Impropias de Primera Especie.
• Criterio de Comparación Directa Sea f, g : [a,+∞[ integrables en [a, t] con t ≥ a tal
que ∀x ∈ [a,+∞[, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) entonces:
Si
+∞∫
a
g(x) dx converge =⇒
+∞∫
a
f(x) dx converge
Si
+∞∫
a
f(x) dx diverge =⇒
+∞∫
a
g(x) dx diverge
• Criterio de Comparación al Ĺımite. Sea f, g : [a,+∞[ integrables en [a, t] y no nega-
tivas. Supongamos que existe ĺım
x→+∞
f(x)
g(x)
= L, entonces
I Si 0 < L < +∞, entonces
+∞∫
a
g(x) dx converge ⇐⇒
+∞∫
a
f(x) dx converge
I Si L = 0, entonces si
+∞∫
a
g(x) dx converge =⇒
+∞∫
a
f(x) dx converge
I Si L = +∞, entonces si
+∞∫
a
f(x) dx converge =⇒
+∞∫
a
g(x) dx converge
Todos los criterios son análogos para integrales sobre ]−∞, b] y R
2.3) Integrales Impropias de Segunda Especie.
• Definición. Sea f, :]a, b] integrable en [t, a] con t ∈]a, b] y no acotada. Definimos Integral
Impropia de Segunda Especie como∫ b
a
f(x) dx = ĺım
c→a+
∫ b
c
f(x) dx
y diremos que es convergente si este ultimo limite existe y es finito, divergente si el limite
existe y es ±∞ y oscilante si el limite no existe.
De forma análoga se definen la integrales impropias de segunda especie para los intervalos
[a, b[: ∫ b
a
f(x) dx = ĺım
c→b−
∫ c
a
f(x) dx
• Integral-p. A la integral
a∫
0
1
xp
dx, con 0 < a < +∞
la llamamos integral-p de segunda especie, la cual converge para p < 1 y diverge para p ≥ 1
2.2) Criterios de convergencia para Integrales Impropias de Segunda Especie.
• Criterio de Comparación Directa Sea f, g :]a, b] integrables en [t, b] con t ∈]a, b] tal
que ∀x ∈]a, b], 0 ≤ f(x) ≤ g(x) entonces:
Si
b∫
a
g(x) dx converge =⇒
b∫
a
f(x) dx converge
Si
b∫
a
f(x) dx diverge =⇒
b∫
a
g(x) dx diverge
• Criterio de Comparación al Ĺımite. Sea f, g :]a, b] integrables en ]a, b] y no negativas.
Supongamos que existe ĺım
x→a+
f(x)
g(x)
= L, entonces
I Si L 6= 0, entonces
b∫
a
g(x) dx converge ⇐⇒
b∫
a
f(x) dx converge
I Si L = 0, entonces si
b∫
a
g(x) dx converge =⇒
b∫
a
f(x) dx converge
Todos los criterios son análogos para integrales sobre [a, b[ y ]a, b[.
Observación: Cualquier integral impropia de segunda especie puede transformarse mediante
un cambio de variable adecuado en una integral impropia de primera especie:Segunda Especie Sustitución Primera Especie
b∫
a+
f(x) dx u =
1
x− a
+∞∫
1
b−a
f
(
1
u
+ a
)
u2
du
b−∫
a
f(x) dx u =
1
b− x
+∞∫
1
b−a
f
(
b− 1
u
)
u2
du
2.5) Transformada de Laplace. Sea f : [0,+∞[→ R. Definimos la Transformada de Laplace
de la función f como
L{f(t)} = F (s) =
+∞∫
0
f(t) · e−st dt
ademas es un operador lineal integral, es decir si definimos g : [0,+∞[→ R y λ ∈ R se cumple
que
L{λf(t) + g(t)} = λL{f(t)}+ L{g(t)}
Si bien no tiene muchas aplicaciones durante este curso, sera muy importante en el Curso de
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
2.6) Función Gamma. Sea Γ :]0,+∞[→ R, definimos la Función Gamma como
Γ(t) =
+∞∫
0
e−x · xt−1 dx
la cual cumple que:
• Γ(t+ 1) = t · Γ(t)
• Γ(n) = (n− 1)!, ∀n ∈ N
3) Funciones Trascendentes
3.1) Función Logaritmo. Sea f : [1,+∞[→ R tal que f(t) = 1
t
, con esto definimos la función
logaritmo como ln :]0,+∞[→ R
ln(x) =
x∫
1
1
t
dt
la cual cumple que ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
3.2) Función Exponencial. Definimos exp : R → R+ como la inversa de ln, es decir como
ln−1(x) = exp(x) ⇐⇒ ln(y) = x.
3.3) Funciones Hiperbólicas. Definimos las funciones
• Coseno Hiperbólico como cosh : R→ R
cosh(x) =
ex + e−x
2
• Seno Hiperbólico como sinh : R→ R
sinh(x) =
ex − e−x
2
• Tangente Hiperbólica como tanh : R→ R
tanh(x) =
ex − e−x
ex + e−x
• Cotangente Hiperbólica como cothR− {0} → R
coth(x) =
ex + e−x
ex − e−x
• Secante Hiperbólica como sech : R→ R
sech(x) =
2
ex + e−x
• Cosecante Hiperbólica como csch : R− {0} → R
csch(x) =
2
ex − e−x
4) Aplicaciones de la Integral.
4.1) Área bajo la Curva. Sea f : [a, b]→ R+ ∪{0} una función continua, acotada y no negativa
(Esta ultima condición puede ser omitida si se compone con valor absoluto la función es decir
|f(x)|). Se define el área bajo la curva y = f(x) entre a y b limitada por el eje
−−→
OX como
b∫
a
f(x) dx
Figura 1: Área bajo la curva f con x ∈ [a, b]
4.2) Área entre Curvas. Sean f, g : [a, b]→ R+∪{0} funciones continuas, acotadas y no negativas
tales que ∀x ∈ [a, b], f(x) ≥ g(x). Se define el área entre las curvas y = f(x) e y = g(x) entre
a y b como
b∫
a
f(x)− g(x) dx
Figura 2: Área entre las curvas de f y g con x ∈ [a, b]
4.3) Volumen de Sólidos en el espacio.
• Método de Secciones Transversales Sea S un sólido 3-D entre los planos x = a y x = b
de manera que la intersección de éste con cada plano perpendicular al eje
−−→
OX, pasando
por el punto x0 ∈ [a, b], determina una región plana de área A(x). Considere además que la
función A(x) es continua en el intervalo [a, b] . Se puede deducir entonces que el volumen
del sólido S está dado por
V (S) =
b∫
a
A(x) dx
• Sólidos de Revolución. Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rota-
ción de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.
Figura 3: Ejemplo de Sólido de Revolución
Calcularemos el volumen de este tipo de sólidos mediante dos métodos: el método de los
discos y el método de los cilindros.
• Método de los Discos. Sea S un Solido de Revolución que obtiene al rotar la curva
y = f(x) de la función f : [a, b] → R con respecto al eje
−−→
OX. El volumen del sólido por
método de los discos es
V (S) = π
b∫
a
f2(x) dx
Ahora si rotamos una región acotada por dos curvas y = f(x) e y = g(x) con x ∈ [a, b] con
respecto a una recta de este modo
Las integrales que calculan el Volumen son
• Con respecto a L1
V (S) = π
b∫
a
(L1 − g(x))2 − (L1 − f(x))2 dx
• Con respecto a L2
V (S) = π
b∫
a
(f(x)− L2)2 − (g(x)− L2)2 dx
Es análogo deducir las integrales si es una región con respecto al eje y (Notar que las rectas
deben se paralelas al eje
−−→
OY )
• Método de los Cilindros. Sea S un Solido de Revolución que obtiene al rotar la curva
y = f(x) de la función f : [a, b] → R con respecto al eje
−−→
OY . El volumen del sólido por
método de los cilindros es
V (S) = 2π
b∫
a
x · f(x) dx
Ahora si rotamos una región acotada por dos curvas y = f(x) e y = g(x) con x ∈ [a, b] con
respecto a una recta de este modo
Las integrales que calculan el Volumen son
• Con respecto a A1
V (S) = 2π
b∫
a
(x−A1)(f(x)− g(x)) dx
• Con respecto a A2
V (S) = 2π
b∫
a
(A2 − x)(f(x)− g(x)) dx
Es análogo deducir las integrales si es una región con respecto al eje y (Notar que las rectas
deben se paralelas al eje
−−→
OX)
4.4) Curvas Paramétricas de R2
• Definición. Sea C una curva de R2 y ϕ : [a, b] → R2 una parametrización de C definida
como
ϕ(t) = (x(t), y(t)), con t ∈ [a, b]
• Continuidad y Derivabilidad. Sea C una curva de R2 y ϕ : [a, b]→ R2 una parametri-
zación de C, diremos que C es continua en t0 ∈ [a, b] si
ĺım
t→t0
ϕ(t) = ϕ(t0)
A su vez sera derivable en t0 ∈ [a, b] si
ĺım
t→t0
ϕ(t)− ϕ(t0)
t− t0
= ϕ′(t0)
ademas podemos definir
ϕ′(t0) =
dy
dx
(x0, y0) =
dy
dt
(x0, y0)
dx
dt
(x0, y0)
, ϕ′′(t0) =
x′(t0) · y′′(y0)− y(t0) · x′′(t0)
(x′(t0))3
con (x0, y0) = (x(t0), y(t0))
• Longitud de Arco. Sea C una curva de R2 y ϕ : [a, b] → R2 una parametrización de C
tal que es continua y derivable, la longitud de arco o perimetro de la curva C es
b∫
a
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
• Longitud de arco en Cartesianas. Si queremos calcular la longitud de la gráfica de una
función y = f(x) para x ∈ [a, b] entonces podemos emplear la fórmula anterior junto a la
parametrización
ϕ(x) = (x, f(x)), con x ∈ [a, b]
de este modo obtenemos la formula
b∫
a
√
1 + (f(x))2 dx
4.5) Superficie de Revolución.
• Área de una Superficie de Revolución Sea f : [a, b] → R de clase C∞. El área de la
superficie que obtiene al rotar la curva y = f(x) alrededor del eje
−−→
OX se define como:
2π
b∫
a
f(x)
√
1 + (f ′(x))2 dx
Ahora si se rota con respecto al eje
−−→
OY
2π
b∫
a
x
√
1 + (f ′(x))2 dx
4.6) Coordenadas Polares
• Sistema Polar. Sistema formado por un punto O arbitrario denominado polo u origen y
un rayo que pasa por el polo al cual llamaremos eje polar y las coordenadas polares de un
punto P respecto al sistema polar se define como (r, θ), donde r es la distancia del polo al
punto P y θ el angulo entre
−−→
OP y el eje polar. Por convenio se tiene (r, θ) = (|r|, θ + π).
Este se puede representar en el sistema cartesiano como{
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
• Gráfico de Ecuaciones en Coordenadas Polares. Son curvas parametrizadas como
(r cos(θ), r sin(θ)) donde r = f(θ) con θ ∈ [α, β].
• Circunferencias
• Centradas en el Polo son del tipo r = a con a ∈ R siendo este el radio de la
circunferencia
• Centradas en un punto (a, 0) o (0, a) son del tipo r = 2a cos(θ) o r = 2a sin(θ)
con a el radio de la circunferencia
r = 2a cos(θ) r = 2a sin(θ)
• Cardiodes son del tipo r = a(1± cos(θ)) o r = a(1± sin(θ))
r = a(1 + cos(θ))
r = a(1− cos(θ))
r = a(1 + sin(θ))
r = a(1− sin(θ))
• Caracol sin Lazo son del tipo r = a± b cos(θ) o r = a± b sin(θ) con |a| > |b|
r = a+ b cos(θ)
r = a− b cos(θ)
r = a+ b sin(θ)
r = a− b sin(θ)
• Caracol con Lazo son del tipo r = a± b cos(θ) o r = a± b sin(θ) con |a| < |b|
r = a+ b cos(θ)
r = a− b cos(θ)
r = a+ b sin(θ)
r = a− b sin(θ)
• Rozas son del tipo r = a cos(bθ) o r = a sin(bθ) con b la cantidad de pétalos (si b es par la
rosa tiene 2b pétalos y si b es impar tiene b pétalos) y a el tamaño de los pétalos
r = a cos(bθ), b = 3
r = a cos(bθ), b = 2
r = a sin(bθ), b = 3
r = a sin(bθ), b = 2
• Lemniscatas son del tipo r2 = a cos(2θ) o r2 = a sin(2θ)
r2 = a cos(2θ) r2 = a sin(2θ)
• Espirales son del tipo r = aθ o r = aebθ (Arqúımides)
r = aθ r = aebθ
• Simetŕıas.
• r sera simétrica con respecto al eje polar (
−−→
OX) si r(θ) = r(−θ)
• r sera simétrica con respecto al eje π
2
(
−−→
OY ) si r(−θ) = −r(θ)
• r sera simétrica con respecto al polo (Origen) si r(θ) = r(θ + φ)
• Área encerrada por la curva. Sea r(θ) una función polar definida para θ ∈ [α, β], el area
interior a la curva de ecuación r es
A(r) =
1
2
β∫
α
r2(θ) dθ
6) Sucesiones
6.1) Definición. Una sucesión de números reales es una funcióndel tipo a : N → R la cual
podemos denotar como
a(n) = an
o también indicando su dominio {an}n∈N
6.2) Convergencia. Sea L ∈ R. Diremos que la sucesión converge a L (o que su Ĺımite es L) si
∀ε > 0, ∃N ∈ N, n ≥ N =⇒ |an − L| < ε
esto en palabras simples es que dado cualquier epsilon positivo tiene que existir un natural N
tal que de el en adelante la sucesión comience a acercarse a L es decir que la distancia de an
con L sea menor que epsilon. En caso de que esto se cumpla denotamos
an −→ L o ĺım
n→+∞
an = L
6.3) Álgebra de Sucesiones Convergentes. Es análogo al Álgebra de ĺımites de funciones.
6.4) Teorema. Si an es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, entonces an es
una sucesión convergente.
7) Series Numéricas
7.1) Definición de Convergencia Sea la Serie
+∞∑
n=1
an y Sn la sucesión de sumas parciales de la
serie, entonces diremos que esta es convergente si
ĺım
n→+∞
Sn = `, con ` finito
en caso contrario diremos que la serie diverge.
7.2) Implicación de Convergencia. Sea la Serie
+∞∑
n=1
an convergente, entonces ĺım
n→+∞
an = 0. El
contra-reciproco de esta proposición es muy útil para determinar rápidamente divergencia de
una serie.
7.3) Serie Telescópica. La Serie
+∞∑
n=1
an−an+1 se llama serie telescópica. Esta serie es convergente
si y solo si an es convergente. En tal caso la serie converge a
+∞∑
n=1
an − an+1 = ĺım
n→+∞
a1 − an+1
Existe otro tipo de serie telescópica, converge si an converge y esta dada por
∑+∞
n=1 an+1−an =
ĺım
n→+∞
an+1 − a1
7.4) Serie Geométrica. Se define la serie geométrica para |r| < 1 como
+∞∑
n=p
arn =
arp
1− r
7.5) Criterios de Convergencia
• Criterio de la integral. Sea f : [0,+∞[−→ R+ una función continua, decreciente y no
negativa y f(n) = an con n ∈ N entonces∫ +∞
1
f(x) dx converge ⇐⇒
+∞∑
n=1
an converge
• Criterio de comparación directa. Sean an y bn dos sucesiones tal que 0 < an ≤ bn
entonces
+∞∑
n=1
bn converge =⇒
+∞∑
n=1
an converge
• Criterio de comparación al limite. Sean
+∞∑
n=1
an y
+∞∑
n=1
bn dos series de términos no
negativos tal que
ĺım
n→+∞
an
bn
= `
Entonces
◦ Si ` > 0 las series
+∞∑
n=1
bn y
+∞∑
n=1
an comparten su condición de convergencia.
◦ Si ` = 0 y
+∞∑
n=1
bn converge, entonces
+∞∑
n=1
an converge.
◦ Si ` = +∞ y
+∞∑
n=1
bn diverge, entonces
+∞∑
n=1
an diverge.
7.6) Convergencia Absoluta. Sea la serie
+∞∑
n=1
an se dirá que es absolutamente convergente si
+∞∑
n=1
|an| converge. Si
+∞∑
n=1
|an| diverge se dirá que la serie es condicionalmente convergente.
7.7) Criterio de Leibniz (Para series alternadas). Sea an una sucesión de términos positivos
y monótona decreciente tal que
ĺım
n→+∞
an = 0
entonces las series
+∞∑
n=1
(−1)nan y
+∞∑
n=1
(−1)n+1an convergen.
7.8) Criterio del cuociente (D’alembert). Sea an una sucesión tal que
ĺım
n→+∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = `
entonces
• Si 0 ≤ ` < 1 entonces las series
+∞∑
n=1
|an| y
+∞∑
n=1
an convergen.
• Si ` > 1 entonces las series
+∞∑
n=1
|an| y
+∞∑
n=1
an divergen.
• Si ` = 1 el criterio no aporta información.
7.8) Criterio de la ráız. Sea an una sucesión tal que
ĺım
n→+∞
n
√
|an| = `
entonces
• Si 0 ≤ ` < 1 entonces las series
+∞∑
n=1
|an| y
+∞∑
n=1
an convergen.
• Si ` > 1 entonces las series
+∞∑
n=1
|an| y
+∞∑
n=1
an divergen.
• Si ` = 1 el criterio no aporta información.
8) Series de Potencias.
8.1) Definición. Sea {an}n∈N0 una sucesión y sea c ∈ R , se define la serie de potencias como
+∞∑
n=0
an(x− c)n
8.2) Radio de convergencia. Sea la serie de potencias
∑+∞
n=0 an(x− c)n entonces es cierta una
y solamente una de las siguientes proposiciones
• La serie converge solo para x = c.
• Existe R > 0 de manera que la serie converge(absolutamente) si |x− c| < R y diverge para
|x− c| > R.
• Converge para todo x ∈ R.
Al numero R se le denomina radio de convergencia, entonces para el primer caso anterior R = 0
y para el tercero R = +∞.
8.3) Teorema de Cauchy-Hadamard. Sea la serie de potencias
∑+∞
n=0 an(x− c)n y ` depen-
diendo del caso se define como ` := ĺım
n→∞
sup
{
n
√
|an|
}
o ` := ĺım
n→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ luego el radio de
convergencia es
• Si ` = 0 entonces R = +∞
• Si ` = +∞ entonces R = 0
• Si 0 < ` < +∞ entonces R = 1
`
8.4) Intervalo de convergencia. Sea la serie de potencias
∑+∞
n=0 an(x−c)n se denomina intervalo
parcial de convergencia a Î =]c−R, c+R[ y luego analizando la convergencia de los extremos del
intervalo, en caso de convergencia en ambos el intervalo de convergencia es I = [c−R, c+R], en
caso de haber convergencia en solo un extremo el intervalo es I =]c−R, c+R] o I = [c−R, c+R[
y en caso de divergencia para ambos extremos el intervalo es I = Î.
8.5) Derivación e Integración de Series de potencias.
• Derivación. Sea la serie de potencias f(x) =
∑+∞
n=0 an(x− c)n con R > 0 entonces, ∀x ∈ Î
f ′(x) =
+∞∑
n=1
ann(x− c)n−1
• Integración. Sea la serie de potencias f(x) =
∑+∞
n=0 an(x−c)n con R > 0, entonces ∀x ∈ Î∫ x
c
f(t) dt =
∫ x
c
(
+∞∑
n=0
an(t− c)n
)
dt =
+∞∑
n=0
an
(x− c)n+1
n+ 1
8.6) Polinomio de Taylor. Sea n ∈ N y f : I ⊆ R −→ R una funcion n-veces diferenciable en
un punto c ∈ I. Definimos el el n-ésimo polinomio de Taylor de f en torno a c como
pn(x) =
n∑
k=0
f (k)(c)
k!
(x− c)k
8.7) Resto. Sea n ∈ N y fn+1 en un intervalo I que contiene c, entonces para cada x ∈ I, x 6= c,
existe un tx entre c y x tal que
rn = f(x)− pn(x)
=
f (n+1)(tx)
n+ 1!
(x− c)n+1
8.8) Serie de Taylor. Sea f una función de C∞(I) con c ∈ I. definimos la serie de Taylor de f
en torno a c como
+∞∑
n=0
f (n)(c)
n!
(x− c)n
luego si c = 0 se llama Serie de McLaurin. Continuando con las mismas hipotesis de lo anterior
podemos asegurar que la serie de Taylor de f en torno a c converge a f(x)
si y solo si ĺım
n→+∞
rn = 0, ∀x ∈ I en tal caso denotamos
f(x) =
+∞∑
n=0
f (n)(c)
n!
(x− c)n , ∀x ∈ I
Autor: Iván Astorga Cerpa
Este documento fue hecho con la intención de apoyar el estudio del curso de Cálculo II de Ingenieŕıa
Civil Plan Común de la Universidad de Concepción, no reemplaza para nada el contenido a ver por
el profesor encargado ni tampoco tiene validez si usted desea usarlo para alguna revisión de pruebas o
certamen. Este material puede contener errores ya que aun no es su versión final, si usted encuentra un
error por favor escribirme un correo a iastorga2016@udec.cl

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