C2 2017-1

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Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Departamento de Matemática
EVALUACION No2 (PAUTA)
Cálculo III (521227)
1. Calcular la integral de ĺınea
I1 =
∫
C
(y + ex) dx+ (2x+ cos y2) dy,
donde C es la curva que limita la región encerrada por las parábolas x = y2 e y = x2,
orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj.
2. Sea Ω el sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 2y, el cono z =
√
x2 + y2 y el plano
z = 0. Determinar el volumen de Ω.
3. Calcular la integral de superficie
I2 =
∫∫
S
(
xy2 +
1
4 + z2
, yz2 +
1
4 + x2
, zx2 +
1
4 + y2
)
· dS,
donde S = S1∪S2 es la unión de las superficies esféricas S1 = {(x, y, z) / x2 +y2 +z2 = 1}
y S2 = {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 = 4}. La orientación de S1 considera el vector normal que
apunta hacia el origen y la orientación de S2 considera el vector normal que apunta en la
dirección contraria al origen.
20 puntos cada problema
Tiempo: 90 minutos
23 de Junio 2017
EGG/JRC/CFS/JOF/HPV
1. Calcular la integral de ĺınea
I1 =
∫
C
(y + ex) dx+ (2x+ cos y2) dy,
donde C es la curva que limita la región encerrada por las parábolas x = y2 e y = x2,
orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Solución
Puesto que C es una curva cerrada simple, suave por secciones, con orientación positiva
y ~F (x, y) =
(
y + e
√
x , 2x+ cos y2
)
es un campo vectorial de clase C1 en el abierto R2,
en particular sobre la curva C y sobre la región simplemente conexa
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤
√
x},
aplicaremos el Teorema de Green. (10 puntos = 5 puntos hipótesis del Teorema +
5 puntos definición de la región R)
Como
∂Q
∂x
(x, y)− ∂P
∂y
(x, y) = 2− 1 = 1, (3 puntos)
tenemos que
I1 =
∫ 1
0
∫ √x
x2
dy dx =
∫ 1
0
(
√
x− x2) dx = 1/3. (7 puntos)
2. Sea Ω el sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 2y, el cono z =
√
x2 + y2 y el plano
z = 0. Determinar el volumen de Ω.
Solución
Haciendo uso de coordenas ciĺındricas,
Ω∗ = {(θ, r, z) : 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 2 sin θ, 0 ≤ z ≤ r}. (5 puntos)
Luego, el volumen solicitado queda expresado como
V (Ω) =
∫ π
0
∫ 2 senθ
0
∫ r
0
r dz dr dθ. (5 puntos)
Integrando con respecto a z y luego a r, queda
V (Ω) =
∫ π
0
∫ 2 sin θ
0
r2 dr dθ =
1
3
∫ π
0
8 sin3 θ dθ. (5 puntos)
Aśı,
V (Ω) =
8
3
∫ π
0
(sin θ − sin θ cos2 θ) dθ = 8
3
(2− 2/3) = 32
9
. (5 puntos)
3. Calcular la integral de superficie
I2 =
∫∫
S
(
xy2 +
1
4 + z2
, yz2 +
1
4 + x2
, zx2 +
1
4 + y2
)
· dS,
donde S = S1∪S2 es la unión de las superficies esféricas S1 = {(x, y, z) / x2 +y2 +z2 = 1}
y S2 = {(x, y, z) / x2 + y2 + z2 = 4}. La orientación de S1 considera el vector normal que
apunta hacia el origen y la orientación de S2 considera el vector normal que apunta en la
dirección contraria al origen.
Solución
De acuerdo a lo planteado, S es la superficie que acota el sólido Ω dado por
Ω = {(x, y, z) : 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4},
Puesto que S es una superficie orientable, suave cerrada, con vectores que apuntan hacia
afuera y ~F (x, y, z) =
(
xy2 +
1
4 + z2
, yz2 +
1
4 + x2
, zx2 +
1
4 + y2
)
es un campo vectorial
de clase C1 en el abierto R3, en particular en S y Ω, aplicaremos el Teorema de Gauss.
(5 puntos)
Como la divergencia del campo vectorial ~F es
div ~F (x, y, x) = y2 + z2 + x2, (2 puntos)
tenemos que
I2 =
∫∫∫
Ω
(x2 + y2 + z2) d(x, y, z). (3 puntos)
Haciendo uso de coordenadas esféricas,
Ω∗ = {(ρ, θ, φ) : 1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ φ ≤ π}. (5 puntos)
Luego,
I2 =
∫ π
0
∫ 2π
0
∫ 2
1
ρ4 sinφ dρ dθ dφ =
124π
5
. (5 puntos)