ejres_c3(cap1)

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1
1 Diferencial
1. Dada la función f(x, y) =

4x2y − 2x3 − 2xy2 + 3y3
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
a) Obtenga en su forma más simplificada las derivadas parciales ∂f
∂x
(x, y) y
∂f
∂y
(x, y) en cada punto donde existan.
Para (x, y) 6= (0, 0) :
∂f
∂x
(x, y) = ∂
∂x
µ
4x2y − 2x3 − 2xy2 + 3y3
x2 + y2
¶
= −2−xy
3 + x4 + 2x2y2 + y4
(x2 + y2)2
∂f
∂y
(x, y) = ∂
∂y
µ
4x2y − 2x3 − 2xy2 + 3y3
x2 + y2
¶
=
4x4 + 5x2y2 + 3y4
(x2 + y2)2
Para (0, 0) :
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
f(h,0)−f(0,0)
h
= lim
h→0
− 2h3
h2
−0
h
= −2
∂f
∂y
(0, 0) = lim
h→0
f(0,h)−f(0,0)
h
= lim
h→0
3h3
h2
−0
h
= 3
b) Decida si la función ∂f
∂y
es continua en (0, 0) .
∂f
∂y
es continua en (0, 0)⇔ lim
(x,y)→(0,0)
∂f
∂y
(x, y) = ∂f
∂y
(0, 0) = 3
Como a lo largo de B : y = 0 se tiene:
lim
(x,y)→(0,0)
y=0
∂f
∂y
(x, y) = lim
x→0
4x4
(x2)2
= 4 6= 3,
se concluye que ∂f
∂y
no es continua en (0, 0.)
c) Escriba la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función f en el
punto
¡
1, 1, 3
2
¢
.
La ecuación es
z = f(1, 1) +
∂f
∂x
(1, 1)(x− 1) + ∂f
∂y
(1, 1)(y − 1)
con f(1, 1) = 3
2
, ∂f
∂x
(1, 1) = −3
2
, ∂f
∂y
(1, 1) = 3 .Luego, la ecuaciòn es
z =
3
2
− 3
2
(x− 1) + 3(y − 1)
z = −3
2
x+ 3y
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 2
2. Sea f(x, y) =

x3(y + 1)
x2 − y si x
2 6= y
0 si x2 = y
a) Analice la continuidad de f en (0, 0).
Considerando el conjunto C :
x3(y + 1)
x2 − y = 1 se muestra que
x3(y + 1)
x2 − y = 1 ⇔ x
3(y + 1) = x2 − y ⇔ y = x
2 − x3
x3 + 1
luego C es una curva que pasa por el origen y
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈C
f(x, y) = 1 6= f(0, 0)
Por tanto, f no es continua en el origen
b) Calcule las derivadas parciales
∂f
∂x
(0, 0) y
∂f
∂y
(0, 0).
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
·
f(h, 0)− f(0, 0)
h
¸
= lim
h→0
·
h− 0
h
¸
= 1
∂f
∂y
(0, 0) = lim
h→0
·
f(0, h)− f(0, 0)
h
¸
= lim
h→0
·
0− 0
h
¸
= 0
c) Decida si f es diferenciable en (0, 0).
f no es diferenciable en (0, 0) porque no es continua en este punto.
3. Sea f(x, y) =

x3yp
x2 + y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
a) Estudie la continuidad de las derivadas parciales
∂f
∂x
y
∂f
∂y
en cada punto
de R2.
∂
∂x
"
x3yp
x2 + y2
#
= x2y 2x
2+3y2√
(x2+y2)
3 ,
∂
∂y
"
x3yp
x2 + y2
#
= x
5√
(x2+y2)
3
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
h
f(h,0)−f(0,0)
h
i
= 0 ,
∂f
∂y
(0, 0) = lim
h→0
h
f(0,h)−f(0,0)
h
i
= 0
Las derivadas parciales son funciones continuas en R2 − {(0, 0)}, porque son
cuocientes de funciones polinomiales cuyo denominador no se anula.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 3
También son continuas en el origen, porque¯̄̄̄
¯x2y 2x2+3y2√(x2+y2) 3
¯̄̄̄
¯ ≤ 5 k(x, y)k2 ⇒ lim(x,y)→(0,0) ∂f∂x(x, y) = 0 = ∂f∂x(0, 0)¯̄̄̄
¯ x5√(x2+y2) 3
¯̄̄̄
¯ ≤ k(x, y)k2 ⇒ lim(x,y)→(0,0) ∂f∂y (x, y) = 0 = ∂f∂y (0, 0)
b) Determine la diferenciabilidad de f en los puntos de R2.
Según la parte a), la función f es de clase C1 en todo el plano, luego es
diferenciable en R2
c) Encuentre la dirección en la cual f crece más rapidamente en el punto
(1, 1).¿Cuál es el valor de la derivada en esta dirección?
La dirección de mayor crecimiento de f en (1, 1) está dada por
∇f(1, 1) = ∂f
∂x
(1, 1) · ı̂+ ∂f
∂y
(1, 1) · ̂
=
5
2
√
2
· ı̂+ 1
2
√
2
· ̂
y el valor de la derivada direccional de f en (1, 1) en esta dirección es:
∂f
∂u
(1, 1) =
°°°° 52√2 · ı̂+ 12√2 · ̂
°°°°
=
r
25
8
+
1
8
=
1
2
√
13
4. Sea f : D ⊂ R2 → R la función definida por f(x, y) =
r
x+ y
x− y .
a) Determine el dominio D de f , representándolo gráficamente en el plano R2.
b) Para cada λ ∈ R, determine el conjunto de nivel λ:
Nλ(f) = {(x, y) ∈ D : f(x, y) = λ} y deduzca el recorrido de f.
c) ¿Es posible definir f en (0, 0) de manera que f sea continua en ese punto?
d) Encuentre la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en el punto³
2,−1, 1√
3
´
.
a)
(x, y) ∈ D⇔ x+ y
x− y ≥ 0
⇔ (x+ y ≥ 0 ∧ x− y > 0) ∨ (x+ y ≤ 0 ∧ x− y < 0)
⇔ (y ≥ −x ∧ y < x) ∨ (y ≤ −x ∨ y > x)
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543210-1-2-3-4-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
x
y
x
y
b) Para λ < 0, Nλ(f) = φ. Para λ > 0 :
f(x, y) =
r
x+ y
x− y = λ⇔
x+ y
x− y = λ
2
⇔ y =
µ
λ2 − 1
λ2 + 1
¶
x
que corresponde a una recta que pasa por el origen y tiene pendientem = λ
2−1
λ2+1
.
Por lo tanto, Re c f = [0,+∞[ .
c) No es posible, porque lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe. Basta considerar
Dλ = {(x, y) : f(x, y) = λ} para obtener lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈Dλ
f(x, y) = λ
d) f es de clase C1 en el interior del dominio de f.
∂
∂x
hq
x+y
x−y
i
= − 1
(−x+yy−x)
y
(y−x)2
∂
∂y
hq
x+y
x−y
i
= 1
(−x+yy−x)
x
(y−x)2
La ecuación del plano tangente es
z = f(2,−1) + ∂f
∂x
(2,−1)(x− 2) + ∂f
∂y
(2,−1)(y + 1)
=
1√
3
+
√
3
9
(x− 2) + 2
√
3
9
(y + 1)
5. Sea f : R2 → R definida por
f (x, y) =

p
x2 + y2 sin
µ
π(x+y)√
x2+y2
¶
, (x, y) 6= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 5
a) Estudiar la continuidad de f en (0, 0) .
|f (x, y)| ≤px2 + y2 = k(x, y)k ⇒ lim
(x,y)
f (x, y) = 0 = f (0, 0) .
Luego, f es continua en (0, 0) .
b) Calcule, si existe,
∂f
∂x
(0, 0).
∂f
∂x
(0, 0) = lim
h→0
f (h, 0)− f (0, 0)
h
= lim
h→0
|h| sin
³
πh
|h|
´
h
con lim
h→0+
sin (π) = 0 y lim
h→0−
[− sin (−π)] = 0.
Luego,
∂f
∂x
(0, 0) = 0
c) Calcule, si existe,
∂f
∂û
(0, 0) en la dirección del vector u = (1, 1) .
El vector unitario en la dirección de u es û =
³
1√
2
, 1√
2
´
.
∂f
∂û
(0, 0) = lim
h→0
f
³
h√
2
, h√
2
´
− f (0, 0)
h
con lim
h→0+
sin
¡√
2π
¢
= sin
¡√
2π
¢
y lim
h→0−
£− sin ¡−√2π¢¤ = sin ¡√2π¢ .
Luego,
∂f
∂û
(0, 0) = sin
¡√
2π
¢
d) Decida si f es o no diferenciable en (0, 0) .
Igual como en la parte 2,
∂f
∂y
(0, 0) = 0. De donde,
f (x, y)− f (0, 0)− ∂f
∂x
(0, 0) x− ∂f
∂y
(0, 0) y
k(x, y)k =
f (x, y)
k(x, y)k = sin
Ã
π (x+ y)p
x2 + y2
!
y considerando la trayectoria B : y = x , x > 0
lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈B
sin
Ã
π (x+ y)p
x2 + y2
!
= lim
x→0+
sin
µ
2πx√
2 |x|
¶
= sin
³√
2π
´
6= 0
Por lo tanto, f no es diferenciable en (0, 0) .
6. La expresión diferencial E = u
∂2z
∂u2
− v ∂
2z
∂u∂v
+
v
u
∂z
∂v
se refiere a una función
z = z(u, v) de clase C2. Haciendo el cambio de variables: x = u, y = uv
transforme E en términos de las derivadas parciales de z con respecto a x e y.
∂z
∂u
= ∂z
∂x
∂x
∂u
+ ∂z
∂y
∂y
∂u
= ∂z
∂x
+ ∂z
∂y
v
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 6
∂2z
∂u2
= ∂
2z
∂x2
∂x
∂u
+ ∂
2z
∂y∂x
∂y
∂u
+
³
∂2z
∂x∂y
∂x
∂u
+ ∂
2z
∂y2
∂y
∂u
´
v = ∂
2z
∂x2
+ 2 ∂
2z
∂x∂y
v + ∂
2z
∂y2
v2
∂z
∂v
= ∂z
∂x
∂x
∂v
+ ∂z
∂y
∂y
∂v
= ∂z
∂y
u
∂2z
∂u∂v
=
³
∂2z
∂x∂y
∂x
∂u
+ ∂
2z
∂y2
∂y
∂u
´
u+ ∂z
∂y
= ∂
2z
∂x∂y
u+ ∂
2z
∂y2
vu+ ∂z
∂y
Por lo tanto,
E = u
µ
∂2z
∂x2
+ 2
∂2z
∂x∂y
v +
∂2z
∂y2
v2
¶
− v
µ
∂2z
∂x∂y
u+
∂2z
∂y2
vu+
∂z
∂y
¶
+
v
u
µ
∂z
∂y
u
¶
= u
∂2z
∂x2
+ uv
∂2z
∂x∂y
= x
∂2z
∂x2
+ y
∂2z
∂x∂y
7. Suponga que f : R2 → R es una función de clase C2 y que satisface la ecuación
de Laplace
∂2f (u, v)
∂u2
+
∂2f (u, v)
∂v2
= 0. Determine si la función definida por
w = f
µ
x2 − y2
2
, xy
¶
satisface la ecuación
∂2w
∂x2
+
∂2w
∂x2
= 0.
Con u =
x2 − y2
2
, v = xy tenemos
∂w
∂x
=
∂w
∂u
x+
∂w
∂v
y
∂w
∂y
=
∂w
∂u
(−y) + ∂w
∂v
x
y de aquí
∂2w
∂x2
=
∂w
∂u
+ x2
∂2w
∂u2
+ y2
∂2w
∂v2
+ 2xy
∂2w
∂u∂v
∂2w
∂y2
= −∂w
∂u
+ y2
∂2w
∂u2
+ x2
∂2w
∂v2
− 2xy ∂
2w
∂u∂v
∂2w
∂x2
+
∂2w
∂y2
=
µ
∂2w
∂u2
+
∂2w
∂u2
¶¡
x2 + y2
¢
= 0
8. Muestre que si w = f(u, v) , de clase C2, satisface la ecuación de Laplace
∂2w
∂u2
+ ∂
2w
∂v2
= 0 , y si u = x
2−y2
2
, v = xy, entonces w = f(u(x, y), v(x, y))
también satisface la ecuación ∂
2w
∂x2
+ ∂
2w
∂y2
= 0
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Las derivadas de primer orden son:
∂w
∂x
= ∂w
∂u
∂u
∂x
+ ∂w
∂v
∂v
∂x
= ∂w
∂u
x+ ∂w
∂v
y
∂w
∂y
= ∂w
∂u
∂u
∂y
+ ∂w
∂v
∂v
∂y
= −∂w
∂u
y + ∂w
∂v
x
y las de segundo orden
∂2w
∂x2
=
h
∂2w
∂u2
x+ ∂
2w
∂v∂u
y
i
x+ ∂w
∂u
+
h
∂2w
∂u∂v
x+ ∂
2w
∂v2
y
iy
∂2w
∂y2
=
h
∂2w
∂u2
y − ∂2w
∂v∂u
x
i
y − ∂w
∂u
+
h
− ∂2w
∂u∂v
y + ∂
2w
∂v2
x
i
x
Luego, ∂
2w
∂x2
+ ∂
2w
∂y2
=
³
∂2w
∂u2
+ ∂
2w
∂v2
´
(x2 + y2) = 0
2 Teoremas de la función inversa y de la función
implícita
1. Dado el sistema
x2 − xu− v2 = 0
y2 − yv − u2 = 0
a) Determine qué condición debe cumplir una solución (x0, y0, u0, v0) para que
éste defina implícitamente dos funciones u = u(x, y),
v = v(x, y) de clase C1, en una vecindad del punto (x0, y0).
Con f1(x, y, u, v) = x2 − xu− v2, f2(x, y, u, v) = y2 − yv − u2, ambas de clase
C1 se tiene
∂(f1, f2)
∂(u, v)
=
¯̄̄̄ −x −2v
−2u −y
¯̄̄̄
= xy − 4uv
Luego se debe tener: x0u0 − 4u0v0 6= 0
b) Aplicando el teorema de la función implícita para la solución
x = 1, y = 1, u = 1, v = 0, decida justificadamente si la función T (x, y) =
(u(x, y), v(x, y)) admite una inversa local de clase C1 en una vecindad del
punto (1, 1).
El punto P0 = (1, 1, 1, 0) satisface la condición de la parte a). Luego, derivando
implícitamente el sistema con respecto a x :
2x− u− xux − 2vvx = 0
−yvx − 2u ux = 0
y en el punto P0
ux = 1
−2ux − vx = 0
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 8
de donde, ux = 1, vx = −2.
Derivando con respecto a y
−xuy − 2vvy = 0
2y − v − yvy − 2u uy = 0
y en el punto P0
−uy = 0
−2uy − vy = −2
de donde, uy = 0, vy = 2.
Por lo tanto
JT (1, 1) =
¯̄̄̄
1 −2
0 2
¯̄̄̄
= 2 6= 0
y T admite una inversa local de clase C1 cerca del punto (1, 1).
3 Máximos y mínimos
1. Encuentre los puntos críticos de la función f(x, y) = (x2+y2)ex
2−y2 y determine
su naturaleza.
2xex
2−y2 + 2x(x2 + y2)ex
2−y2 = 0
2yex
2−y2 − 2y(x2 + y2)ex2−y2 = 0
implica
x(x2 + y2 + 1) = 0
y(1− x2 − y2) = 0
Luego los puntos críticos son: (0, 0), (0, 1), (0,−1).
∂2f
∂x2
= 2(3x2 + y2 + 1)ex
2−y2 + 2(x3 + xy2 + x)2xex
2−y2
∂2f
∂y∂x
= 4xyex
2−y2 − 2(x3 + xy2 + x)2yex2−y2 = ∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2
= 2(1− x2 − 3y2)ex2−y2 − 2(y − yx2 − y3)2yex2−y2
En (0, 0) : fxx = 4, ∆ =
¯̄̄̄
4 0
0 2
¯̄̄̄
= 8 ⇒ mínimo relativo.
En (0, 1) : fxx = 4e−1, ∆ =
¯̄̄̄
4e−1 0
0 −4e−1
¯̄̄̄
< 0 ⇒ punto de silla.
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En (0,−1) : fxx = 4e−1, ∆ =
¯̄̄̄
4e−1 0
0 −4e−1
¯̄̄̄
< 0 ⇒ punto de silla.
Gráfica de f(x, y) = (x2 + y2)ex
2−y2
2. La temperatura en cada punto de la placa circular D : x2 + y2 ≤ 1 está dada
por la función
T (x, y) = x2 + 2y2 − x
a) Dibuje en un sistema de coordenadas la placa D y las curvas (isotermas)
T (x, y) = c, para c igual a 0, 1 y 2.
21.751.51.2510.750.50.250-0.25-0.5-0.75-1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
b) Use la ilustración anterior para ubicar los puntos de menor y mayor tem-
peratura sobre la placa.
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Las isotermas son las elipses:
x2 + 2y2 − x = cµ
x− 1
2
¶2
+ 2y2 = c+
1
4
Luego el menor valor c = −1
4
se obtiene en el punto (1
2
, 0) y el mayor valor
en los puntos de la circunferencia del segundo y tercer cuadrante donde la
isoterma es tangente a ésta.
c) Encuentre analíticamente los puntos de mayor y menor temperatura sobre
D.
i) puntos críticos en el interior de D :
2x− 1 = 0
4y = 0
⇔ x = 1
2
, y = 0
ii) Análisis en FR(D) : x2 + y2 = 1.
2x− 1 = λ2x (1)
4y = λ2y (2)
x2 + y2 = 1 (3)
De (2): y = 0 ∨ λ = 2.
Si y = 0 : x = 1, λ = 1/2, o x = −1, λ = 3/2.
Si λ = 2 : x = −1
2
, y =
√
3
2
, o x = −1
2
, y = −
√
3
2
.
iii) Se evalua T :
T (1
2
, 0) = −1
4
, T (1, 0) = 0, T (−1, 0) = 2, T (−1
2
,
√
3
2
) = 9
4
, T (−1
2
,−
√
3
2
) = 9
4
Luego (1
2
, 0) es mínimo absoluto y³
−1
2
,
√
3
2
´
,
³
−1
2
,−
√
3
2
´
son puntos de máximo absoluto.
3. Considere la función definida mediante
g (x, y) = 5xey − x5 − e5y, (x, y) ∈ R2
a) Determine la naturaleza de los puntos críticos de g.
El sistema a resolver es
5ey − 5x4 = 0
5xey − 5e5y = 0
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y equivale a
x4 = ey
x = e4y
lo que implica e16y = ey y así, y = 0 y x = 1 es la única solución.
El único punto crítico es (1, 0) .
Para la naturaleza del punto crítico consideramos la matriz Hessiana en el
punto
Hf =
µ −20 5
5 −20
¶
y el criterio indica que es un máximo relativo.
Decida si P (1, 0) es un punto de máximo absoluto para g.
Basta considerar que g (x, 0) = 5x−x5−1 y lim
x→−∞
g (x, 0) = +∞ para concluir
que g no posee máximo absoluto.
4. Sea R = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 8} y f(x, y) = x3 + y3 + 3xy.
a) Encuentre los puntos críticos de f en el interior de R y clasifíquelos.
b) Indique porqué puede asegurar que f posee extremos absolutos sobre R y
encuéntrelos.
(25 puntos)
a) El sistema es:
3x2 + 3y = 0
3y2 + 3x = 0
De (1) y = −x2. Se reemplaza en (2): x4 + x = 0.
Los puntos críticos son: (0, 0) y (−1,−1).
La matriz Hessiana en (x, y) es Hf(x, y) =
µ
6x 3
3 6y
¶
y su determinante
∆(x, y) = 36xy − 9.
Luego se tiene:
(x, y) (0, 0) (−1,−1)
fxx 0 −6
∆ −9 27
Naturaleza Silla Máx. relativo
b) f continua sobre el compacto R garantiza la existencia de extremos abso-
lutos.
En el interior de R ya tenemos los dos puntos críticos encontrados en la parte
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 12
anterior.
En la frontera.- Encontrar extremos de
f(x, y) = x3 + y3 + 3xy
s.a. : x2 + y2 = 8
Se resuelve el sistema
3x2 + 3y = λ2x
3y2 + 3x = λ2y
x2 + y2 = 8
De las dos primeras: λ = 3x
2+3y
2x
= 3y
2+3x
2y
y luego
x2y + y2 = xy2 + x2
x2 − y2 − xy(x− y) = 0
(x− y)(x+ y − xy) = 0
Se tiene entonces dos posibilidades: x = y ∨ x+ y = xy.
Para x = y, la tercera ecuación del sistema da 2x2 = 8 y luego
x = 2, y = 2, λ = 9
2
x = −2, y = −2, λ = −3
2
.
Para x+ y = xy se tiene y = x
x−1 y la tercera ecuación da x
2 + x
2
(x−1)2 = 8
con soluciones:
x = 2, y = 2, λ = 9
2
x = −1 +√3, y = −1−√3, λ = −9
2
x = −1−√3, y = −1 +√3, λ = −9
2
Puntos críticos obtenidos:
(2, 2), (−2,−2), (−1 +√3,−1−√3), (−1−√3,−1 +√3).
Finalmente se evalúa f.−
f(0, 0) = 0 f(−2,−2) = −4 f(−1 +√3,−1−√3) = −26
f(−1,−1) = 1 f(2, 2) = 28 f(−1−√3,−1 +√3) = −26
y se obtiene que (2, 2) es el máximo absoluto y
(−1 +√3,−1−√3), (−1−√3,−1 +√3) son mínimos absolutos.
5. La temperatura de la placa metálica x2 + y2 ≤ 6 está dada por
T (x, y) = 4x2 + 9y2 − x2y2.
a) Determine los puntos críticos de T en el conjunto x2 + y2 < 6 y determine
la naturaleza de uno de ellos.
El sistema
8x− 2xy2 = 0
18y − 2x2y = 0 , tiene soluciones: {y = 0, x = 0} , {x = 3, y = 2}
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 13
{x = 3, y = −2} , {x = −3, y = 2} , {x = −3, y = −2} .
Pero sólo el (0, 0) pertenece al círculo abierto.
El Hessiano de T : ¯̄̄̄
8− 2y2 −4xy
−4xy 18− 2x2
¯̄̄̄
En (0, 0) :
¯̄̄̄
8 0
0 18
¯̄̄̄
, lo que indica que (0, 0) es un mínimo relativo.
b) Encuentre los puntos de mayor y menor temperatura en la placa.
Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange se resuelve el sistema
8x− 2xy2 = 2λx
18y − 2x2y = 2λy
x2 + y2 = 6
A partir de la primera ecuación: x(4− y2 − λ) = 0 se obtiene:
i) x = 0, y = ±√6, λ = 9
ii) λ = 4− y2 y se resuelve
y(9− x2 − 4 + y2) = 0
x2 + y2 = 6
quedando y(2y2 − 1) = 0. Así,
y = 0, x = ±√6, λ = 4
y = ±
r
1
2
, x = ±
r
11
2
, λ =
7
2
Finalmente se evalúa: T (0, 0) = 0 , T (0,±√6) = 54, T (±√6, 0) = 24,
T (±
q
11
2
,±
q
1
2
) = 95
4
= 23. 75
De donde, (0, 0) es el punto de menor temperatura y los puntos (±√6, 0) son
los de mayor temperatura.
c) ¿En qué puntos de la placa la dirección de mayor crecimiento de la tempe-
ratura es vertical? (está dada por el eje y).
La dirección de mayor crecimiento está dada por
∇T (x, y) = ¡8x− 2xy2¢ · ı̂+ ¡18y − 2x2y¢ · ̂
Este vector es vertical cuando x = 0 (sobre el eje y) y cuando y = ±2 (dos
segmentos de rectas)
6. Para enviar por correo un paquete (caja) rectangular, la suma entre su longitud
y el perímetro de la sección transversal al lado que determina la longitud no
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 14
debe exceder las 100 pulgadas. ¿Cuál es la caja de mayor volumen que puede
ser enviada?
Siendo x, y, z las dimensiones de la caja, se debe tener 2x + 2y + z ≤ 100.
Se debe encontrar el maximo absolutode la función volumen V = xyz sobre
el tetraedro que se encuentra en el primer octante limitado por los planos
coordenados y el plano 2x+ 2y + z = 100.
El máximo absoluto existe porque la función es continua y el tetraedro es
compacto.
La función no tiene puntos críticos en el interior del conjunto
(Vx = Vy = Vz = 0⇒dos de las coordenadas son nulas).
Sobre las caras del tetraedro que están en los planos coordenados el volumen
es cero (mínimo).
Luego se debe encontrar:
Máximo de V (x, y, z) = xyz
s.a : 2x+ 2y + z = 100
Usando método de multiplicadores de Lagrange
yz = 2λ (1)
xz = 2λ (2)
xy = λ (3)
2x+ 2y + z = 100 (4)
De (1) y (2): z(x− y) = 0 y luego x = y (z = 0 da un mínimo).
De (3): x = y =
√
λ y de (1): z = 2
√
λ.
Ahora reemplazando en (4): 6
√
λ = 100 y
√
λ = 50
3
.
Luego x = y = 50
3
, z = 100
3
es el único punto crítico que debe corresponder
al máximo.
7. Usando el método de los multiplicadores de Lagrange encuentre el punto de la
superficie x2 + y2 + z2 = 7 más próximo al punto Q (2, 1,−3) .
Se debe encontrar el mínimo absoluto de la función
h (x, y, z) =
q
(x− 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2
s.a. : x2 + y2 + z2 = 7
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 15
el cual existe porque h es continua y la esfera considerada es un compacto.
También considerando que la función raíz cuadrada es creciente podemos min-
imizar
f (x, y, z) = (x− 2)2 + (y − 1)2 + (z + 3)2
s.a. : x2 + y2 + z2 = 7
Usando el método de multiplicadores de Lagrange el sistema a resolver es
x− 2 = λx
y − 1 = λy
z + 3 = λz
x2 + y2 + z2 = 7
las tres primeras ecuaciones indican que las variables x, y, z deben ser todas
no nulas, luego
λ =
x− 2
x
=
y − 1
y
=
z + 3
z
y así
3x = 6y = −2z
Los puntos encontrados son
P1 =
µ√
2,
1√
2
,− 3√
2
¶
P2 =
µ
−
√
2,− 1√
2
,
3√
2
¶
y evaluando f en estos puntos se encuentra que P1 es el punto más próximo.