Apunte_1

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1
1 Nociones de Topología en Rn:
Rn = fX = (x1; x2; :::; xn) : xi 2 Rg con las operaciones + (suma) y � (pro-
ducto por escalar) es un espacio vectorial sobre R:
1. La norma euclidiana de un vector X 2 Rn se de�ne por
kXk = k(x1; :::; xn)k =
q
x21 + :::+ x
2
n
Recuerde las propiedades de una norma en un espacio vectorial.
Un resultado importante son las desigualdades:
jxkj � kXk para cada componente xk del vector X
2. A partir de la norma se de�ne la noción de distancia entre dos puntos
X = (x1; :::; xn) e Y = (y1; :::; yn) de Rn por
d(X; Y ) = kX � Y k =
p
(x1 � y1)2 + :::+ (xn � yn)2
3. En Rn se tiene también un producto interior de�nido por
hX; Y i = x1y1 + :::+ xnyn =
nX
k=1
xkyk
y para el cual se tiene: kXk =
p
hX;Xi o bien hX;Xi = kXk2 :
También es válida la desigualdad de Schwarz: jhX; Y ij � kXk kY k :
En R2 y R3 : hX; Y i = kXk kY k cos � , donde � es el ángulo (� 180�)
formado por los dos vectores, lo que implica que
hX; Y i = 0, X ? Y
1.1 Bola abierta, punto interior y conjunto abierto.
Vecindad abierta de un punto en Rn.-
Sea X0 un punto de Rn:¿Cuáles son todos los puntos vecinos de él? (los
que están más próximos, los que lo rodean)
De�nición 1 Se llama bola abierta de centro X0 y radio r > 0 al conjunto
B(X0; r) = fX 2 Rn : d(X;X0) < rg
= fX 2 Rn : kX �X0k < rg
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Cuantomás pequeño es el r > 0, el conjunto contiene a los puntosmás
próximos de X0:
En R2 y R3 este conjunto es, respectivamente, un círculo y una esfera
(abierta) de centro X0 y radio r:
De�nición 2 Sean A � Rn y X0 2 A. Se dice que X0 es un punto interior
de A cuando: 9r > 0 tal que B(X0; r) � A:
Por ejemplo, para el conjunto A = f(x; y) : x � 0; y � 0g el punto (1; 2)
es un punto interior y el punto (0; 2) no es un punto interior. Para el conjunto
C = f(x; y) : x > 0; y > 0g, todos sus puntos son interiores.
De�nición 3 Un conjunto A es abierto cuando todos sus puntos son inte-
riores.
De�nición 4 Con A � Rn;
�
A = fX : X es punto interior de Ag se llama
el interior de A:
Es claro que:
�
A � A,
�
A es un conjunto abierto y
�
A es el mayor conjunto
abierto contenido en A:
Una bola abierta es un conjunto abierto.
1.2 Punto de acumulación.
De�nición 5 Sean A � Rn y X0 2 Rn (es posible que X0 =2 A). Se dice que
X0 es un punto de acumulación de A cuando
8r > 0 : [B(X0; r)� fX0g] \ A 6= �
Por ejemplo, para el conjunto C = f(x; y) : x > 0; y > 0g, (el cual es
abierto) los puntos (1; 2) y (0; 2) son de acumulación. Uno pertenece al
conjunto y el otro no.
Un ejercicio interesante es mostrar que, siendo X0 un punto de acumu-
lación de A; es posible encontrar una sucesión X1; X2; :::; Xn; ::: de puntos
(distintos) de A tal que d(Xn; X0) < 1n . Es decir, los puntos Xn se acercan
al punto X0; o equivalentemente, la sucesión de puntos de A converge al
punto X0:
Se de�ne el conjunto A0 = fX 2 Rn : X es punto de acumulación de Ag :
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1.3 Conjunto cerrado, clausura, punto frontera.
De�nición 6 Un conjunto F � Rn es cerrado cuando FC es abierto.
Por ejemplo, �B(X0; r) = fX 2 Rn : kX �X0k � rg, llamado bola ce-
rrada de centro X0 y radio r (positivo), es un conjunto cerrado.
Teorema 7 F es cerrado, F contiene todos sus puntos de acumulación.
De�nición 8 Se llama clausura de F al conjunto �F = F [ F 0 (F junto con
todos sus puntos de acumulación)
Es obvio que: F � �F y, según el Teorema, F es cerrado, �F = F:
Además, �F es el menor cerrado que contiene a F:
Un punto X 2 �F se llama punto de clausura o punto de adherencia de F:
De�nición 9 Sean A � Rn y X0 2 Rn: Se dice que X0 es un punto frontera
de A cuando:
8r > 0 : B(X0; r) \ A 6= � ^ B(X0; r) \ AC 6= �
X0 es punto frontera de A cuando pertenece a la clausura de A y a la
clausura de su complemento.
1.4 Conjunto compacto.
De�nición 10 Un conjunto K � Rn es acotado cuando 9r > 0 tal que
K � B(�; r):
De�nición 11 Un conjunto K � Rn es compacto cuando es cerrado y es
acotado.
Por ejemplo, una bola cerrada es un conjunto compacto; mientras que
el conjunto A = f(x; y) : x � 0; y � 0g no es compacto, porque (aunque es
cerrado) no es acotado.
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2 Límite.
Se estudiarán funciones de varias variables reales y con valores en el espacio
vectorial Rm: Es decir, una función
F : A � Rn ! Rm; X 7! F (X)
con dominio un conjunto A de Rn:
Como X = (x1; :::; xn); F (X) = (f1(X); :::; fm(X)),
con fk : A ! R; X ! f(X), la función F está determinada por las m
funciones componentes f1; :::; fm:
La función F : R2 ! R2; F (x; y) = (y+x2 cosxy; 5x+exy), es una función
de 2 variables con valores en R2: Sus componentes son f1(x; y) = y+x2 cosxy
y f2(x; y) = 5x+ exy:
2.1 De�nición de límite.
Al igual que en el cálculo de una variable, interesa estudiar el comportamiento
de F cerca de un punto X0, el cual puede pertenecer al conjunto A (dominio
de la función) o no. En todo caso debe ser un punto de acumulación de A,
para poder acercarse a X0 a través de puntos del conjunto A (donde
es posible evaluar la función).
De�nición 12 Sean F : A � Rn ! Rm, X0 un punto de acumulación de A
y L 2 Rm: Se escribe lim
X!X0
F (X) = L cuando se cumple la condición
dado " > 0; 9� > 0 tal que:
8X : kX �X0k < �; X 2 A; X 6= X0 ) kF (X)� Lk < " (1)
Observaciones.-
1. La condición (1) puede darse en forma equivalente por:
dado " > 0; 9� > 0 tal que:
8X : X 2 A; X 6= X0; X 2 B(X0; �)) F (X) 2 B(L; ")
Esto signi�ca que si X es cercano de X0 entonces su imagen F (X) es
próxima de L.
2. Puede existir un L que satisfaga la condición (1), o puede no existir.
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3. Si el límite existe, es único.
4. La notación lim
X!X0
X2A
F (X) = L enfatiza el hecho que la evaluación de F
se hace sobre puntos próximos de X0 y que pertenecen al conjunto A:
5. Considerando que F (X) = (f1(X); :::; fm(X)); L = (L1; :::; Lm) y
j fk(X)� Lkj � kF (X)� Lk ; 8k
se obtiene
lim
X!X0
F (X) = L, lim
X!X0
fk(X) = Lk; 8k
Esto justi�ca que los teoremas posteriores sobre límites se den sólo para
funciones a valores reales: f : A! R
2.2 Teoremas sobre límites.
Es directo de la de�nición que al estudiar el límite: lim
X!X0
X2A
f(X) = L, podemos
considerar una parte B � A, con la condición que X0 continue siendo un
punto de acumulación de B: Entonces se tiene:
lim
X!X0
X2A
f(X) = L) lim
X!X0
X2B
f(X) = L
Es obvio que si la implicación en la condición (1) vale para puntos del con-
junto A, debe continuar valiendo para puntos de una parte B de dicho con-
junto. Como conclusión se tiene el siguiente resultado.
Teorema 13 Si B1 y B2 son partes de A, que tienen a X0 como punto
de acumulación, lim
X!X0
X2B1
f(X) = L; lim
X!X0
X2B2
f(X) = M con L 6= M , entonces
lim
X!X0
X2A
f(X) = L no existe
Ejemplo 14 Estudio del límite
lim
(x;y)!(0;0)
xy
x2 + y2
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Ejemplo 15 Estudio del límite
lim
(x;y)!(0;0)
x3
x2 � y
Es claro que cuando lim
X!X0
X2A
f(X) = L exista, cualquier parte B de A va
a conducir al mismo resultado (L) y por supuesto que el Teorema anterior
no va a ser aplicable. En este caso, una parte B convenientemente elejida
nos proporciona el único valor posible L para el límite y entonces podemos
aplicar el siguiente Teorema.
Teorema 16 Si es válido el acotamiento
j f(X)� Lj � h(X); para X 2 B(X0; r)
(para X cerca de X0) y lim
X!X0
h(X) = 0, entonces lim
X!X0
f(X) = L
Ejemplo 17 Estudio del límite
lim
(x;y)!(0;0)
xy2
x2 + y2
Al igual que en el cálculo de una variable se tiene los teoremas sobre
álgebra de límites:
Teorema 18 Si lim
X!X0
f(X) = L y lim
X!X0
g(X) =M entonces:
a) lim
X!X0
[f(X) + g(X)] = L+M .
b) lim
X!X0
[f(X) � g(X)] = L �M
c) lim
X!X0
[c � f(X)] = c � L, para una constante c
d) lim
X!X0
�
f(X)
g(X)
�
=
L
M
; cuando M 6= 0
Aplicación.- Al tomar las funciones proyecciones:
pr1 : R2 ! R; pr1(x; y) = x
pr2 : R2 ! R; pr2(x; y) = y
y aplicarla de�nición de límite se tiene: lim
(x;y)!(x0;y0)
[pr1(x; y)] = x0 y
lim
(x;y)!(x0;y0)
[pr2(x; y)] = y0:
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Ahora, usando el Teorema, resulta el valor del límite para una función
polinomial f(x; y) en dos variables:
lim
(x;y)!(x0;y0)
f(x; y) = f(x0; y0) (2)
Por ejemplo:
lim
(x;y)!(�1;2)
[5x3y � 2xy2 + 3] = 5 (�1)3 2� 2 (�1) 22 + 3 = 1
lim
(x;y)!(�1;2)
[x4 + y � 2xy] = (�1)4 + 2� 2 (�1) (2) = 7
También este procedimiento es válido para funciones que son cuociente
de polinomios, como por ejemplo
lim
(x;y)!(�1;2)
�
5x3y � 2xy2 + 3
x4 + y � 2xy
�
=
1
7
, al aplicar la parte d) del Teorema.
Note que este razonamiento es aplicable a funciones de tres o más va-
riables.
Otro resultado es el Teorema de sustitución para límites:
Teorema 19 Sean f : A � Rn ! R , y h : I � R! R. Si lim
X!X0
f(X) = L
y lim
t!L
h(t) =M , entonces
lim
X!X0
h(f(X)) = lim
t!L
h(t) =M
Por ejemplo, lim
(x;y)!(0;0)
sin(x2 + y2)
x2 + y2
= lim
t!0
sin t
t
= 1
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3 Continuidad.
La noción de función continua es la misma que en el cálculo de una variable.
De�nición 20 Sean F : A � Rn ! Rm y X0 2 A. Se dice que F es una
función continua en el punto X0 cuando lim
X!X0
F (X) = F (X0):
En la de�nición se pide que:
i) F esté de�nida en X0:
ii) lim
X!X0
F (X) exista y
iii) el límite anterior coincida con el valor que toma F en el punto X0:
Observe que la condición (2) en la discusión anterior para funciones poli-
nomiales establece simplemente que éstas son funciones continuas en todo su
dominio (Rn)
Ejemplo 21 Estudie la continuidad de la función f , en cada punto de su
dominio
f(x; y) =
( xy
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Ejemplo 22 Estudie la continuidad de la función f , en cada punto de su
dominio
f(x; y) =
8<:
x3 � y3
x� y si x 6= y
0 si x = y
Ejemplo 23 Estudie la continuidad de la función f , en cada punto de su
dominio
f(x; y) =
8<:
x3 + y3
x� y si x 6= y
0 si x = y
4 Derivadas parciales.
Tomemos la base canónica de Rn : B = fe1; e2; :::; eng, donde
e1 = (1; 0; 0; :::; 0); e2 = (0; 1; 0; :::; 0); :::; en = (0; 0; 0; :::; 1):
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De�nición 24 Sean f : A � Rn ! R y X0 un punto interior de A: Se
de�nen las derivadas parciales de f en el punto X0 mediante los límites:
@f
@xk
(X0) = lim
h!0
�
f(X0 + h � ek)� f(X0)
h
�
(3)
cuando estos existen.
Tenemos derivada parcial con respecto a cada variable xk de la cual de-
pende la función (k va de 1 a n):
Es fácil ver que si se toma la función '(t) = f(X0 + t � ek); entonces
'0(0) = lim
h!0
�
'(h)� '(0)
h
�
=
@f
@xk
(X0)
O sea, una derivada parcial es una derivada (ordinaria) del cálculo de una
variable. Lo que permite trabajar, en muchos casos, con todas las reglas de
derivación conocidas del curso anterior.
Para una función de dos variables: x; y , la de�nición queda:
@f
@x
(x0;y0) = lim
h!0
�
f(x0 + h; y0)� f(x0; y0)
h
�
@f
@y
(x0; y0) = lim
h!0
�
f(x0; y0 + h)� f(x0; y0)
h
�
Ejemplo 25 Calcule las derivadas parciales, en todo punto donde existan,
de la función
f(x; y) =
( xy
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Volviendo a la de�nición (general) de derivada parcial podemos notar que
ella se da en términos de los vectores de la base canónica. Cada vector ek
determina geométricamente una dirección en Rn; precisamente la dirección
del eje coordenado correspondiente. Así, la derivada parcial
@f
@xk
(X0) es una
derivada en la dirección del eje xk y mide la tasa de cambio de la función en
dicha dirección.
Note además que, de acuerdo al ejemplo anterior, una función puede tener
todas sus derivadas parciales en un punto sin que sea continua en dicho punto.
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4.1 Derivada direccional.
En la de�nición de derivada parcial (3) podemos cambiar el vector ek que
da la dirección, por otro vector unitario ~v que determine otra dirección en el
espacio Rn:
De�nición 26 Sean f : A � Rn ! R , X0 un punto interior de A y ~v un
vector unitario. Se de�ne la derivada direccional de f en el punto X0 en la
dirección dada por el vector ~v por:
@f
@~v
(X0) = lim
h!0
�
f(X0 + h � ~v)� f(X0)
h
�
Esta también corresponde a una tasa de cambio de f enX0 en la dirección
del vector ~v:
El siguiente ejemplo muestra que una función puede tener derivada direc-
cional en un punto, en todas las direcciones, sin que ella sea continua en ese
punto.
Ejemplo 27 Calcule las derivadas direccionales en (0; 0), en todas las di-
recciones, de la función
f(x; y) =
8<:
2xy2
x2 + y4
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Muestre también que la función no es continua en el origen.
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5 La Diferencial.-
De�nición 28 Sea F : A � Rn ! Rm; X 7�! F (X), una función de n
variables y a valores vectoriales, de�nida en un conjunto abierto A y sea
X0 2 A: Se dice que F es diferenciable en X0 cuando existe una aplicación
lineal
L : Rn ! Rm; H 7�! L(H) tal que:
lim
H!�
F (X0 +H)� F (X0)� L(H)
kHk = � (vector nulo) (4)
Si en la condición 4 se reemplaza H = X �X0 se obtiene:
lim
X!X0
F (X)� F (X0)� L(X �X0)
kX �X0k
= � (5)
Mirando esta última condición podemos tomar la aplicación
G(X) = (F (X0)� L(X0)) + L(X) (6)
que es la suma de un vector constante más una aplicación lineal (se llama
aplicación afín), y escribir
lim
X!X0
F (X)�G(X)
kX �X0k
= � (7)
La condición 7 se expresa diciendo que la función de�nida en 6 es una
buena aproximación de la función F en una vecindad del punto X0. El
límite 7 puede entenderse en el sentido que la diferencia F (X)�G(X) tiende
a cero, más rapidamente que kX �X0k, cuando X ! X0.
Por esto, cuando f es diferenciable en el punto X0; se tiene la aproxi-
mación
F (X) � G(X) = F (X0) + L(X �X0)
válida para X próximo de X0.
La aplicación lineal L de 4 se llama La Diferencial de F en el punto X 0
y se denota DF (X0) = L.
Observaciones.-
1. Se puede probar que existe a lo más una aplicación lineal satisfaciendo
la condición (4).
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2. Cuando no existe una L lineal que cumpla (4), se dice que F no es
diferenciable en el punto X0:
3. En el caso particular que F sea una aplicación lineal, es inmediato
veri�car que L = F veri�ca la condición 4 de la de�nición. O sea,
DF (X0) = F , en cualquier punto X0.
4. También, cuando F es una aplicación afín, es decir F (X) = B + L(X)
(un vector constante más una aplicación lineal) se tiene que DF (X0) =
L, en cualquier punto X0.
Tomemos una F diferenciable en X0 y considere el j-ésimo vector êj de
la base canónica de Rn: Podemos restringir el límite de la condición (4) al
camino determinado por el eje xj (h 7! h � êj) y obtener
lim
h!0
F (X0 + h � êj)� F (X0)� L(h � êj)
kh � êjk
= �
lo que lleva fácilmente a:
L(êj) = lim
h!0
F (X0 + h � êj)� F (X0)
h
Ahora si consideramos que F = (f1; f2; :::; fm) está determinada por sus
funciones componentes, lo mismo que L = (L1; L2; :::; Lm); la fórmula ante-
rior da
Li(êj) = lim
h!0
fi(X0 + h � êj)� fi(X0)
h
=
@fi
@xj
(X0)
Esto muestra que, con respecto a las bases canónicas en el dominio y
codominio, la matriz de L está dada por:
JF (X0) =
0BBBBBBB@
@f1
@x1
(X0)
@f1
@x2
(X0) ::: :::
@f1
@xn
(X0)
@f2
@x1
(X0)
@f2
@x2
(X0) ::: :::
@f2
@xn
(X0)
::: ::: ::: ::: :::
@fm
@x1
(X0)
@fm
@x2
(X0) ::: :::
@fm
@xn
(X0)
1CCCCCCCA
llamada matriz jacobiana de f en el punto X 0:
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Caso particular.- n=2 y m=1.
Para f : A � R2 ! R; (x; y) 7! f(x; y). diferenciable en (x0; y0) se tiene:
Jf(x0; y0) =
�
@f
@x
(x0; y0)
@f
@y
(x0; y0)
�
Df(x0; y0)(h; k) =
@f
@x
(x0; y0) � h+
@f
@y
(x0; y0) � k
La buena aproximación de f en una vecindad de (x0; y0) es
g(x; y) = f(x0; y0) +
@f
@x
(x0; y0) � (x� x0) +
@f
@y
(x0; y0) � (y � y0)
cuyo grá�co z = g(x; y) corresponde a un plano que pasa por el punto
(x0; y0; f(x0;y0)). Precisamente la condición (4) que de�ne diferenciabilidad
de f en (x0; y0) hace que este plano sea tangente a la super�cie grá�co de f
en el punto (x0; y0; f(x0; y0)).
Ejemplo 29 Estudie la diferenciabilidad en (0; 0) de las funciones
f(x; y) =
8<:
x2y
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
g(x; y) =
8<:
x2y2
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
Cuando corresponda, encuentre el plano tangente a la grá�ca de la función
en el origen.
5.1 Teoremas sobre diferenciabilidad.
La relación entre diferenciabilidad y continuidad está determinada en el si-
guiente teorema.
Teorema 30 F diferenciable en X0 ) F continua en X0:
Dem.- Se sigue del hecho que toda aplicación lineal L es una función con-
tinua, es decir lim
X!X0
L(X) = L(X0), y además
F (X)� F (X0) = F (X)� F (X0)� L(X �X0) + L(X �X0):
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Luego, kF (X)� F (X0)k � kF (X)� F (X0)� L(X �X0)k+kL(X)� L(X0)k
Como (5) implica que lim
X!X0
kF (X)� F (X0)� L(X �X0)k = 0; se concluye
que
lim
X!X0
F (X) = F (X0)
En forma práctica el Teorema se usa aplicando su contrarecíproco:
F no continua en X0 ) F no diferenciable en X0:
De�nición 31 Una función F = (f1; f2; :::; fm) de�nida en el abierto A �
Rn y con valores en Rm es de clase C1 en el conjunto A cuando todas las
derivadas parciales
@fi
@xj
: A! R son funciones continuas.
La importancia de esta condición está en el siguiente resultado (cuya
demostración la consideramos fuera del alcance de este curso):
Teorema 32 Una función F de clase C1 en el abierto A es diferenciable en
cada punto de este conjunto.
El teorema anterior muestra que la función
f(x; y) =
( xy
x2 + y2
si (x; y) 6= (0; 0)
0 si (x; y) = (0; 0)
es diferenciable en todo punto (x; y) 6= (0; 0) (el conjunto A = R2 � f(0; 0)g
es abierto). Además f no es diferenciable en (0; 0), porque no es continua.
¿Cuál es la ecuación del plano tangente al grá�co de f en el punto
(2; 3; 6
13
)? ( f(2; 3) = 6
13
).
Determínela a partir de
z = f(2; 3) +
@f
@x
(2; 3) (x� 2) + @f
@y
(2; 3)(y � 3)
Se calcula
@
@x
�
xy
x2+y2
�
= �y x2�y2
(x2+y2)2
, evaluado en (2; 3): �34�9
132
= 15
169
@
@y
�
xy
x2+y2
�
= x x
2�y2
(x2+y2)2
, evaluado en (2; 3): 24�9
132
= � 10
169
La ecuación es: z = 6
13
+ 15
169
(x� 2)� 10
169
(y � 3):
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La relación entre diferenciabilidad y derivadas direccionales está dada
por:
Teorema 33 Sean f : A � Rn ! R diferenciable en el punto X0 y ~v un
vector unitario. Se tiene entonces
@f
@~v
(X0) = Df(X0)(~v)
Dem.- De la de�nición de diferenciabilidad en X0:
lim
H!�
f(X0 +H)� f(X0)�Df(X0)(H)
kHk = � , basta restringir el límite al
camino determinado por h! h � ~v para obtener
Df(X0)(~v) = lim
h!0
f(X0 + h~v)� f(X0)
h
=
@f
@~v
(X0)
Observación.- Al de�nir el vector
rf(X0) =
�
@f
@x1
(X0);
@f
@x2
(X0); :::;
@f
@xn
(X0)
�
llamado gradiente de f en X0, la igualdad
Df(X0)(H) =
@f
@x1
(X0)h1 +
@f
@x2
(X0)h2 + :::+
@f
@xn
(X0)hn
puede escribirse
Df(X0)(H) = rf(X0) �H
donde ���representa el producto interior de los dos vectores. La fórmula del
teorema anterior ahora se escribe
@f
@~v
(X0) = Df(X0)(~v) = rf(X0) � ~v
y luego, utilizando la desigualdad de Scharwz,����@f@~v (X0)
���� = jrf(X0) � ~vj
� krf(X0)k k~vk
= krf(X0)k
O sea, krf(X0)k es una cota superior para el valor absoluto de cualquier
derivada direccional en X0:
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 16
Por otra parte, al considerar el vector unitario ~u =
rf(X0)
krf(X0)k
(supuesto
que el vector gradiente no es nulo) se obtiene
@f
@~u
(X0) = rf(X0) �
rf(X0)
krf(X0)k
= krf(X0)k
lo que indica que la dirección del vector ~u determina la máxima derivada
direccional de f en X0.
Por lo tanto rf(X0) proporciona la dirección de mayor crecimiento
para la función f . La dirección contraria �rf(X0) corresponderá a la de
mayor disminución de la función. Esto explica que el �ujo de calor se pro-
duzca en la dirección de �rT (X), donde T es la función temperatura para
los distintos puntos de un cuerpo.
5.2 Derivadas de orden superior.-
Dada una función f : A! R de n variables, de�nida en el abierto A de Rn
y con derivadas parciales
@f
@xi
: A ! R se de�nen las derivadas parciales de
segundo orden en el punto X0 2 A por
@2f
@xj@xi
(X0) =
@
@xj
�
@f
@xi
�
(X0)
= lim
h!0
"
@f
@xi
(X0 + h � êj)� @f@xi (X0)
h
#
cuando el límite existe. Esta de�nición es para cada i; j 2 f1; 2; :::; ng (hay
n2 derivadas de segundo orden).
Las derivadas de segundo orden de f son la derivadas parciales (de primer
orden) de las funciones
@f
@xi
. En forma inductiva se de�nen las derivadas
parciales de tercer orden, cuarto orden, etc.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 17
Por ejemplo para la función f(x; y) = x2y3 + e2x sin 3y se tiene:
@f
@x
(x; y) = @
@x
(x2y3 + e2x sin 3y) = 2xy3 + 2e2x sin 3y:
@f
@y
(x; y) = @
@y
(x2y3 + e2x sin 3y) = 3x2y2 + 3e2x cos 3y
@2f
@x2
(x; y) = @
@x
(2xy3 + 2e2x sin 3y) = 2y3 + 4e2x sin 3y
@2f
@y@x
(x; y) = @
@y
(2xy3 + 2e2x sin 3y) = 6xy2 + 6e2x cos 3y
@2f
@x@y
(x; y) = @
@x
(3x2y2 + 3e2x cos 3y) = 6xy2 + 6e2x cos 3y
@2f
@y2
(x; y) = @
@y
(3x2y2 + 3e2x cos 3y) = 6x2y � 9e2x sin 3y
Se puede observar que las derivadas mixtas @
2f
@y@x
(x; y) y @
2f
@x@y
(x; y) coinci-
den (note que se obtienen de procesos distintos). Este resultado proviene de
una propiedad más general que se comenta a continuación.
Una función f es de clase C2 en el abierto A cuando todas las derivadas
parciales de segundo orden son continuas en A. Para funciones de clase C2
se veri�ca la igualdad
@2f
@xi@xj
(x; y) =
@2f
@xj@xi
(x; y)
5.3 Regla de la cadena.-
En el cálculo de una variable la regla de la cadena indica cómo calcular la
derivada de una compuesta de dos funciones derivables:
d
dx
[g(f(x))] = g0(f(x)) � f 0(x)
La derivada de g � f es el producto de la derivada de g y la derivada de f ,
calculadas en los puntos que se indica.
En el cálculo de varias variables se tiene
Teorema 34 Si F : A � Rn ! Rm es diferenciable en X0 y G : B �
Rm ! Rp es diferenciable en Y0 = F (X0), entonces la compuesta G � F es
diferenciable en X0 y
D(G � F )(X0) = DG(Y0) �DF (X0)
O sea, la diferencial de la compuesta es igual a la compuesta de las diferen-
ciales respectivas.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 18
Obs.- En el teorema se supone además que A y B son conjuntos abiertos
y que la composición está bien de�nida.
Según se vio en álgebra lineal, al representar aplicaciones lineales me-
diante matrices la composición de aplicaciones corresponde a la multipli-
cación de sus matrices. Por esto, la fórmula del teorema se expresa en tér-
minos de matrices jacobianas por
J(G � F )(X0) = JG(Y0) � JF (X0)
Recuerde que la matriz jacobiana está formada por las derivadas parciales
de la función. Luego, podemos concluir que las derivadas parciales de la G�F
están determinadas por las derivadas parciales de la F y de la G, según se
analiza a continuación:
Asociamos F (X ! F (X) = Y ) con las fórmulas que de�nen sus m
componentes
y1 = f1(x1; x2; :::; xn)
y2 = f2(x1; x2; :::; xn)
::::::::::::::
ym = fm(x1; x2; :::; xn)
Sus mn derivadas parciales son:
@fk
@xj
o
@yk
@xj
, lo que indica que las variables
yk dependen de las variables xj.
Asociamos G (Y ! G(Y ) = Z) con las fórmulas que de�nen sus p com-
ponentes
z1 = g1(y1; y2; :::; ym)
z2 = g2(y1; y2; :::; ym)
::::::::::::::
zp = gp(y1; y2; :::; ym)
Sus pm derivadas parciales son:
@gi
@yk
o
@zi
@yk
, lo que indica que las variables
zi dependen de las variables yk.
Ahora, si las variables zi dependen de las yk y las yk dependen de las xj,
al componer las dos aplicaciones las variables zi dependerán de las xj.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 19
El cálculo de las derivadas parciales
@zi
@xj
resulta de
0BB@
@z1
@x1
@z1
@x2
:::::: @z1
@xn
@z2
@x1
@z2
@x2
:::::: @z2
@xn
:::::: :::::: ::::::
@zp
@x1
@zp
@x2
:::::: @zp
@xn
1CCA =
0BBB@
@z1@y1
@z1
@y2
:::::: @z1
@ym
@z2
@y1
@z2
@y2
:::::: @z2
@ym
:::::: :::::: ::::::
@zp
@y1
@zp
@y2
:::::: @zp
@ym
1CCCA
0BBB@
@y1
@x1
@y1
@x2
:::::: @y1
@xn
@y2
@x1
@y2
@x2
:::::: @y2
@xn
:::::: :::::: ::::::
@ym
@x1
@ym
@x2
:::::: @ym
@xn
1CCCA
Así se tiene que:
@zi
@xj
=
@zi
@y1
@y1
@xj
+
@zi
@y2
@y2
@xj
+ :::+
@zi
@ym
@ym
@xj
=
mX
k=1
@zi
@yk
@yk
@xj
Con mayor precisión, cuando
@zi
@xj
está calculado (evaluado) en el punto X0,
@zi
@yk
se evalúa en Y0 = F (X0) y
@yk
@xj
se evalúa en X0:
Ejemplo 35 Cambio de coordenadas rectangulares a polares.-
La transformación es T : R2 ! R2; (r; �) 7! (r cos �; r sin �) = (x; y) Es
decir,
x = r cos �
y = r sin �
Para la función z = f(x; y), el cambio de coordenadas da z = f(r cos �; r sin �)
y las derivadas quedan
@z
@r
=
@z
@x
@x
@r
+
@z
@y
@y
@r
=
@z
@x
cos � +
@z
@y
sin �
@z
@�
=
@z
@x
@x
@�
+
@z
@y
@y
@�
= �@z
@x
r sin � +
@z
@y
r cos �
La regla se recuerda mediante el siguiente esquema z
@z
@x
% - @z
@y
x y
@x
@r
%- @x
@�
@y
@r
%- @y
@�
r � r �
Para calcular las derivadas de segundo orden, por ejemplo @
2z
@r2
, conviene
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 20
recordar que la fórmula para @z
@r
es
@z
@r
(r; �) =
@z
@x
(r cos �; r sin �) cos � +
@z
@y
(r cos �; r sin �) sin �
Luego,
@2z
@r2
=
�
@2z
@x2
@x
@r
+
@2z
@y@x
@y
@r
�
cos � +
�
@2z
@x@y
@x
@r
+
@2z
@y2
@y
@r
�
sin �
=
@2z
@x2
cos2 � +
@2z
@y2
sin2 � + 2
@2z
@y@x
sin � cos �
donde en la última igualdad se ha supuesto que @
2z
@y@x
= @
2z
@x@y
(consideramos
el caso que f es C2).
Queda de ejercicio calcular las otras tres derivadas de segundo orden.
Ejemplo 36 Para el caso w = f(x; y; z) diferenciable y la curva
~r(t) = (x(t); y(t); z(t)) derivable, se tiene la compuesta
w(t) = f(x(t); y(t); z(t)) con derivada
dw
dt
=
@f
@x
dx
dt
+
@f
@y
dy
dt
+
@f
@z
dz
dt
= rf � ~r 0
Ejemplo 37 Con z = f(u) derivable y u = g(x; t) diferenciable, la com-
puesta queda z = f(g(x; t)) y sus derivadas parciales son
@z
@x
=
df
du
@u
@x
= f 0
@u
@x
@z
@t
=
df
du
@u
@t
= f 0
@u
@y
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 21
5.4 Teorema de la función inversa.-
Desde el punto de vista (más básico) del álgebra, para que una función
tenga inversa ella debe ser biyectiva. Sin embargo sabemos que restringiendo
apropiadamente una función podemos conseguir que ella tenga inversa. Es
el caso de las funciones trigonométricas con las conocidas arcsin, arccos, etc.
El cálculo diferencial se preocupa de estudiar la diferenciabilidad (o deri-
vabilidad, según sea el caso) de esta inversa. Primero damos una versión
particular de este teorema para el cálculo en una variable.
Teorema 38 Sea f : I ! R; y x0 2 I tal que f 0(x0) 6= 0. Entonces existen
vecindades V de x0 y W de y0 = f(x0) tales que:
a) f : V ! W es biyectiva
b) la inversa f�1 : W ! V es derivable y
c) para todo y = f(x) 2 W : (f�1)0(y) = 1
f 0(x)
Por ejemplo, para f :
�
��
2
; �
2
�
! R; f(x) = sinx, se tiene:
f 0(x) = cosx 6= 0. Luego, (f�1)0(y) = 1
cosx
= 1p
1�sin2 x
= 1p
1�y2
;
dado que y = sinx, x = arcsin y.
Por lo tanto, d
dx
[arcsinx] = 1p
1�x2 ; 8x 2 ]�1; 1[ :
Teorema 39 (Caso general) Sea F : A! Rn; X ! F (X); de clase C1 en el
abierto A de Rn. Si JF (X0) =
�
@fi
@xj
(X0)
�
tiene inversa (esto es, jJF (X0)j 6=
0), entonces existen vecindades abiertas V de X0 y W de Y0 = F (X0) tales
que:
a) la restricción F : V ! W es biyectiva
b) la inversa F�1 : W ! V es de clase C1 (luego diferenciable) y
c) para todo Y 2 W : DF�1(Y ) = DF (X)�1. Lo que se traduce en
JF�1(Y ) = (JF (X))�1 :
Nótese que el teorema garantiza la existencia de una inversa local para
F , la cual es de clase C1:
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 22
Un ejemplo importante lo constituye la transformación de coordenadas
rectangulares a polares:
T : R2 ! R2; T (r; �) = (x; y), con
x = r cos �
y = r sin �
T es de clase C1 con
JT (r; �) =
�
cos � �r sin �
sin � r cos �
�
jJT (r; �)j =
���� cos � �r sin �sin � r cos �
���� = r
Luego, para (r0; �0) con r0 6= 0, T admite una inversa local en una vecindad
abierta V de (r0; �0) con
JT�1(x; y) =
1
r
�
r cos � r sin �
� sin � cos �
�
para todo (x; y) = T (r; �) 2 W = T (V ):
5.5 Teorema de la función implicita.-
Notación.- X = (x1; :::; xn) es un vector de Rn , Y = (y1; :::; ym) es un vector
de Rm y (X;Y ) = (x1; :::; xn; y1; :::ym) es un vector de Rn � Rm �= Rn+m:
Teorema 40 Sea F : Rn�Rm ! Rm; (X; Y ) 7�! F (X;Y ) = (F1(X; Y ); :::; Fm(X; Y )),
una función de n+m variables, de clase C r y sea P0 = (X0;Y0) un punto tal
que
i) F (X0; Y0) = �
ii)
@(F1; :::; Fm)
@(y1; :::; ym)
(P0) =
���������
@F1
@y1
(P0) ::::::::::
@F1
@ym
(P0)
:::: ::::
@Fm
@y1
(P0) ::::::::::
@Fm
@ym
(P0)
��������� 6= 0
Entonces existen:
una vecindad abierta M de (X0; Y0) (en Rn+m)
una vecindad abierta N de X0 (en Rn)
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 23
y una única función G : N ! Rm; X 7! G(X); de clase C r; tal que:
8 X 2 N : (X;G(X)) 2M
(X; Y ) 2M ^ F (X; Y ) = � , X 2 N ^ Y = G(X) (8)
(en particular Y0 = G(X0)) y 8 X 2 N :
DG(X) = �
�
@F
@Y
(X;G(X))
��1
�
�
@F
@X
(X;G(X))
�
(9)
Observaciones.-
1.- La ecuación F (X; Y ) = � corresponde al sistema de m ecuaciones y n+m
incognitas
F1(x1; :::; xn; y1; :::; ym) = 0
F2(x1; :::; xn; y1; :::; ym) = 0
Fm(x1; :::; xn; y1; :::; ym) = 0
y el Teorema da condiciones para que este sistema se pueda resolver de ma-
nera única para las incognitas y1; :::; ym en términos de las incognitas (va-
riables) x1; :::; xn, en una vecindad del punto (X0; Y0), conforme indica 8:
2.- El resultado para la diferencial de G expresado en 9 se puede llevar a
matrices jacobianas como
JG(X) = �
�
@(F1; :::; Fm)
@(y1; :::; ym)
(X;G(X))
��1
�
�
@(F1; :::; Fm)
@(x1; :::; xn)
(X;G(X))
�
3.- Como caso particular, cuando n = m = 1, se tiene como hipótesis
f : R� R! R; (x; y) 7! f(x; y) de clase C r
y (x0; y0) tal que f(x0; y0) = 0 ^
@f
@y
(x0; y0) 6= 0
El Teorema garantiza entonces que existen vecindad abierta deM de (x0; y0)
y vecindad abierta N de x0 y única función de clase C r g : N ! R tal que
8x 2 N : (x; g(x)) 2M
(x; y) 2 M ^ f(x; y) = 0, x 2 N ^ y = g(x)
8x 2 N : g0(x) = �
@f
@x
(x; g(x))
@f
@y
(x; g(x))
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 24
6 Máximos y mínimos.
6.1 Máximos y mínimos relativos.
El término relativo corresponde al concepto local, esto es un extremo en
relación sólo a los puntos vecinos de él.
De�nición 41 Sean f : A � Rn ! R de�nida en un abierto A y X0 un
punto de A: Se dice que X0 es un punto de máximo relativo cuando
9r > 0 tal que 8X 2 B(X0; r) : f(X) � f(X0)
Para la de�nición de mínimo relativo se reemplaza � por �.
Si la f diferenciable tiene un máximo relativo en X0; entonces al darse
un vector unitario ~v en Rn y de�nir '(t) = f(X0 + t � ~v) se tiene claramente
que ' alcanza un máximo relativo en t = 0 y luego
'0(0) = lim
h!0
'(h)� '(0)
h
= lim
h!0
f(X0 + h � ~v)� f(X0)
h
= 0
Esto indica que todas las derivadas direccionales de f en X0 son nulas (en
particular las derivadas parciales), o sea Df(X0) = �
De�nición 42 Sean f : A � Rn ! R de�nida en un abierto A y X0 un
punto de A: Se dice que X0 es un punto crítico de f cuando
f no es diferenciable en X0; o bien Df(X0) = �
Para f diferenciable , X0 es punto crítico cuando todas las derivadas
parciales se anulan en el punto. En este caso los puntos críticos son las
soluciones del sistema de n ecuaciones y n incognitas:
@f
@x1
(x1; x2; :::; xn) = 0
@f
@x2
(x1; x2; :::; xn) = 0
::::::::::::::::
@f
@xn
(x1; x2; :::; xn) = 0
De acuerdo al razonamiento anterior se tiene:
Teorema 43 X0 extremo relativo de f ) X0 punto crítico.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 25
Los ejemplos, f(x; y) = x2 + y2, g(x; y) = �x2 � y2 y h(x; y) = y2 � x2
muestran que un punto crítico puede ser mínimo relativo o máximo relativo,
o incluso, no ser máximo ni mínimo. En el último caso el punto se denomina
puntode silla.
Nos interesa pues un criterio que permita decidir cual es la naturaleza de
un punto crítico encontrado.
Cuando las derivadas parciales segundas
@2f
@xi@xj
son todas continuas ( f
es de clase C2), la diferencial segunda de f en X0 es la forma cuadrática
D2f(X0)(H) =
nX
i;j=1
aijhihj , con aij =
@2f
@xi@xj
(X0)
Note que aij = aji, de acuerdo al Teorema de Schwarz.
Según el Teorema de Taylor en varias variables, en una vecindad de X0
se puede escribir
f(X0 +H) = f(X0) +Df(X0)(H) +
1
2!
D2f(X0)(H) +R2(H)
con lim
H!�
R2(H)
kHk2
= 0: (*).
En un punto crítico, Df(X0)(H) = 0; 8H 2 Rn; así que
f(X0 +H) = f(X0) +
1
2!
D2f(X0)(H) +R2(H)
En vista de (*), en una vecindad deX0 (o sea para todoH con kHk pequeña):
f(X0 +H)� f(X0) � 0, D2f(X0)(H) � 0
f(X0 +H)� f(X0) � 0, D2f(X0)(H) � 0
Observe que las condiciones del lado izquierdo en las equivalencias indican
que X0 es un extremo relativo. Las condiciones del lado derecho se estudian
para formas cuadráticas en el contexto del algebra lineal.
6.1.1 Formas cuadráticas.
Una forma cuadrática es una aplicación q : Rn ! R , de las forma
q(X) =
nX
i;j=1
aijxixj ; con aij = aji
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 26
La matriz A =
0@ a11 :::::: a1n::::
an1 :::::: ann
1A , simétrica de orden n� n, representa a
q en el sentido que q(X) = XTAX, es decir
q(x1; ::::; xn) = (x1:::::xn)
0@ a11 :::::: a1n::::
an1 :::::: ann
1A0@ x1
xn
1A
De�nición 44 Para una forma cuadrática q se dice:
q es de�nida positiva, q(X) � 0; 8X 6= �
q es de�nida negativa, q(X) � 0; 8X 6= �
q es no de�nida,Existen X1; X2 tales que q(X1) < 0 < q(X2):
En vista que la matriz A que representa a la forma cuadrática es simétrica,
se tiene que todos sus valores propios son reales.y se puede probar que:
a) todos los valores propios de A son positivos) q de�nida positiva.
b) todos los valores propios de A son negativos) q de�nida negativa
c) si la matriz posee al menos un valor propio positivo y un valor propio
negativo, entonces la forma cuadrática es no de�nida.
El criterio que permite determinar de que tipo es una forma cuadrática
considera el cálculo de los siguientes n determinates obtenidos a partir de la
matriz A : �1 = a11; �2 =
���� a11 a12a21 a22
���� ; :::; �n = jAj
Teorema 45 Para cada k entre 1 y n sea �k el determinante de orden k
formado por las primeras k �las y k columnas de la matriz A. Si se tiene
�n = jAj 6= 0 , entonces:
a) 8k : �k > 0) q es de�nida positiva.
b) 8k : (�1)k�k > 0) q es de�nida negativa.
c) en todo otro caso q es no de�nida.
Caso de dos variables.-
Para f : A � R2 ! R; (x; y) 7! f(x; y) de clase C2 en el abierto A: Sea
(x0; y0) un punto crítico, esto es, un punto tal que
fx(x0; y0) = fy(x0; y0) = 0 y sea
� = �(x0; y0) =
���� fxx(x0; y0) fxy(x0; y0)fyx(x0; y0) fyy(x0; y0)
���� = fxx(x0; y0)fyy(x0; y0)�fxy(x0; y0)2
se tiene entonces:
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 27
a) fxx(x0; y0) > 0 ^ � > 0) (x0; y0) es un mínimo relativo.
b) fxx(x0; y0) < 0 ^ � > 0) (x0; y0) es un máximo relativo.
c) � < 0) (x0; y0) es un punto de silla.
d) Para � = 0, el criterio no da información.
Caso de tres variables.-
Para f : A � R3 ! R; (x; y; z) 7! f(x; y; z) de clase C2 en el abierto A:
Sea (x0; y0; z0) un punto crítico, esto es, un punto tal que
fx(x0; y0; z0) = fy(x0; y0; z0) = fz(x0; y0; z0) = 0 y sea
�3 = �3(x0; y0; z0) =
������
fxx(x0; y0; z0) fxy(x0; y0; z0) fxz(x0; y0; z0)
fyx(x0; y0; z0) fyy(x0; y0; z0) fyz(x0; y0; z0)
fzx(x0; y0; z0) fzy(x0; y0; z0) fzz(x0; y0; z0)
������ 6= 0
se tiene entonces:
a) fxx > 0; �2 > 0; �3 > 0) (x0; y0; z0) es un mínimo relativo.
b) fxx < 0; �2 > 0; �3 < 0) (x0; y0; z0) es un máximo relativo.
c) en otro caso el punto es silla.
6.2 Extremos relativos condicionados (multiplicadores
de Lagrange).
Según el teorema de la función implícita, la ecuación g(x; y) = 0, con g de
clase C1, determina una curva C en el plano xy que admite recta tangente
en todo punto para el cual rg(x; y) 6= �. Además en dichos puntos, rg(x; y)
es perpendicular a la curva C.
El problema a resolver es encontrar los extremos relativos de la función
f(x; y) sobre puntos de la curva C; el cual se escribe
Maximizar (o minimizar) f(x; y)
sujeto a g(x; y) = 0
Ejemplo 46 Encontrar los extremos relativos de f(x; y) = y � x2 sujeto a
x2 + y2 = 1:
Geométricamente, las curvas de nivel de f son parábolas de ecuación
f(x; y) = y � x2 = c, con c constante real.
El siguiente grá�co muestra la circunferencia unitaria x2 + y2 = 1, junto
con las curvas de nivel de f , para c = �5
4
;�1;�1
2
; 0; 1
2
; 1 (en el mismo orden
de abajo hacia arriba). Se ve que una curva de nivel para c > 1 no corta la
circunferencia, como también para c < �5
4
:
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 28
El análisis geométrico muestra que los puntos extremos relativos se producen
cuando hay tangencia entre la circunferencia y alguna curva de nivel. Si
consideramos los vectores gradientes a las curvas, que son perpendiculares a
éstas, ellos serán paralelos en dichos puntos extremos.
Así rf(x; y) = � � rg(x; y) en los puntos extremos relativos. El método
de multiplicadores de Lagrange establece que los puntos extremos relativos
se encuentran en las soluciones del sistema
rf(x; y) = � � rg(x; y)
g(x; y) = 0
Este es un sistema de 3 ecuaciones y 3 incognitas: x; y; �: Para nuestro
ejemplo
�2x = �2x
1 = �2y
x2 + y2 = 1
La primera ecuación da x(�+ 1) = 0, lo que implica dos posibilidades:
a) x = 0 : y así y = 1; � = 1
2
o también y = �1; � = �1
2
b) � = �1 : y así y = �1
2
; x =
p
3
2
o también y = �1
2
; x = �
p
3
2
Tenemos 4 soluciones que conducen a los 4 extremos relativos: (0; 1) y
(0;�1) máximos relativos, y (
p
3
2
; �1
2
) y (�
p
3
2
; �1
2
) mínimos relativos.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 29
Teorema 47 Sean f : A � R2 ! R y g : A � R2 ! R de clase C1: Si
(x0; y0) 2 A es tal que g(x0; y0) = 0 y rg(x0; y0) 6= � entonces para que f
alcance un extremo relativo en (x0; y0) es necesario que 9� 2 R (multiplicador
de Lagrange) tal que rf(x0; y0) = � � rg(x0; y0):
En el caso de una f de 3 variables (x; y; z) ! f(x; y; z), una condición
(restricción) del tipo g(x; y; z) = 0, con g de clase C1, determina una super�cie
en R3: Para ésta, si en un punto rg(x; y; z) 6= �; entonces rg(x; y; z) es un
vector perpendicular a la super�cie (o sea perpendicular al plano tangente a
la super�cie).
Si se agrega una segunda condición h(x; y; z) = 0, del mismo tipo, tenemos
dos super�cies cuya intersección (casi siempre) es una curva en R3: Si en
un punto (x0;y0; z0) de esta curva los gradientes de g y h son linealmente
independientes (no son paralelos), entonces la curva posee una recta tangente
perpendicular al plano generado por los gradientes.
El método de multiplicadores de Lagrange indica que:
a) la función f(x; y; z) de clase C1, posee extremos relativos en los puntos de
la super�cie g(x; y; z) = 0 donde rf(x; y; z) = � � rg(x; y; z):
b) la función f(x; y; z) de clase C1, posee extremos relativos en los puntos de
la curva g(x; y; z) = 0; h(x; y; z) = 0 donde
rf(x; y; z) = � � rg(x; y; z) + � � rh(x; y; z):