hpalma- INTEGRAL LINEA SUPERFICIE

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Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1
1 Curvas en Rn.
Definición 1 Una curva en Rn es una función ~r : [a, b] → Rn, t 7→ ~r(t)
(función de variable real t y a valores vectoriales).
La curva está determinada por sus n funciones componentes en la forma
~r(t) = (r1(t), ..., rn(t)). Cuando n = 2 y n = 3, la curva se representa por:½
x = x(t)
y = y(t)
, para curvas en el plano x = x(t)y = y(t)
z = z(t)
, para curvas en el espacio.
Una curva en R3 se representa también en la forma
~r(t) = x(t) · ı̂ + y(t) · ̂ + z(t) · k̂, con a ≤ t ≤ b. Si consideramos la imagen
C (el recorrido) de esta función, ella es un conjunto de puntos en R3 que
geométricamente constituyen una curva. Además ella se puede orientar a
partir de la orientación de los números reales en el intervalo [a, b] . Física-
mente, la curva C puede representar la trayectoria recorrida por un punto
en el espacio, durante el intervalo de tiempo que va de t = a hasta t = b,
teniendo un punto inicial ~r(a) y un punto terminal ~r(b).
Desde un punto de vista más geométrico o físico, la curva es el conjunto
de puntos C, orientado, y ~r es una parametrización de la curva.
Por ejemplo, la función ~r(t) = cos t · ı̂+ sin t · ̂+ t · k̂, con 0 ≤ t ≤ 13; es
una parametrización de la espiral mostrada abajo.
1 0.5
0 -0.5
-1
10.5
0-0.5
-1
12.5
10
7.5
5
2.5
0
x y
z
x y
z
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Note que por conveniencia el eje z tiene una escala diferente de los ejes
x e y. (el resorte es más estirado que lo que se muestra). Observe también
que las dos primeras componentes de la curva (parametrización) satisfacen
la relación x(t)2 + y(t)2 = 1, lo que muestra que la espiral está en el cilindro
x2 + y2 = 1.
El concepto de límite para una función como la ~r establece que:
Definición 2 Para ~r(t) = x(t) · ı̂+ y(t) · ̂+ z(t) · k̂ , t0 ∈ (a, b) y
~r0 = x0 · ı̂+ y0 · ̂+ z0 · k̂ vector fijo, se tiene:
lim
t→t0
~r(t) = ~r0 si, y sólo si,
dado ε > 0, ∃δ > 0 tal que, ∀t : 0 < |t− t0| < δ ⇒ k~r(t)− ~r0k < ε
Las desigualdades: |xi| ≤ k(x1, x2, ..., xn)k ∀i, para la norma en Rn,
permiten probar que:
lim
t→t0
~r(t) = ~r0 ⇔ lim
t→t0
x(t) = x0, lim
t→t0
y(t) = y0, lim
t→t0
z(t) = z0,
Del concepto de límite se obtiene la noción de continuidad:
Definición 3 La curva ~r(t) = x(t) · ı̂ + y(t) · ̂ + z(t) · k̂ es continua en t0
cuando
lim
t→t0
~r(t) = ~r(t0)
Es claro entonces que: ~r(t) = x(t) · ı̂+ y(t) · ̂+ z(t) · k̂ es continua en t0
cuando las funciones componentes son continuas en dicho punto. En términos
geométricos, que la parametrización sea una función continua significa que
C es una curva que no se corta (continua).
La espiral del ejemplo anterior es una curva continua, porque sabemos
que las funciones x(t) = cos t, y(t) = sin t y z(t) = t son todas funciones
continuas.
Otro concepto importante para una curva es el de derivada:
Definición 4 La curva ~r(t) = x(t) · ı̂ + y(t) · ̂ + z(t) · k̂ es derivable en t0
cuando existe el límite
lim
t→t0
~r(t)− ~r(t0)
t− t0 = ~r
0(t0)
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Geométricamente, el vector r0(t0) es un vector tangente a la curva C en el
punto r(t0). Cuando la curva C representa el movimiento de un punto en el
espacio, la derivada r0(t0) = v(t0) es la velocidad instantánea en el instante
t0. También podemos considerar la segunda derivada r00(t0) para obtener la
aceleración en t0.
Cuando r0(t0) 6= θ (no es el vector nulo), el vector T (t0) = r
0(t0)
kr0(t0)k es
tangente y unitario.
Definición 5 Se dice que la curva ~r(t) = x(t) · ı̂+ y(t) · ̂+ z(t) · k̂ definida
para t ∈ (a, b) es suave cuando la función es de clase C1 (su derivada es
continua) y r0(t) 6= θ, ∀t ∈ (a, b).
Cuando la curva es suave, admite en cada uno de sus puntos un vector
tangente unitario.
Se dice que la curva es seccionalmente suave (o suave por tramos) en (a, b)
cuando la condición de ser de clase C 1 y r0(t) 6= θ falla sólo en un número
finito de puntos. Por ejemplo, la curva de ecuación cartesiana x2/3+y2/3 = 1,
que tiene parametrización x(t) = cos3 t, y(t) = sin3 t; es seccionalmente
suave. Es posible considerarla como una curva formada por cuatro secciones
suaves (una en cada cuadrante)
x2/3 + y2/3 = 1 :
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0.5 1
Es posible que una curva C admita más de una parametrización según se
precisa:
Definición 6 Se dice que r1 : [a, b]→ Rn y r2 : [c, d]→ Rn son parametriza-
ciones de la misma curva C cuando existe una biyección ϕ : [a, b]→ [c, d] de
clase C1 y creciente tal que ∀t ∈ [a, b] : r1(t) = r2(ϕ(t)).
Geométricamente, las dos funciones (parametrizaciones) ”recorren” la
misma curva C. La diferencia está en que r01(t) = ϕ
0(t) · r02(ϕ(t)).
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Se dice también que r2 es una reparametrización de r1, o al revés.
Un ejemplo simple: r1 (t) = cos t · ı̂ + sin t · ̂, 0 ≤ t ≤ 2π , y r2 (t) =
cos 2t · ı̂ + sin 2t · ̂, 0 ≤ t ≤ π son parametrizaciones de la misma curva
C,circunferencia unitaria recorrida una vez en sentido antihorario.
Otra propiedades importantes para curvas son:
a) la curva r : [a, b]→ Rn es simple cuando es inyectiva en el intervalo [a, b).
O sea, la curva no se corta a si misma.
b) la curva r : [a, b]→ Rn es cerrada cuando r(a) = r(b).
c) una curva simple y cerrada se denomina curva de Jordan.
d) dada una curva C parametrizada por r : [a, b]→ Rn, la función
r− : [0, 1] → Rn, r−(t) = r(b + (a − b)t) parametriza una curva que recor-
riendo el mismo conjunto C tiene punto inicial r(b) y punto terminal r(a).
Se denomina curva opuesta a C y se denota C−.
Definición 7 Dada una curva C parametrizada por r : [a, b]→ Rn de clase
C1, su longitud se define por
l(C) =
Z b
a
kr0(t)k dt
Es importante notar que esta definición no depende de la parametrización
dada a la curva C. En efecto, si r1 y r2 son dos parametrizaciones como en
la definición anterior, entonces el teorema del cambio de variable indica queZ b
a
kr01(t)k dt =
Z d
c
kr02(t)k dt
Para una curva en R3, ~r(t) = x(t) · ı̂+ y(t) · ̂+ z(t) · k̂, su longitud está
dada por
l(C) =
Z b
a
p
x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2dt
Ejemplo 8 Calcule la longitud de la espiral C con parametrización
~r(t) = cos t · ı̂+ sin t · ̂+ t · k̂, con 0 ≤ t ≤ 4π
Aquí, x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t y luego x0(t) = − sin t,
y0(t) = cos t, z0(t) = 1 y
l(C) =
Z 4π
0
p
(− sin t)2 + (cos t)2 + 1dt = 4π
√
2
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2 Integrales de línea.
Se definirán los conceptos de integral de línea para dos tipos de funciones
a) Campos escalares: que son funciones f : Rn → R, de varias variables y
con valores en R. En términos físicos, un campo escalar puede determinar la
temperatura de cada punto de una región del espacio.
b)Campos vectoriales: que son funciones F : Rn → Rn, de varias variables
y con valores vectoriales. Considere un campo de fuerzas, como por ejemplo
un campo gravitacional.
Definición 9 Sea C una curva parametrizada por ~r : [a, b]→ Rn de clase C1
y f : A ⊂ Rn → R un campo escalar continuo en un abierto A que contiene
a la curva C. La integral de f al lo largo de C esZ
C
f ds =
Z b
a
f(~r(t)) k~r0(t)k dt
Definición 10 Sea C una curva parametrizada por ~r : [a, b] → Rn de clase
C1 y ~F : A ⊂ Rn → Rn un campo vectorial continuo en un abierto A que
contiene a la curva C. La integral de F al lo largo de C esZ
C
~F · d~r =
Z b
a
~F (~r(t)) · ~r0(t) dt
Estas definiciones no dependen de la parametrización elegida para la curva
C.
2.1 Ejemplos para campos escalares.
En R3, ~r (t) = x (t) · ı̂+ y (t) · ̂+ z (t) · k̂ para a ≤ t ≤ b yZ
C
f ds =
Z b
a
f (x (t) , y (t) , z (t))
q
x0 (t)2 + y0 (t)2 + z0 (t)2dt
En el caso particular que f (x, y, z) = 1, se tieneZ
C
1 ds =
Z b
a
kr0 (t)k dt = l (C)
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Ejemplo 11 Si la imagen C de ~r : [a, b] → R3 representa un alambre con
densidad de masa dada por la función f (x, y, z) entonces
M =
Z
C
f ds es la masa total del alambre.
y el centro de masaes el punto (x̄, ȳ, z̄) con
x̄ =
1
M
Z
C
xf (x, y, z) ds , ȳ =
1
M
Z
C
yf (x, y, z) ds , z̄ =
1
M
Z
C
zf (x, y, z) ds
Ejercicio.- Un alambre está situado en el semicírculo superior x2 + y2 =
a2, y ≥ 0. Si la densidad de masa está dada por f (x, y) = y, encuentre el
centro de masa.
Una parametrización para el alambre es ~r (t) = a cos t · ı̂ + a sin t · ̂ con
0 ≤ t ≤ π , luego ~r0 (t) = −a sin t · ı̂ + a cos t · ̂ y k~r0 (t)k = a. De aquí, la
masa del alambre está dada por
M =
Z
C
y ds =
Z π
0
a2 sin tdt
= 2a2
y las coordenadas del centro de masa son
x̄ =
1
M
Z
C
xy ds =
1
2a2
Z π
0
a3 sin t cos tdt = 0
ȳ =
1
M
Z
C
y2 ds =
1
2a2
Z π
0
a3 sin2 tdt =
1
4
πa
Ejemplo 12 Si ~r : [a, b] → R2 es una curva C en el plano xy y f (x, y)
es campo escalar con f (x, y) ≥ 0, entonces R
C
f ds tiene interpretación
geométrica natural como el área de una “valla” que tiene la imagen C de ~r
como base y altura f (x, y) en cada punto (x, y)de C.
Ejercicio.- Encuentre el área de una pared con base en la curva de ecuación
x2+4y2 = 4, que se encuentra en el primer cuadrante y cuya altura en (x, y)
es f (x, y) = xy.
Indicación.- Considere la parametrización ~r (t) = 2 cos t · ı̂ + sin t · ̂ con
0 ≤ t ≤ π
2
.
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2.2 Ejemplos para campos vectoriales.
En R3, ~r (t) = x (t) · ı̂ + y (t) · ̂ + z (t) · k̂ para a ≤ t ≤ b y ~F (x, y, z) =
F1 (x, y, z) · ı̂+ F2 (x, y, z) · ̂+ F3 (x, y, z) · k̂Z
C
~F · d~r =
Z b
a
~F (x (t) , y (t) , z (t)) · ~r0 (t) dt
=
Z b
a
[F1 (x, y, z)x
0 (t) + F2 (x, y, z) y0 (t) + F3 (x, y, z) z0 (t)] dt
En vista de la última fórmula, también se escribeZ
C
~F · d~r =
Z
C
F1dx+ F2dy + F3dz
Ejemplo 13 Cuando un objeto se mueve en el espacio, a lo largo de una
trayectoria C bajo la acción de un campo de fuerzas ~F , el trabajo realizado
está dado por
W =
Z
C
~F · ds
Un campo de fuerzas está definido por
~F (x, y, z) =
¡
x+ y2
¢ · ı̂+ (x+ z) · ̂+ xy · k̂
calcule el trabajo realizado por ~F al mover una partícula desde el origen al
punto (1,−1, 1) a lo largo de:
a) el segmento de recta que une dichos puntos.
b) la curva parametrizada por ~r (t) = t · ı̂− t2 · ̂+ t3 · k̂, 0 ≤ t ≤ 1.
Teorema 14 Sean f : R3 → R de clase C1 y ~r : [a, b]→ R3 de clase C1. Se
tiene entonces Z
C
∇f · ds = f (~r (b))− f (~r (a))
Proof. Aplicar T.F.C. a F (t) = f (~r (t)) para la cual
F 0 (t) = ∇f (~r (t)) · ~r0 (t)
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En el caso que C sea una curva cerrada, esto es ~r (a) = ~r (b) , se tiene queI
C
∇f · ds = 0
Al tener un campo de vectores ~F para el cual existe un campo escalar f
tal que
~F = ∇f
se dice que F es un campo gradiente y que f es el potencial del campo
vectorial F.
El teorema anterior indica que la integral de línea de un campo gradiente
sólo depende de los puntos extremos de la curva (~r (a) y ~r (b)) y no de la
trayectoria recorrida. Además, en el caso de una curva cerrada la integral es
nula.
Esta característica de un campo vectorial define a los llamados campos
conservativos.
Ejemplo 15 Calcule la integral
R
C
yzdx+xzdy+xydz donde C es la curva
parametrizada por ~r (t) =
√
t4 + 1 · ı̂+ esin π2 t · ̂− (t5 + 2) · k̂ , 0 ≤ t ≤ 1.
2.3 Teorema de Green en el plano.
Teorema 16 Sea C una curva en el plano, simple y cerrada con orientación
positiva, y D la región interior a C. Si F (x, y) = P (x, y) · ı̂+Q (x, y) · ̂ es
de clase C1 en un abierto que contiene a D, entoncesI
C
Pdx+Qdy =
Z Z
D
·
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
¸
d (x, y)
Ejercicio 17 Sea F (x, y) =
−y
x2 + y2
· ı̂+ x
x2 + y2
· ̂.
a) Muestre que
H
C
−y
x2+y2
dx + x
x2+y2
dy = 0 para cualquier curva C simple
y cerrada C que no encierre el origen.
b) Mediante una parametrización de Ca : x2 + y2 = a2 calcule
H
Ca
F · ds.
Teorema 18 (segunda versión del teorema de Green) Sean C una curva en
el plano, simple y cerrada con orientación positiva, C1 una curva simple y
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cerrada con orientación negativa, con C1 en el interior de C y D la región
interior a C y exterior a C1. Si F (x, y) = P (x, y) · ı̂+Q (x, y) · ̂ es de clase
C1 en un abierto que contiene a D, entoncesI
C
Pdx+Qdy +
I
C1
Pdx+Qdy =
Z Z
D
·
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
¸
d (x, y)
Ejercicio 19 Para el mismo campo vectorial del ejercicio anterior, F (x, y) =
−y
x2 + y2
·ı̂+ x
x2 + y2
·̂ , calcule la integral H
C
F ·d~r, donde C es una trayectoria
suave, simple y cerrada, que da una vuelta alrededor del origen.
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3 Superficies en R3.
En el primer capítulo estudiamos superficies en R3 que eran la gráfica de una
función diferenciable z = f (x, y), con (x, y) ∈ D: dominio de la función f .
Se dice en este caso que la superficie está definida en forma explícita.
Por ejemplo, el paraboloide z = x2 + y2.
También estudiamos superficies definidas en forma implícita por ecua-
ciones del tipo
f (x, y, z) = 0
donde f es una función de clase C1 (recordar teorema de la función implícita).
Por ejemplo, la esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Geometricamente, estas superficies son objetos de dimensión 2 sumergidos
en el espacio 3d, en analogía a las curvas que son objetos unidimensionales
también sumergidos en el espacio 3d.
El caracter unidimensional de las curvas queda reflejado en el hecho que
ellas se pueden describir en forma paramétrica mediante un parámetro.
De la misma forma, las superficies se podrán describir mediante dos
parámetros tal como se indica en la siguiente definición.
Definición 20 Una superficie en R3 es una función de clase C1 Φ : D ⊂
R2 → R3, (u, v) 7→ Φ (u, v), con respecto a la cual se considera su imagen
S = Φ (D) como un subconjunto de R3.
En términos más geométricos, la superficie S es el subconjunto S = Φ (D)
y la aplicación Φ se denomina una parametrización de la superficie.
Esta función queda definida por sus tres funciones componentes
x = x (u, v)
y = y (u, v) , con (u, v) ∈ D
z = z (u, v)
las que constituyen las ecuaciones paramétricas de S.
De la parametrización se obtienen los vectores
Tu (u0, v0) =
∂x
∂u
(u0, v0) · ı̂+ ∂y
∂u
(u0, v0) · ̂+ ∂z
∂u
(u0, v0) · k̂
Tv (u0, v0) =
∂x
∂v
(u0, v0) · ı̂+ ∂y
∂v
(u0, v0) · ̂+ ∂z
∂v
(u0, v0) · k̂
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que son tangentes a la superficie en el punto T (u0, v0) .
Cuando estos vectores son no nulos y linealmente independientes, ellos
definen el plano tangente a la superficie en dicho punto y el vector
n (u0, v0) = Tu (u0, v0)× Tv (u0, v0)
es perpendicular a este plano, es decir es perpendicular a la superficie.
Ejemplo 21 Caso en que S es el gráfico de una función f de clase C1
S : z = f (x, y) , con (x, y) ∈ D.
Ejemplo 22 S : x2 + y2 = 1
Ejemplo 23 S : x2 + y2 + z2 = a2
De las coordenadas esféricas se obtiene una parametrización para la esfera
de radio a
x = a sinφ cos θ
y = a sinφ sin θ
z = a cosφ
con 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π. Con esta parametrización
Tφ (φ, θ) = a cosφ cos θ · ı̂+ a cosφ sin θ · ̂− a sinφ · k̂
Tθ (φ, θ) = −a sinφ sin θ · ı̂+ a sinφ cos θ · ̂+ 0 · k̂
(Tφ × Tθ) (φ, θ)
= [a cosφ cos θ, a cosφ sin θ,−a sinφ]× [−a sinφ sin θ, a sinφ cos θ, 0]
=
£
a2 sin2 φ cos θ, a2 sin2 φ sin θ, a2 cosφ cos2 θ sinφ+ a2 cosφ sin2 θ sinφ
¤
= a2 sinφ [sinφ cos θ, sinφ sin θ, cosφ] .
Definición 24 Una superficie S parametrizada por Φ de clase C1 se dirá
suave cuando ∀ (u, v) ∈ D : ~n (u, v) = Tu × Tv 6= θ (vector nulo)
Para una superficie S suave parametrizada por Φ : D → R3 de clase C1,
de manera que Φ es inyectiva, salvo en un conjunto de medida cero; su área
está dada por
A (S) =
Z Z
D
kTu (u, v)× Tv (u, v)k d (u, v)
=
Z Z
D
kTu × Tvk d (u, v)
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Por ejemplo, para la esfera anterior, kTφ × Tθk = a2 sinφ y luego
A (S) =
Z π
0
Z 2π
0
a2 sinφdθdφ
= 4πa2
4 Integrales de superficie
Al igual que para las integrales de línea, se definen las integrales de superficie
para campos escalares y para campos vectoriales.
En las dos definicionesposteriores S es una superficie suave parametrizada
por Φ : D ⊂ R2 → R3, (u, v) 7→ Φ (u, v) de clase C1.
Definición 25 Para un campo escalar f continuo en un abierto que contiene
a S Z Z
S
f dS =
Z Z
D
f (Φ (u, v)) kTu × Tvk d (u, v)
• Para el caso particular que el campo escalar es constante e igual a 1
resulta Z Z
S
1 dS =
Z Z
D
kTu × Tvk d (u, v)
= A (S)
• Si S representa una placa de cierto material con densidad de masa en
cada punto (x, y, z) dada por f (x, y, z), entonces
R R
S
f dS es la masa
total de la placa.
Si además d (x, y, z) denota la distancia de cada (x, y, z) ∈ S a una
recta fija L, entonces la integralZ Z
S
d (x, y, z)2 f (x, y, z) dS
representa el momento de inercia del material con respecto a la recta
L.
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Ejercicio 26 Una esfera de radio a y centro el origen tiene densidad de
masa igual a 1 (en c/u de sus puntos). Encuentre al momento de inercia
con respecto a un diámetro (considere L : eje z).
Para la definición de integral de un campo vectorial se requiere agregar
una cierta característica o propiedad a la superficie. Esta es el concepto de
orientabilidad.
Definición 27 La superficie suave S es orientable cuando existe un campo
de vectores unitarios normales a la superficie, n (u, v) , que sea continuo.
En términos intuitivos, una superficie es orientable cuando tiene dos caras,
como por ejemplo una esfera y un cilindro. Es no orientable, cuando sólo tiene
una cara, como por ejemplo la cinta de Mobius y la botella de Klein
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Para una superficie suave y orientable, un campo de vectores unitarios y
normales ~n a la superficie determina una orientación para la superficie.
Definición 28 Dado un campo de vectores ~F continuo sobre la superficie S
orientada por ~n, la integral de ~F sobre la superficie S esZ Z
S
~F ≡
Z Z
S
~F · ~n dS =
Z Z
D
~F (Φ (u, v)) · (Tu × Tv) d (u, v)
Ejemplo 29 Sea S la porción del plano x+ y+ z = 1 que está en el primer
octante, orientada según el vector que apunta hacia arriba, y ~F (x, y, z) =
x · ı̂+ y2 · ̂+ z · k̂. Calcule R R
S
~F · ~n dS.
Ejemplo 30 Sea S la superficie suave por secciones con seciones suaves
S1 = {(x, y, z) : z = 1− x2 − y2 ∧ z ≥ 0}
S2 = {(x, y, z) : x2 + y2 = 1 ∧ −1 ≤ z ≤ 0}
S3 = {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ 1 ∧ z = −1}
con orientación exterior. Calcule
R R
S
~F · ~n dS , donde
~F (x, y, z) = x · ı̂+ y · ̂+ z · k̂
4.1 Divergencia y rotacional de un campo vectorial
Definición 31 Sea ~F : R3 → R3 diferenciable con ~F = (F1, F2, F3). El
rotacional o rotor de ~F es rotF : R3 → R3,
rotF (x, y, z) =
³
∂F3
∂y
− ∂F2
∂z
, ∂F1
∂z
− ∂F3
∂x
, ∂F2
∂x
− ∂F1
∂y
´
.
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Considerando el operador ∇ =
³
∂
∂x
, ∂
∂y
, ∂
∂z
´
se puede escribir
rotF ≡ ∇× F =
¯̄̄̄
¯̄ ı̂ ̂ k̂∂∂x ∂∂y ∂∂z
F1 F2 F3
¯̄̄̄
¯̄
Tarea.- Si f : R3 → R es de clase C2, entonces
∇×∇f = θ
O sea, el rotor de un gradiente es el campo vectorial nulo.
Se dice que ~F es irrotacional cuando ∇× ~F = θ.
Definición 32 Sea ~F = (F1, F2, F3) un campo vectorial diferenciable. La
divergencia de ~F es divF : R3 → R
divF (x, y, z) =
∂F1
∂x
+
∂F2
∂y
+
∂F3
∂z
Notación.- ∇ · ~F = div ~F
Tarea.- Si F : R3 → R3 es de clase C2, entonces
∇ ·∇× F = 0
O sea, la divergencia de un rotor es el campo escalar nulo.
Remark 33 De lo anterior
∇× ~F 6= θ ⇒ ~F no es un gradiente
∇ · ~F 6= 0 ⇒ ~F no es un rotor
4.2 Teorema de Gauss (divergencia).
Teorema 34 Sea Ω una región del espacio acotada por la superficie suave
cerrada ∂Ω, orientada exteriormente y ~F un campo vectorial suave en un
abierto que contiene a Ω ∪ ∂Ω. Se tiene entoncesZ Z
∂Ω
~F · n dS =
Z Z Z
Ω
∇ · ~F dV
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Ejemplo 35 Calcule
R R
S
~F · ~n dS , donde
~F (x, y, z) = x · ı̂+ y · ̂+ z · k̂
y S es la superficie suave por secciones del ejemplo anterior.
Ejemplo 36 Sean ~F (x, y, z) = 2x · ı̂+ y2 · ̂ + z2 · k̂ y S : x2 + y2 + z2 = 1
con orientación exterior. CalculeZ Z
S
~F · ~n dS
4.3 Teorema de Stokes.
En el enunciado del teorema de Stokes se considera una superficie S suave,
orientada y con borde C = ∂S.
Intuitivamente, podemos considerar el borde de una superficie S como la
curva C = ∂S que corresponde a su contorno.
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La parametrización Φ : D ⊂ R2 → R3, induce una orientación ~n a partir
de Tu×Tv y una orientación para la curva C a partir de la orientación positiva
(antihorario) del contorno de D.
Teorema 37 En el contexto anterior, si ~F es un campo de clase C1 en un
abierto que contiene a S ∪ ∂S, entoncesZ Z
S
³
∇× ~F
´
· ~n dS =
Z
∂S
~F · d~r
Tanto en la integral de línea de ~F (lado derecho), como en la integral de
superficie de∇× ~F (lado izquierdo) se consideran las orientaciones indicadas.
Ejemplo 38 Sea F (x, y, z) = yez · ı̂ + xez · ̂ + xyez · k̂. Use el teorema de
Stokes para mostrar que I
C
~F · d~r = 0
para cualquier curva de Jordan en R3.
Ejemplo 39 Use el teorema de Stokes para calcular
R
C
~F ·d~r donde F (x, y, z) =
−y3 · ı̂+x3 · ̂−z3 · k̂ y C es la curva intersección de las superficies x2+y2 = 1
y x+ y + z = 1
4.3.1 Campos conservativos
Se recuerda que cuando ~F = ∇f entonces para una curva C que va de ~r (a)
a ~r (b) : Z
C
~F · d~r = f (~r (b))− f (~r (a))
o sea la integral de línea es independiente de la trayectoria en el sentido que
sólo depende de los puntos de inicio y término de la curva.
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Teorema 40 Sea ~F un campo de clase C1 en R3, salvo quizás en un número
finito de puntos. Son equivalente:
a) ∀C curva de Jordan:
I
C
~F · d~r = 0
b) ∀C1, C2 curvas suaves con igual origen y extremo:
I
C1
~F ·d~r =
I
C2
~F ·d~r.
c) ~F = ∇f
d) ∇× ~F = θ
Cuando el campo satisface una de las cuatro condiciones (y por lo tanto
todas ellas) se denomina conservativo.
Ejemplo 41 Mostrar que el campo
F (x, y, z) = y · ı̂+ (z cos yz + x) · ̂+ y cos yz · k̂
es irrotacional y encontrar un potencial.