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CAPITULO I CALCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES DE IRn EN IRm 2 Conceptos Previos a) El Espacio nR : RR inn xxxx :),...,( 1 b) Producto Escalar en nR : nn yxyxyx ....11 . c) Norma Euclidiana: 2/1)( xxx Notar que n i ixx 1 2 d) Distancia Euclidiana: yxyxd ),( e) Vectores Ortogonales: 0 yx 3 Ejercicio. Sea RR 3:f tal que 0,0,0,,,0 0,0,0,,, ,, 222 zyx zyx zyx xyz zyxf Entonces zyxzyxf ,,,, 4 Algunas Nociones Topológicas en nR . 1) Bolas abiertas y Bolas cerradas en IRn. i. Sea nx R0 y 0r . Se llama Bola Abierta de centro 0x y radio r, al conjunto denotado por ),( 0 rxB y definido por: rxxdxrxB n ),( :),( 00 R 5 ii. Análogamente se define por: rxxd xrxB n ),(:),( 00 R la Bola Cerrada de centro x0 y de radio r. 6 Ejemplos: En R , rxrxrxB 000 ;),( rx rxrxB 000 ;),( En 2R , para ),( 000 yxP ; 2202020 )()( : ),(),( ryyxxyxrPB R 2202020 )()x-(x : ),(),( ryyyxrPB R En 3R , para ),,( 0000 zyxP ; 2020200 )()()(:),,(),( rzzyyxxzyxrPB 7 2) Conjuntos abiertos y Conjuntos cerrados. Definicion: i) Sea nA R se dice que A es Abierto si 0, rAx tal que ArxB ),( . ii) Sea nB R se dice que B es Cerrado si: Bn R es abierto. 8 Propiedad Toda bola abierta en nR es un conjunto abierto. Observacion: a. La reunión de un número cualquiera de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. b. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. c. La reunión de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. d. La intersección de un número cualquiera de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. 9 3) Puntos adherentes, puntos de acumulación, puntos interiores y puntos frontera de un conjunto. Definición: Sean nA R y n x R0 . i. Se dice que x0 es un Punto Adherente de A, si para toda bola ),( 0 rxB se cumple: A rxB ),( 0 . Notación: A conjunto de todos los puntos adherentes de A A se llama la adherencia de A. 10 ii. Se dice que x0 es un Punto de Acumulación de A si para toda bola ),( 0 rxB se cumple: AxrxB ),( 00 . Notación: A Conjunto de todos los puntos de acumulación de A. 11 iii. Se dice x0 es un Punto Interior de A si existe 0r tal que: ArxB ),( 0 . Notación: A = Conjunto de todos los puntos interiores de A. 12 iv. Se dice que x0 es un Punto Frontera de A si x0 es adherente a A y a An R . Notación: )(Fr A = conjunto de todos los puntos frontera de A. Observacion: Se prueba que: AAA )(Fr AAAAAA ; ; . 13 Ejemplos: 1) Si 2321 ,, R pppA , entonces AAA ,A , . 2) Si 1 0 : ),( 2 yxyxA R , entonces: 1 0 : ),( 2 yxyxA R 1 : ),( 2 yxyxA R )0,0( 1= : ),()(Fr 2 yxyxA R AAA )0,0( . 14 3) Sea 20,40 : ),( 22 xxyyxA R , y sean 3,1,1,1 00 qp . a) Decida para 0p si es: punto interior, punto de acumulación, punto adherente, punto frontera. ¿y para 0q ? b) Identifique A, AFrAA ,,̀ 15 4) Conjuntos acotados, Conjuntos compactos. DEFINICION: Sea nA R . 1. Se dice que A es Acotado si existe RM tal que: M P A P , . 2. Se dice que A es Compacto si A es cerrado y acotado. 16 Ejemplos: 1) Si 10,x0 :),( 2 xyyxA , entonces A es acotado. Como A no es cerrado entonces no es compacto 2) Si 4 ,1 :),,( 22 zyxzyxA , entonces A es compacto. 3) Si 1 :),,( 22 yxzyxC , entonces C no es acotado, luego no es compacto. 17 Funciones de IRn en IRm. Definicion: Sea mnAf RR : . i. Si 1m , se dice que f es una Función Escalar (o Real). ii. Si 1n y 1m se dice que f es una Funcion Vectorial. En tal caso, ),,,(, 21 xfxfxfxfAx n . :if i – ésima función componente 18 iii. Si nm , diremos que f es un Campo Vectorial en nR . iv. Si 1n y A es un intervalo abierto de R , diremos que f es una Curva Parametrizada en mR . v. Se llama Gráfico de f , y se denota por fG , al subconjunto de mn RR definido por: AppfqqpG mnf ),(:),( RR . Para 1m y 1n o 2, fG se puede representar geométricamente. 19 vi. Si 1m y Rc , al conjunto cpfApNc )(: se llama Conjunto De Nivel de f. Si 2n , cN se denomina Curva de nivel Si 3n , cN se denomina Superficie de nivel 20 Ejemplo 1: Sea 222 ),(,: y xyxf f RR 1) fG se representa geométricamente en 3R . 222 ),( :) ,,( R yxyxyxG f . 2) fG se llama paraboloide. Es una superficie en 3R . 21 22 3) Los conjuntos de nivel cN de f es: i. Para cNc ,0< ii. Para )0,0( ,0 cNc iii. Para cNc ,0> es una circunferencia de centro )0,0( y de radio c . 23 24 Ejemplo 2: Sea RR 3:g , 222),,( zyxzyxg 1) Para c > 0, el conjunto cN es la superficie de ecuación czyx 222 . Notar que cyx 22 . cN se llama hiperboloide de una hoja. 25 26 2) Para 0 , ,0 2222 zzyxc cN es una superficie que se denomina superficie cónica. 3) Para czczczyxc 22222 ,0 , ,0 y así cz . cN es una superficie y se llama un hiperboloide de dos hojas. 27 28 Nota: En general, sea RR 3:Q es un polinomio cuadrático definido por: mlzhygxfzyexzdxyczbyaxzyxQ 222,, donde Rmba ,,, . Si la superficie de nivel cero, ,0,, zyxQ es no vacía se denomina Superficie Cuadrática 29 Algunas Superficies cuadráticas i. Elipsoide: 1222 czbyax , Rcba ,, 30 ii. Paraboloide: zbyax 22 , Rba, 31 iii. Cono : 222 zbyax , R,, ba 32 iv. Cilindro Elíptico: 12 2 2 2 b y a x 33 v. Cilindro Parabólico: 2axy 34 vi. Paraboloide Hiperbólico: 2 2 2 2 b y a xz 35 Aplicaciones Lineales Recordemos que mnL RR : es una aplicación lineal si yLxLyxL , R y nyx R, Si mnL RR : es lineal, entonces existe una matriz M, de m nm , tal que xL = M· x La j-esima columna de M corresponde al vector columna jeL . 36 mnA RR : se dice afín si existe una matriz M y un vector mv R tal que vxMxA · ____________________ 37
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