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Alg_Nociones_Topologicos

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CAPITULO I 
 
 
CALCULO DIFERENCIAL DE 
 
FUNCIONES DE IRn EN IRm 
 
 
 2
 
Conceptos Previos 
 
 
a) El Espacio nR :  RR  inn xxxx :),...,( 1 
 
b) Producto Escalar en nR : nn yxyxyx ....11  . 
 
c) Norma Euclidiana: 2/1)( xxx  
Notar que 


n
i
ixx
1
2 
d) Distancia Euclidiana:  yxyxd ),( 
 
e) Vectores Ortogonales: 0 yx 
 
 3
Ejercicio. 
 
 
Sea RR 3:f tal que 
 
 
   
   











0,0,0,,,0
0,0,0,,,
,,
222
zyx
zyx
zyx
xyz
zyxf 
 
Entonces 
   zyxzyxf ,,,,  
 4
Algunas Nociones Topológicas en nR . 
 
1) Bolas abiertas y Bolas cerradas en IRn. 
 
 
 
 
 
i. Sea nx R0 y 0r . Se llama Bola Abierta de 
 
centro 0x y radio r, al conjunto denotado por ),( 0 rxB 
y definido por: 
 
 rxxdxrxB n  ),( :),( 00 R 
 
 5
 
 
 
 
ii. Análogamente se define por: 
 
  rxxd xrxB n  ),(:),( 00 R 
 
la Bola Cerrada de centro x0 y de radio r. 
 6
Ejemplos: 
 
En R ,  rxrxrxB  000 ;),( 
 
 rx rxrxB  000 ;),( 
 
En 2R , para ),( 000 yxP  ; 
 
  2202020 )()( : ),(),( ryyxxyxrPB  R 
 
  2202020 )()x-(x : ),(),( ryyyxrPB  R 
 
En 3R , para ),,( 0000 zyxP  ; 
 
  2020200 )()()(:),,(),( rzzyyxxzyxrPB  
 7
 
2) Conjuntos abiertos y Conjuntos cerrados. 
 
 
Definicion: 
 
i) Sea nA R  se dice que A es Abierto si 
0,  rAx tal que ArxB ),( . 
 
ii) Sea nB R  se dice que B es Cerrado si: Bn R 
es abierto. 
 
 8
Propiedad 
 
Toda bola abierta en nR es un conjunto abierto. 
 
 
Observacion: 
 
a. La reunión de un número cualquiera de conjuntos abiertos es un 
conjunto abierto. 
 
b. La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un 
conjunto abierto. 
 
c. La reunión de un número finito de conjuntos cerrados es un 
conjunto cerrado. 
 
d. La intersección de un número cualquiera de conjuntos cerrados es 
un conjunto cerrado. 
 9
3) Puntos adherentes, puntos de acumulación, puntos 
interiores y puntos frontera de un conjunto. 
 
Definición: 
Sean nA R  y n x R0 . 
 
i. Se dice que x0 es un Punto Adherente de A, si para toda 
bola ),( 0 rxB se cumple: 
 
 A rxB ),( 0 . 
 
Notación: 
A conjunto de todos los puntos adherentes de A 
 
A se llama la adherencia de A. 
 10
 
 
ii. Se dice que x0 es un Punto de Acumulación de A si 
para toda bola ),( 0 rxB se cumple: 
 
    AxrxB ),( 00 . 
 
Notación: 
 
A Conjunto de todos los puntos de acumulación de A. 
 
 11
 
 
iii. Se dice x0 es un Punto Interior de A si existe 
 
0r tal que: 
 
ArxB ),( 0 . 
 
Notación: 
 

A = Conjunto de todos los puntos interiores de A. 
 
 12
iv. Se dice que x0 es un Punto Frontera de A si x0 
 
es adherente a A y a An R . 
 
Notación: 
 
)(Fr A = conjunto de todos los puntos frontera de A. 
 
Observacion: 
 
Se prueba que: 
 
 

AAA )(Fr 
 AAAAAA  ; ; 

. 
 13
Ejemplos: 
 
1) Si   2321 ,, R pppA , entonces 
 
 

AAA ,A , . 
 
 
2) Si  1 0 : ),( 2  yxyxA R , entonces: 
 
 1 0 : ),( 2  yxyxA R

 
 
 1 : ),( 2  yxyxA R 
 
    )0,0( 1= : ),()(Fr 2  yxyxA R 
 
  AAA  )0,0( . 
 14
 
 
3) Sea  20,40 : ),( 22  xxyyxA R , y sean 
   3,1,1,1 00  qp . 
 
a) Decida para 0p si es: punto interior, punto de 
acumulación, punto adherente, punto frontera. ¿y 
para 0q ? 
 
b) Identifique 

A,  AFrAA ,,̀ 
 
 15
 
4) Conjuntos acotados, Conjuntos compactos. 
 
 
DEFINICION: 
Sea nA R  . 
 
1. Se dice que A es Acotado si existe RM tal 
que: 
 
M P A P  , . 
 
 
2. Se dice que A es Compacto si A es cerrado y 
acotado. 
 16
 
Ejemplos: 
 
1) Si  10,x0 :),( 2  xyyxA , entonces A es 
acotado. Como A no es cerrado entonces no es 
compacto 
 
2) Si  4 ,1 :),,( 22  zyxzyxA , entonces A es 
compacto. 
 
3) Si  1 :),,( 22  yxzyxC , entonces C no es 
acotado, luego no es compacto. 
 17
 
 Funciones de IRn en IRm. 
 
Definicion: 
 
Sea mnAf RR : . 
 
i. Si 1m , se dice que f es una Función Escalar (o 
Real). 
 
ii. Si 1n y 1m se dice que f es una Funcion 
Vectorial. 
En tal caso,        ),,,(, 21 xfxfxfxfAx n . 
:if i – ésima función componente 
 
 18
 
iii. Si nm  , diremos que f es un Campo Vectorial en 
nR . 
 
iv. Si 1n y A es un intervalo abierto de R , diremos que 
f es una Curva Parametrizada en mR . 
 
v. Se llama Gráfico de f , y se denota por fG , al 
subconjunto de mn RR  definido por: 
 
 AppfqqpG mnf  ),(:),( RR . 
 Para 1m y 1n o 2, fG se puede representar 
geométricamente. 
 19
 
vi. Si 1m y Rc , al conjunto 
 
 cpfApNc  )(: 
 
 se llama Conjunto De Nivel de f. 
 
 Si 2n , cN se denomina Curva de nivel 
 Si 3n , cN se denomina Superficie de nivel 
 20
 
Ejemplo 1: 
 
Sea 222 ),(,: y xyxf f RR 
 
1) fG se representa geométricamente en 3R . 
  222 ),( :) ,,( R yxyxyxG f . 
 
2) fG se llama paraboloide. Es una superficie en 
3R . 
 21
 
 
 
 22
 
3) Los conjuntos de nivel cN de f es: 
 
i. Para cNc ,0< 
ii. Para  )0,0( ,0  cNc 
iii. Para cNc ,0> es una circunferencia de 
centro )0,0( y de radio c . 
 
 23
 
 24
 
 
 
Ejemplo 2: 
 
Sea RR 3:g , 222),,( zyxzyxg  
 
1) Para c > 0, el conjunto cN es la superficie de 
ecuación czyx  222 . 
Notar que cyx  22 . 
 
 cN se llama hiperboloide de una hoja. 
 25
 
 26
 
 
 
2) Para 0 , ,0 2222  zzyxc 
 
cN es una superficie que se denomina superficie 
cónica. 
 
3) Para czczczyxc  22222 ,0 , ,0 y así 
cz  . cN es una superficie y se llama un 
hiperboloide de dos hojas. 
 27
 
 28
Nota: 
 
En general, sea RR 3:Q es un polinomio cuadrático 
definido por: 
 
  mlzhygxfzyexzdxyczbyaxzyxQ  222,, 
 
donde Rmba ,,,  . Si la superficie de nivel cero, 
  ,0,, zyxQ es no vacía se denomina Superficie 
Cuadrática 
 29
Algunas Superficies cuadráticas 
 
i. Elipsoide: 1222  czbyax , Rcba ,, 
 
 30
ii. Paraboloide: zbyax  22 , Rba, 
 
 
 
 
 31
iii. Cono : 222 zbyax  , R,, ba 
 
 
 32
iv. Cilindro Elíptico: 12
2
2
2

b
y
a
x 
 
 33
 
v. Cilindro Parabólico: 2axy  
 
 34
vi. Paraboloide Hiperbólico: 2
2
2
2
b
y
a
xz  
 
 35
 
Aplicaciones Lineales 
 
 Recordemos que mnL RR : es una aplicación lineal 
si 
     yLxLyxL   ,  R y nyx R, 
 
 Si mnL RR : es lineal, entonces existe una matriz 
M, de m nm , tal que 
 xL = M· x 
 
 La j-esima columna de M corresponde al vector 
columna  jeL . 
 
 36
 mnA RR : se dice afín si existe una matriz M y un 
vector mv R tal que   vxMxA  · 
 
 
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