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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
HPV.
Listado 6 Cálculo III
1. Integrales dobles y triples.
1. Calcular las siguientes integrales iteradas:
a)
R 2
0
³R 1
−1(x+ 3y)dx
´
dy (Resp.- 12)
b)
R 2
1
³R 1
0 (x
3 + y4)dy
´
dx (Resp.- 79
20
)
c)
R 2π
π/2
³R 2
1 x sin(xy)dy
´
dx (Resp.- −1)
d)
R ln 2
0
³R 1
0 yxe
x2ydx
´
dy (Resp.- 1
2
− 1
2
ln 2)
e)
R 1
0
³R y
0 x
√
y2 − x2dx
´
dy (Resp.- 1
12
)
f)
R 3
1
³R x
0
2
x2+y2
dy
´
dx (Resp.- 1
2
(ln 3)π)
g)
R 1
0
³R 1
y e
x2dx
´
dy (Resp.- 1
2
e− 1
2
)
h)
R 9
0
³R 3√
y sin (πx
3) dx
´
dy
2. Calcular las siguientes integrales sobre rectángulos:
a)
R R
R(2x+ 3y)d(x, y) donde R = [1, 3]× [1, 2] (Resp.- 17)
b)
Z Z
R
6xy√
x2 + y2
d(x, y) donde R = [0, 1]× [0, 1] (Resp.- 4(√2− 1))
c)
R R R
R zx sin(xy)d(x, y, z) donde R =
h
2, 5
2
i
× [0,π]× [0, 2]
. (Resp.- 1- 2
π
)
d)
R R R
R(y − zx)d(x, y, z) donde R = [0, 3]× [−1, 1]× [2, 4]
. (Resp.- -54)
e)
R R R
R x
2y3zexy
2z2d(x, y, z) donde R = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1]
. (Resp.- 1
4
(e− 5
2
))
3. Calcular las siguientes integrales:
a)
R R
S(x + y)d(x, y) donde S es la región triangular acotada por las
rectas y = 2x, x = 0 e y = 4 (Resp.- 40/3)
b)
R R
S xd(x, y) donde S es la región trapezoidal acotada por las rectas
x = 3, x = 5, y = 1 e y = x (Resp.- 74/3)
c)
R R
S(3x − 5)d(x, y) donde S es la región triangular acotada por las
rectas y = 5 + x, y = −x+ 7 y x = 10. (Resp.- 1296)
d)
R R
S d(x, y) donde S es la región entre los gráficos de y = 1 + x,
y = sinx sobre [π, 2π] (Resp.- 1
3
π2 + π + 2)
e)
R R
S(1 − y)d(x, y) donde S es la región acotada por los gráficos de
x = y2 y x = 2− y. (Resp.- 27/4)
f)
R R
S xy
2d(x, y) donde S es la región por encima de la recta y = 1− x
y en el interior del círculo x2 + y2 ≤ 1. (Resp.- 1/20)
g)
R R
S(2x+y
2)d(x, y) donde S = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 9− y2, −3 ≤ y ≤ 3}
. (Resp.- 324)
h)
R R
S xyd(x, y) donde S es la región acotada por y = |x| e y = 6− x2
. (Resp.- 0)
i)
R R
S 2xyd(x, y) donde S es la región acotada por y = x
2 y x = y2
. (Resp.- 1/6)
j)
R R
S xd(x, y) donde S es la región acotada por y = x
2 e y = x+ 6
. (Resp.- 125/12)
k)
R R
S(x − 1)d(x, y) donde S es la región entre los gráficos de y = x e
y = x3 (Resp.- -1
2
)
4. Calcular las siguientes integrales triples:
a)
R R R
S(x + 1)d(x, y, z) donde S es el sólido entre los gráficos de las
superficies z = −y2 y z = x2 para (x, y) ∈ R, siendo R la región tringular
en el plano xy entre los gráficos de y = 0 e y = x, para 0 ≤ x ≤ 1.
. (Resp.- 3/5).
b)
R R R
S yd(x, y, z) donde S es la región sólida acotada por las porciones
de los paraboloides circulares z = 3−x2−y2, z = −5+x2+y2, x ≥ 0, y ≥ 0.
. (Resp.- 128/15).
2
c)
R R R
S 3xyd(x, y, z) donde S es la región sólida acotada por abajo por
el cono z =
√
x2 + y2 y por arriba por el cilindro x2 + z2 = 1. (Resp.- 0).
d)
R R R
S xd(x, y, z) donde S es la región sólida acotada por los planos
coordenados y el plano 3x+ y + z = 2.
e)
R R R
S(x
2 + y2 + z2)d(x, y, z) donde S es la región sólida limitada por
los planos x+ y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0. (Resp.- 8/5)
5. Mediante una integral doble, calcular el volumen de los siguientes sólidos:
a) La región sólida acotada por arriba por el paraboloide z = 4− x2 − y2 y
por abajo por el plano xy. (Resp.- 8π).
b) La región sólida en el primer octante acotada por el paraboloide
z = x2 + y2, el plano x+ y = 1 y los planos coordenados. (Resp.- 1/6)
6. En cada caso encontrar el volumen del sólido S:
a) S es la región sólida en el primer octante acotada por los planos
z = 10 + x+ y, y = 2− x, y = x, z = 0, x = 0. (Resp.- 34/3)
b) S está acotada por las superficies z = x2 + y2 y z = 8− x2 − y2.
. (Resp.- 16π)
c) S es la región sólida en el primer octante que es común al interior de los
cilindros x2 + y2 = 1 y x2 + z2 = 1. (Resp.- 2/3)
2. Cambio de variable.
1. Calcular
R R
R(x + y)
2d(x, y) donde R es la región acotada por x + y = 1
,x+ y = 4 , x− y = −1 , x− y = 1.
2. Evaluar
ZZ
R
1
(x2 + y2)2
d(x, y) donde R está determinada por x2 + y2 ≤ 1
y x+ y ≥ 1
3. Evaluar las siguientes integrales usando coordenadas cilíndricas
a)
ZZZ
B
zd(x, y, z) donde B es la región dentro del cilindro x2 + y2 = 1,
sobre el plano xy y debajo del cono z2 = x2 + y2
3
b)
ZZZ
D
(x2+y2+ z2)−
1
2d(x, y, z) donde D es la región determinada por las
condiciones 1
2
≤ z ≤ 1 y x2 + y2 + z2 ≤ 1
4. La función T (u, v) = (u2 − v2, 2uv) transforma el rectángulo 1 ≤ u ≤ 2 ,
1 ≤ v ≤ 3 del plano uv en una región R del plano xy .
a) Mostrar que T es uno a uno.
b) Hallar el área de R usando la fórmula del cambio de variable.
5.
ZZ
D
exp
"
y − x
y + x
#
d(x, y) donde D es el triángulo con vértices (0, 0), (0, 1) y
(1, 0).
3. Aplicaciones.
1. Para una región W en el espacio con densidad de masa ρ(x, y, z) (en cada
punto de la región) . La masa total de la región está dada por
M =
ZZZ
W
ρ(x, y, z)d(x, y, z)
y el centro de masa está dado por: (x̄, ȳ, z̄) donde
x̄ =
RRR
W xρ(x, y, z)d(x, y, z)
M
ȳ =
RRR
W yρ(x, y, z)d(x, y, z)
M
z̄ =
RRR
W zρ(x, y, z)d(x, y, z)
M
a) Hallar el centro de masa del hemisferio norte W de la esfera (bola)
x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0
b) Hallar el centro de masa del cilindro
x2 + y2 ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2
si la densidad está dada por ρ(x, y, z) = (x2 + y2)z2.
4
2. Si un sólido W tiene densidad uniforme ρ, el momento de inercia alrededor
del eje x está definido por
Ix =
ZZZ
W
ρ(y2 + z2)d(x, y, z)
Defina análogamente los momentos de inercia con respecto a los otros dos
ejes coordenados Iy e Iz (el momento de inercia mide la respuesta de un
cuerpo a intentos de girarlo, así como la masa mide la respuesta a intentos
de moverlo)
Hallar el momento de inercia con respecto al eje y de la bola x2+y2+z2 ≤ R2
si la densidad de masa es una constante ρ
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