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Definición de derivada 
 
Una función ] [: ,f a b IR→ es derivable (o diferenciable) en ] [0 ,x a b∈ si el límite 
 
 ( ) ( ) ( )0 00 0limh
f x h f x
f x
h→
+ −
′ = 
 
existe. De forma equivalente, podemos reescribir: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 0
0
lim 0
x x
f x f x f x x x
x x→
′− − −
=
−
. 
 
Definición Una transformación : n mf A IR IR⊂ → es diferenciable en 0x A∈ si existe una 
aplicación lineal, denotada ( )0 : n mDf x A IR IR⊂ → y llamada diferencial de f en 0x A∈ 
tal que 
 
( ) ( ) ( ) ( )
0
0 0 0
0
lim 0
x x
f x f x Df x x x
x x→
− − −
=
−
. 
 
Teorema Sean A un conjunto abierto en nIR y supóngase que : mf A IR→ es diferenciable 
en 0x . Entonces ( )0Df x queda determinada de forma única por f . 
 
Representación matricial 
 
Definición j
i
f
x
∂
∂
 está dada por el siguiente límite, cuando este existe: 
 ( ) ( ) ( )1 11 0
,..., ,..., ,...,
,..., limj j i n j nn h
i
f f x x h x f x x
x x
x h→
∂ + −  =  
∂   
. 
 
Teorema Supóngase que nA IR⊂ es un conjunto abierto y que : mf A IR→ es diferenciable 
en A . Entonces las derivadas parciales j
i
f
x
∂
∂
 existen y la matriz de la aplicación lineal ( )Df x 
con respecto a las bases canónicas en nIR y mIR está dada por 
 
 
1 1 1
1 1
2 2 2
2 2
1 2
n
n
m m m
n
f f f
x x x
f f f
x x x
f f f
x x x
∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂
 ∂ ∂ ∂ 
 
 ∂ ∂ ∂ 
 ∂ ∂ ∂ 
L
L
M M O M
L
 
 
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donde cada derivada parcial se evalúa en ( )1,..., nx x x= . Esta matriz es la matriz jacobiana de 
f o matriz derivada. 
 
Condiciones para la diferenciabilidad 
 
Teorema Sean nA IR⊂ un conjunto abierto y : n mf A IR IR⊂ → . Supóngase que 
( )1,..., mf f f= . Si cada derivada parcial j if x∂ ∂ existe y es continua en A , entonces f es 
diferenciable en A . 
 
Definición Sea f una función escalar definida en una vecindad de 0
nx IR∈ y sea nv IR∈$ un 
vector unitario. Entonces 
 
 ( ) ( ) ( )0 00 0
0
lim
t
t
f x tv f xd
f x tv
dt t→=
+ −
+ =
$
$ 
es la derivada direccional (si este límite existe) de f en 0X en la dirección de v$ . 
 
La regla de la cadena 
 
Regla de la cadena Sean nA IR⊂ abierto y : mf A IR→ diferenciable en 0x A∈ . Sean 
nB IR⊂ abierto, ( )f A B⊂ y : pg B IR→ diferenciable en ( )0f x . Entonces la 
composición g fo es diferenciable en 0X y ( )( ) ( )( ) ( )0 0 0D g f x Dg f x Df x=o o . 
 
 Obsérvese que el lado derecho de la última igualdad está bien definido, pues 
( )0 : n mDf x IR IR→ y ( )( )0 : m pDg f x IR IR→ y, por lo tanto, su composición como 
aplicaciones lineales está definida. La regla de la cadena se llama también teorema de la 
composición de funciones, pues nos dice como derivar una composición de funciones. 
 Como el producto de dos matrices corresponde a la composición de las aplicaciones 
lineales correspondientes que representan, la regla de la cadena se puede reescribir diciendo, 
que la matriz jacobiana de g fo en ( )1,..., nx x x= es el producto de la matriz jacobiana de g 
evaluada en ( )f x con la matriz jacobiana de f evaluada en x (en ese orden). Así, si 
h g f= o e ( )y f x= , entonces 
 ( )
1 1 1 1
1 1
11
m n
p p m m
nm
g g f f
y y x x
Dh x
g g f f
x xy y
 ∂ ∂ ∂ ∂ 
   ∂ ∂ ∂ ∂   
   = ⋅
   ∂ ∂ ∂ ∂   
   ∂ ∂∂ ∂   
… …
M O M M O M
LL
 
 
donde i jg y∂ ∂ se evalúan en ( )y f x= y i jf x∂ ∂ en x . Si desarrollamos esto, obtenemos, 
por ejemplo 1 1
1
1 1
n j
j
j
fh g
x y x=
∂∂ ∂=
∂ ∂ ∂∑ .