Capitulo 4

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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matem áticas
Introducci ón a la Matem ática Universitaria.
520145
Capı́tulo 4. Geometrı́a Analı́tica.
FCFM. UdeC 1 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1. R2 y el plano real.
El estudio de relaciones y funciones (cuyas propiedades se detallan
en los próximos capı́tulos del curso) mediante sus
representaciones gráficas en el plano, o viceversa, es lo que se
llama Geometrı́a Analı́tica Plana (o del plano). Por ejemplo, el
conjunto L = {(x, y) : y = x}, que sabemos representa una
recta en el plano.
Ahora, presentamos el sistema cartesiano de coordenadas,
determinamos la expresión de la distancia en el plano (o distancia
en R2), estudiamos la ecuación de la recta, la circunferencia y las
cónicas. Finalmente, las curvas en general y las regiones en el
plano.
FCFM. UdeC 2 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.1 Distancia en el plano.
Como vimos en el capı́tulo sobre números reales, |a − b|
representa la distancia entre los números a y b.
Ahora, para P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos cualesquiera del
plano. La distancia d(P1, P2), entre P1 y P2, se obtiene por
aplicación directa del teorema de Pitágoras.
En efecto, si formamos el triángulo ∆P1QP2, rectángulo en Q,
entonces
d2(P1, P2) = P1Q
2
+ QP2
2
,
FCFM. UdeC 3 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Distancia en el plano.
y como P1Q = |x2 − x1| y QP2 = |y1 − y2| = |y2 − y1| se
tiene que:
d2(P1, P2) = |x2−x1|
2+|y2−y1|
2 = (x2−x1)
2+(y2−y1)
2.
De aquı́ obtenemos la fórmula de la distancia
d(P1, P2) = +
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2.
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Propiedades de la Distancia
El signo + de la raı́z obedece a que d es una longitud; es decir,
d(P1, P2) ≥ 0 siempre. En rigor, d es una función
d : R2×R2 −→ R, (P1(x1, y1), P2(x2, y2)) 7−→ d(P1, P2)
con las siguientes propiedades ∀P1, P2, P3 ∈ R
i). d(P1, P2) ≥ 0.
ii). d(P1, P2) = 0 ⇐⇒ P1 = P2.
iii). d(P1, P2) = d(P2, P1).
iv). d(P1, P2) ≤ d(P1, P3) + d(P3, P2).
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Lugares geom étricos
Por defincición, un lugar geom étrico es un conjunto de puntos que
verifican una o más condiciones dadas.
Para determinar la ecuación de un lugar geométrico se procede de
la manera siguiente:
• se designa con P (x, y) un punto cualquiera(genérico) del
lugar geométrico.
• se expresa matemáticamente la condición inpuesta para el
lugar geométrico. Por ejemplo. y = 3
• se desarrolla esta expresión, lo que lleva a la ecuación
buscada. Para el ejemplo:
L = {(x, y) : y = 3} = {(x, 3) : x ∈ R}, es el lugar
geométrico.
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1.2 Ecuaci ón de la recta
Se llama inclinaci ón de la recta L al ángulo α, con
0 ≤ α < 180o, que forma L con la dirección positiva del eje x,
medido en sentido antihorario.
Se llama pendiente de la recta L, denotada por m, a la tangente
trigonométrica de la inclinación. Es decir,
m = tg α.
Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos cualesquiera de la
recta L, del triángulo ∆P1QP2 rectángulo en , se obtiene que la
pendiente de la recta es
m = tg α =
y2 − y1
x2 − x1
=
y1 − y2
x1 − x2
.
FCFM. UdeC 7 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
–2
0
2
4
6
–1 1 2 3 4 5 6 7
x
–2
2
4
6
–1 1 2 3 4 5 6 7
x
L L1
L2
α α1 α2
Figure 1: Ecuación de recta L Rectas paralelas.
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Rectas paralelas
Sean L1 y L2 dos rectas con pendientes m1 y m2,
respectivamente. De la Figura anterior se deduce el siguiente.
Teorema . Las rectas L1 y L2 son paralelas si, y sólo si sus
ángulos de inclinación son iguales, α1 = α2, lo que es equivalente
con m1 = m2. En consecuencia,
L1 ‖ L2 ⇐⇒ m1 = m2.
Ejemplo . Las rectas L1 : y = 2x − 3 e L2 : y = 2x − 4 son
paralelas, pues m1 = m2 = 2.
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Rectas perpendiculares
Teorema . Las rectas L1 y L2 son perpendiculares si, y sólo si,
los ángulos de inclinación α1 y α2 satisfacen la igualdad
α2 = 90
o + α1. Es decir, si, y sólo si las tangentes son tales que:
tg α2 = tg (90
o + α1) = −ctg (α1) =
−1
tg α1
.
En consecuencia,
L1 ⊥ L2 ⇐⇒ m2 =
−1
m1
⇐⇒ m1 · m2 = −1.
Ejemplo . Las rectas L1 : y = −2x − 3 e L2 : y =
1
2
x − 4 son
perpendiculares, pues m1 · m2 = −2 ·
1
2
= −1.
FCFM. UdeC 10 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
La recta se puede expresar bajo diversas formas algebraicas.
1). Sean P0(x0, y0) un punto fijo dado y P (x, y) un punto
cualquiera de la recta L. Dado que dos puntos de la recta definen
la misma pendiente, entonces, de la definición de pendiente,
m = tg α =
y − y0
x − x0
y de aquı́, obtenemos la ecuación:
L : y − y0 = m(x − x0) (E1)
que es la ecuaci ón de la recta con pendiente m y que pasa por
el punto dado P0(x0, y0).
FCFM. UdeC 11 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
2). Ahora si se conocen dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) de la
recta L. Entonces su pendiente es
m = tg α =
y2 − y1
x2 − x1
y reemplazando m en (E1) y tomando P0(x1, y1) = P1(x1, y1)
se obtiene:
L : y − y1 =
y2 − y1
x2 − x1
(x − x1) (E2)
que es la ecuaci ón de la recta L que pasa por dos puntos
dados .
FCFM. UdeC 12 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
3). De la ecuación y − y0 = m(x − x0), se tiene que
y = mx + (y0 − mx0) y poniendo b = y0 − mx0, que es
conocido, se obtiene
y = mx + b (E3)
donde b viene a ser la ordenada-intercepto en el origen, puesto
que con x = 0 se tiene y = b. Esta es la ecuaci ón de la recta en
la forma pendiente - intercepto.
FCFM. UdeC 13 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
4). Si se conocen los segmentos a y b que una recta L corta sobre
los ejes x e y respectivamente, utilizando la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos, en este caso P1(0, b) y P2(a, 0), se
obtiene
y − b =
0 − b
a − 0
(x − 0) ⇐⇒ y − b = −
b
a
x, b 6= 0
y dividiendo por b se obtiene:
x
a
+
y
b
= 1, a 6= 0, b 6= 0 (E4)
que se llama ecuaci ón de segmentos de la recta.
FCFM. UdeC 14 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
Finalmente, cualquiera de las formas de la ecuación de una recta
puede llevarse a la forma general de la ecuaci ón de primer
grado en dos variables:
Ax + By + C = 0; A · B 6= 0, (E5)
Por otra parte, toda ecuación de esta forma representa una recta
del plano cartesiano.
FCFM. UdeC 15 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la recta
En efecto:
• si B = 0 y A 6= 0 , entonces x = −C
A
, representa una recta
paralela al eje y.
• si A = 0 y B 6= 0, entonces y = −C
B
, representa una recta
paralela al eje x.
• si B 6= 0 y A 6= 0, entonces y = −A
B
x − C
B
, representa una
recta oblicua con pendiente m = −A
B
y que intercepta al eje y
en (0,−C
B
) (y al eje x en (−C
A
, 0)).
FCFM. UdeC 16 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.3 Ecuaci ón de la circunferencia
Se llama circunferencia al conjunto de puntos que están a una
distancia fija de un punto fijo llamado centro . La distancia fija es el
radio de la circunferencia.
Sea r el radio, C(h, k) el centro y P (x, y) un punto cualquiera de
una circunferencia; entonces, por la definición
r =
√
(x − h)2 + (y − k)2
y de aquı́ se obtiene
(x − h)2 + (y − k)2 = r2,
que es la ecuaci ón de la circunferencia con centro (h, k) y radio
r.
FCFM. UdeC 17 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.3 Ecuaci ón de la circunferencia
Desarrollando los cuadrados se obtiene
x2 + y2 − 2hx − 2ky + h2 + k2 − r2 = 0,
que es la forma desarrollada de la ecuación de la circunferencia.
En general, la ecuación de la circunferencia es
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Ejemplo . La ecuación x2 + y2 − 2x+4y +1 = 0 corresponde
a una circunferencia de radio r = 2 y centro en (h, k) = (1,−2),
pues, completando cuadrados, se puede escribir en la forma:
(x − 1)2 + (y + 2)2 = 4.
FCFM. UdeC 18 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Algunas posicionesparticulares
1). La circunferencia con centro en el origen tiene ecuación
x2 + y2 = r2. En particular, la circunferencia x2 + y2 = 1
es la llamada circunferencia unitaria
2). La circunferencia con centro sobre el eje x y tangente al eje y
tiene ecuación :(x − a)2 + y2 = a2.
3). Para la circunferencia que pasa por el origen y con centro en la
bisectriz del primer cuadrante, se tiene h = k y que
r2 = h2 + k2 = 2h2, de donde su ecuación es:
(x−h)2 +(y−h)2 = 2h2 ⇐⇒ x2 +y2−2h(x+y) = 0.
FCFM. UdeC 19 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.4 Parábola
Se llama par ábola al lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto dado y de una recta dada. El punto dado se
llama foco de la parábola y la recta dada se llama directriz de la
parábola. El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice
de la parábola. La recta por el foco y perpendicular a la directriz es
el eje de la par ábola (o eje de simetrı́a).
FCFM. UdeC 20 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la Par ábola
Ubiquemos el sistema de coordenadas de modo que el eje x pase
por el foco F y sea perpendicular a la directriz D, y que el eje y
pase por el punto medio entre el foco y la directriz, como se
muestra en la Figura 2, entonces
y2 = 4px, p > 0
es la ecuaci ón normal de la par ábola , o ecuación de la parábola
con vértice en el origen y abierta hacia la derecha.
FCFM. UdeC 21 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
La Par ábola
–3
–2
–1
1
2
3
y
–2 –1 1 2
x
–2
–1
1
2
y
–3 –2 –1 1 2 3
x
D
x = −p
F (p, 0)
Dy = −p
F (0, p)
Figure 2: Parábola y2 = 4px Parábola x2 = 4py.
FCFM. UdeC 22 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Parábolas trasladadas
Si el vértice de la parábola está en el punto V (a, b) en vez del
origen se tienen cuatro casos, en correspondencia con los cuatro
casos anteriores. Sus respectivos focos, directrices y ecuaciones
son:
F (a+p, b) D : x = a−p (y−b)2 = 4p(x−a), p > 0.
F (a−p, b) D : x = a+p (y−b)2 = −4p(x−a), p > 0.
F (a, b+p) D : y = b−p (x−a)2 = 4p(y−b), p > 0.
F (a, b−p) D : y = b+p (x−a)2 = −4p(y−b), p > 0.
FCFM. UdeC 23 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.5 La Elipse
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos del plano tales
que, para cada uno de ellos, la suma de sus distancias a dos
puntos fijos es constante. Tales puntos fijos se llaman focos de la
elipse.
FCFM. UdeC 24 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la Elipse
Tracemos el eje x por los focos F1 y F2, y el eje y por el punto
medio entre los focos (Figura 3a). Llamemos 2c, c > 0 a la
distancia entre los focos. Sea P (x, y) un punto cualquiera del
lugar geométrico pedido, y llamemos PF1 = d1 y PF2 = d2.
Entonces se tiene d1 + d2 = 2a. Se observa que 2a > 2c; es
decir a > c. Entonces, tenemos que los puntos del lugar
geométrico satisfacen:
√
(x − c)2 + (y − 0)2 +
√
(x + c)2 + y2 = 2a.
De aquı́, la ecuaci ón de la elipse centrada en el origen es
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
FCFM. UdeC 25 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
La Elipse
–2
–1
0
1
2
y
–4 –2 2 4
x
–4
–2
0
2
4
y
–3 –2 –1 1 2 3
x−c c
Figure 3: Elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 Elipse x
2
9
+ y
2
25
= 1.
FCFM. UdeC 26 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
La Elipse
Si los focos se ubican sobre el eje y, en vez del eje x, con el centro
de la elipse siempre en el origen, entonces se obtiene la ecuación
x2
b2
+
y2
a2
= 1.
Elipses trasladadas .
Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (h, k), en vez del
origen, se obtienen las siguientes ecuaciones, en correspondencia
con los dos casos anteriores:
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1;
(x − h)2
b2
+
(y − k)2
a2
= 1
FCFM. UdeC 27 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.6 La Hip érbola
Se llama hip érbola al lugar geométrico de los puntos del plano
tales que, para cada uno de ellos, la diferencia de distancias a dos
puntos fijos es una constante positiva. Tales puntos fijos se llaman
focos de la hipérbola.
Con el objeto de obtener la ecuación, tracemos el eje x por los
focos F1 y F2 y el eje y por el punto medio entre los focos, tal
como se muestra en la Figura. Llamemos 2c, c > 0, a la distancia
entre los focos y 2a a la diferencia de distancias de la definición.
FCFM. UdeC 28 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
La Hip érbola
Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico pedido. De
la definición se tiene que d1 − d2 = 2a, o bien d2 − d1 = 2a, de
modo que |d1 − d2| = 2a, o equivalentemente d1 − d2 = ±2a.
Ası́ tenemos que los puntos del lugar geométrico satisfacen:
√
(x − c)2 + (y − 0)2 −
√
(x + c)2 + y2 = ±2a.
Desarrollando se obtiene la ecuaci ón de la hip érbola centrada en
el origen
x2
a2
−
y2
b2
= 1.
FCFM. UdeC 29 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Ecuaci ón de la Hip érbola
–4
–2
0
2
4
y
–8 –6 –4 –2 2 4 6 8
x
–4
–2
0
2
4
y
–4 –2 2 4
x−c c
Figure 4: Hipérbola x
2
a2
− y
2
b2
= 1 Hipérbola y
2
4
− x
2
9
= 1.
FCFM. UdeC 30 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
La Hip érbola
Si los focos se ubican sobre el eje y, en vez del eje x, con el centro
de la hipérbola siempre en el origen, entonces se obtiene la
ecuación
y2
a2
−
x2
b2
= 1.
Ahora las ası́ntotas son las rectas y = a
b
x e y = −a
b
x.
Por ejemplo , la ecuación y
2
4
− x
2
9
= 1 es una hipérbola y sus
ası́ntotas son: y = 2
3
x e y = − 2
3
x
FCFM. UdeC 31 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
La Hip érbola
Hipérbolas trasladadas .
Si el centro de la hipérbola se encuentra en el punto (h, k), en vez
del origen, se obtienen las siguientes ecuaciones, en
correspondencia con los dos casos anteriores:
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1
y
(y − k)2
a2
−
(x − h)2
b2
= 1.
Ejemplo. La hipérbola centrada en (1,2) de ecuación
x2 − 4y2 − 2x + 16y − 19 = 0.
FCFM. UdeC 32 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.7 Curvas en el plano
Una curva C en el plano corresponde, en general, a una ecuación
F (x, y) = 0 en dos variables, x e y. En rigor, la curva
corresponde al conjunto de puntos (x, y) que satisfacen la
ecuación o que son soluciones de la ecuación.
Para el trazado de una curva C conviene determinar:
1). el dominio de definici ón de la ecuación, que corresponde a
los valores de la variable x para los cuales la ecuación tiene
sentido en R, y que indica los intervalos del eje x en que existe
la gráfica.
FCFM. UdeC 33 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Curvas en el plano
2). el recorrido de la ecuaci ón , que consiste en los valores de la
variable y correspondientes a los valores de x del dominio, y
que indica los intervalos del eje y donde existe la gráfica.
3). las intersecciones con los ejes :
– los puntos (x, 0) de intersección de C con el eje x, para lo
cual basta hacer y = 0 en la ecuación.
– los puntos (0, y) de intersección de C con el eje y, para lo
cual basta hacer x = 0 en la ecuación.
FCFM. UdeC 34 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
Curvas en el plano
4). posibles simetrı́as , para lo cual hay que considerar que:
– hay simetrı́a con respecto al eje x si la ecuación no se
altera al cambiar y por −y.
(x, y) ∈ C =⇒ (x,−y) ∈ C .
– hay simetrı́a con respecto al eje y si la ecuación no se
altera al cambiar x por −x.
(x, y) ∈ C =⇒ (−x, y) ∈ C .
– hay simetrı́a con respecto al origen si la ecuación no se
altera al cambiar simultáneamente x por −x e y por −y.
(x, y) ∈ C =⇒ (−x,−y) ∈ C .
FCFM. UdeC 35 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.
1.8 Regiones en el plano
Una región del plano corresponde, en general, a una inecuación o a
un sistema de inecuaciones, en dos variables, x e y.
Una inecuación en las variables x e y queda expresada en una de
la siguentes formas: F (x, y) > 0 (o F (x, y) ≥ 0) o bien
F (x, y) < 0 (o F (x, y) ≤ 0).
El caso lı́mite entre ambas situaciones es la curva F (x, y) = 0.
Esta curva es la frontera entre las regiones R1 ⊆ R
2, donde se
satisface F (x, y) > 0 y R2 ⊆ R
2, donde se satisface
F (x, y) < 0.
FCFM. UdeC 36 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.Regiones en el plano
A efectos de resolver gráficamente estas inecuaciones,
observamos que , basta determinar la desigualdad que satisface un
punto en la región R1 (o en la región R2), para asegurar que en
toda esa región se verificará la misma desigualdad, y en la otra
región se verifica la desigualdad contraria.
Ejemplo . La región y > |x − 1|.
FCFM. UdeC 37 . ACQ/MOS/GAC/MWC/LNB/MSS/FLG/ESF.