aplintegral

Vista previa del material en texto

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1
1 Aplicaciones de la integral.-
Antes de abordar las variadas aplicaciones para el concepto de integral daremos
la definición más general de esta noción, la cual no requiere considerar solamente
funciones continuas.
Se conoce como la Integral de Riemann.
1.1 Definición de la Integral de Riemann.-
Sea f : [a, b]→ R.
Dada una partición P : a < x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b del intervalo [a, b]
se escoje x̂k ∈ [xk−1, xk] (un punto en cada subintervalo). Esto permite definir una
suma de Riemann de f , asociada a la partición P por
S (f, P ) =
n∑
k=1
f (x̂k)∆xk
Por ejemplo, con f (x) =
√
x4 + 1, 0 ≤ x ≤ 2
0 1 2
0
1
2
3
4
x
y
podemos construir la suma de Riemann:
con una partición que determine 20 subintervalos de igual longitud y escojiendo el
punto medio de cada subintervalo
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0
1
2
3
4
x
y
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 2
la cual tiene un valor de 1
10
19∑
k=0
√(
1
10
k + 1
20
)4
+ 1 ≈ 3. 651 9
Para una partición P dada, llamamos norma de la partición a la longitud del
subintervalo más largo, la cual se denota ‖P‖ .
O sea, ‖P‖ = max {∆xk : 1 ≤ k ≤ n} .
Que ‖P‖ < δ, significa que para todos los subintervalos: ∆xk < δ.
Un caso particular se tiene cuando todos los subintervalos tienen la misma lon-
gitud. La partición se denomina regular y se tiene que ∆xk =
b−a
n
para todo k
y
‖P‖ = b− a
n
y por tanto,
‖P‖ → 0 ⇔ n→∞
Para una partición general
b− a
‖P‖ ≤ n
luego
‖P‖ → 0 ⇒ n→∞
y el recíproco no vale.
Definición 1 Se dice que f es integrable Riemann en [a, b] cuando existe un L ∈ R
que verifica:
Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que
∀ partición P : ‖P‖ < δ ⇒
∣∣∣∣∣
L−
n∑
k=1
f (x̂k)∆xk
∣∣∣∣∣
< ε
cualquiera sea la elección de x̂k ∈ [xk−1, xk]
Esta condición significa que
lim
‖P‖→0
n∑
k=1
f (x̂k)∆xk = L
El valor de este límite se llama la integral de f en el intervalo [a, b] y se escribe
∫ b
a
f (x) dx = lim
‖P‖→0
n∑
k=1
f (x̂k)∆xk
Teorema 2 Toda función continua en [a, b] es integrable en [a, b] .
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 3
La clase de funciones integrables en [a, b] es más amplia que la indicada en
el teorema anterior. Se puede probar que también son integrables las funciones
continuas por tramos.
Una función f es continua por tramos (o seccionalmente continua) en el intervalo
[a, b] , cuando ella es continua en todo punto del intervalo, con la posible excepción
de un número finito de puntos t1, t2, ..., tk donde los límites laterales deben existir.
Por ejemplo,
f (x) =



x2 si 0 ≤ x < 2
3− x si 2 ≤ x ≤ 4
x3e−x si 4 < x ≤ 6
-1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
x
y
La integral se calcula en este caso como
∫
6
0
f (x) dx =
∫
2
0
x2dx +
∫
4
2
(3− x) dx +
∫
6
4
x3e−xdx
=
8
3
+ 0− 366e−6 + 142e−4
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 4
1.2 Area entre curvas.
Sea R la región del plano descrita por
a ≤ x ≤ b
g (x) ≤ y ≤ f (x)
donde f, g : [a, b]→ R son continuas.
Por ejemplo,
-0.50-0.25 0.250.500.751.001.251.50
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Para calcular el área de R tomamos una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b
de [a, b] y elejimos x̂k ∈ [xk−1, xk] . Sobre cada subintervalo [xk−1, xk] , consideramos
el rectángulo de área
[f (x̂k)− g (x̂k)]∆xk
La suma
n∑
k=1
[f (x̂k)− g (x̂k)]∆xk
es una suma de Riemann de la función f (x)− g (x) .
Ahora cuando ‖P‖ → 0, los rectángulos van “llenando” la región R, como tam-
bién las sumas de Riemann se aproximan al valor de la integral de la función. Por
esto
A (R) =
∫ b
a
[f (x)− g (x)] dx
Ejemplo 3 Encuentre el área de la región acotada por las parábolas y = x2 e
y = 2x− x2.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 5
-1 1 2
-1
1
2
x
y
A (R) =
∫
1
0
(2x− x2 − x2) dx = 1
3
Ejemplo 4 Encuentre el área de la región encerrada por la recta y = x − 1 y la
parábola y2 = 2x + 6
-4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
y
Primero se determinan los puntos de intersección de las dos curvas, para obtener
(−1,−2) y (5, 4) .
En este caso es más conveniente considerar la región R en la forma
−2 ≤ y ≤ 4
y2 − 6
2
≤ x ≤ y + 1
de donde resulta, A (R) =
∫
4
−2
(
y + 1− y2
2
+ 3
)
dy = 18.
Observación.- En el último ejemplo se ha trabajado con y como variable inde-
pendiente y x como variable dependiente.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 6
1.3 Volúmenes de sólidos.
Primero consideraremos sólidos de revolución, según los casos que se discuten a
continuación:
1.3.1 Método del disco.
En el caso más simple, considere f : [a, b] → R continua y no negativa. Sea R la
región del plano bajo la curva y = f (x) y sobre el intervalo [a, b] , como se describe
en la figura siguiente:
Si se considera el plano xy contenido en el espacio 3-D xyz, podemos rotar (o
girar) la región R alrededor del eje x para generar un sólido de revolución.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
y
2,0
1,5
2
x
1,0
-2
1
0,5
-1z
0,0
00
1
2
-1y
-2
¿Cómo calcular el volumen de este sólido?
Al considerar una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b de [a, b] y
elegir x̂k ∈ [xk−1, xk], asumimos que f es constante, de valor f (x̂k) en [xk−1, xk] . El
rectángulo Rk de base [xk−1, xk] y altura f (x̂k) gira alrededor del eje x generando
un disco de volumen
Vk = πf (x̂k)
2∆xk
2
2,01,5
1
x
-2
1,00,5
-1z
0,0
00
1
2
-1y
-2
La suma de estos volúmenes es la suma
de Riemann
n∑
k=1
πf (x̂k)
2∆xk
para la función h (x) = πf (x)2 . Ella deter-
mina el volumen del sólido que se muestra al
lado
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 7
Ahora bien, cuando la norma de la partición P tiende a cero, estas sumas de
Riemann convergen a la integral
∫ b
a
πf (x)2 dx
como también el sólido determinado por estos discos se aproxima al sólido de
revolución considerado. Por esto, el volumen de nuestro sólido de revolución se
calcula mediante la fórmula
V = π
∫ b
a
f (x)2 dx
Ejemplo 5 Sea R la región del plano bajo la curva y = x2, sobre el intervalo [0, 1] .
Calcule el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje x.
0,9
-1,1
-0,6
0,0-0,1-0,1
0,4
x
0,5
0,9
1,0
z
y
-1,1
Ejemplo 6 Deduzca la fórmula para calcular el volumen de un cono de radio basal
r y altura h.
Lo mismo para un tronco de cono de radios r1 < r2 y altura h.
Es intuitivamente claro que en el caso más general de f, g : [a, b] → R, con
0 ≤ f (x) ≤ g (x) , ∀x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
y
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 8
la región R : a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g (x); gira alrededor del eje x generando un
sólido cuyo volumen se calcula con la fórmula
V = π
∫ b
a
[
g (x)2 − f (x)2
]
dx
Ejemplo 7 Mediante una broca, un mecánico perfora un agujero a través del centro
de una esfera de metal de 5 cms. de radio. Teniendo el agujero un radio de 3 cms.
¿Cúal es el volumen del anillo resultante?
5,0
-4 2,5
x
-2
-5,0
z-2,5
0,0
0,00
2,5
5,0
2
y
-2,5 4
-5,0
Con g (x) =
√
25− x2 y f (x) = 3, para
x ∈ [−5, 5], sus gráficas corresponden a la
semicircunferencia superior de centro el ori-
gen y radio 5 y a la recta horizontal y = 3.
Ellas se intesectan en los puntos (−4, 3) y
(4, 3) .
Si se gira alrededor del eje x la región
R encerrada por ambas curvas, se genera el
anillo cuyo volumen queremos calcular.
Por tanto, su volumen está dado por
V = π
∫
4
−4
[(√
25− x2
)2
− 32
]
dx
= π
∫
4
−4
(
16− x2
)
dx
=
256
3
π = 268. 08 cm3
1.3.2 Método del anillo
Ahora se considerará una región R de la forma R : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x),
con f continua y no negativa en [a, b] .
Note que la región R queda situada en el primer cuadrante.
Al girar R alrededor del eje y se genera un sólido de revolución, cuyo volumen
queremos calcular.
Para esto primero se aproximará el sólido por la figura formada por los anillos
cilíndricos que se describen a continuación:
Dada una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b de [a, b] se elige x̄k ∈
[xk−1, xk]punto medio del intervalo, y asumimos que f es constante, de valor f (x̄k)
en [xk−1, xk] . El rectángulo Rk de base [xk−1, xk] y altura f (x̄k) gira alrededor del
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 9
eje y generando un anillo cilíndrico de volumen
Vk = πx
2
k f (x̄k)− πx2k−1 f (x̄k)
= π
(
x2k − x2k−1
)
f (x̄k)
= 2π
(
xk + xk−1
2
)
f (x̄k) ·∆xk
= 2π x̄k f (x̄k) ·∆xk
La suma de estos volúmenes es una suma de Riemann
n∑
k=1
2π x̄k f (x̄k) ·∆xk
para la función h (x) = 2πxf (x) .
Ya hemos mencionado que al escoger particiones con norma cada vez más pe-
queña, o sea ‖P‖ → 0, estas sumas convergen a la integral
∫ b
a
2πxf (x) dx. Por lo
tanto, el volumen del sólido se obtiene de
V = 2π
∫ b
a
x f (x) dx
Ejemplo 8 Sea R la región del plano bajo la curva y = x2, sobre el intervalo [0, 1] .
Calcule el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y.
2π
∫
1
0
x3dx = 1
2
π = 1. 570 796 326 794 896 619 231 321 691 64
El caso más general se obtiene de la región R : 0 ≤ a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g (x),
con f, g funciones continuas en [a, b] . Al rotar R alrededor del eje y se genera un
sólido de revolución cuyo volumen se calcula en la fórmula
V = 2π
∫ b
a
x [g (x)− f (x)] dx
Ejemplo 9 Sea R la región determinada por 0 ≤ x ≤ 1, 3x ≤ y ≤ 4− x2. Calcule
el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y.
2π
∫
1
0
x (4− x2 − 3x) dx = 3
2
π = 4. 712 388 980
Ejemplo 10 Sea R la región correspondiente al círculo de centro (4, 0) y radio 1.
Calcule el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje y.
Si se considera sólo la circunferencia rotando alrededor del eje y se genera una
superficie de revolución llamada Toro. Vamos a calcular el volumen de la región
encerrada por el toro.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 10
De la simetría de la figura bastaría considerar el semicírculo superior. O sea
R1 : 3 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ f (x) ≤
√
1− (x− 4)2
V = 2 · 2π
∫
5
3
x
√
1− (x− 4)2dx
= 8π2
Observación 11 En el trabajo presentado con los dos métodos anteriores puede
quedar la idea que el método del disco es para rotaciones alrededor del eje x y el
método del anillo para rotaciones alrededor del eje y. En realidad todo depende de
cómo se describa la región R que va a rotar alrededor de un eje. El siguiente ejemplo
ilustra las posibilidades.
Ejemplo 12 Sea R la región del primer cuadrante encerrada por la curva y =
√
2x
y la curva y = 1
4
x3. Escriba las fórmulas integrales para calcular el volumen del
sólido generado al rotar R alrededor del eje x, usando:
a) Método del disco.
b) Método del anillo.
También se pueden considerar rotaciones de R con respecto a otras rectas hori-
zontales o verticales.
Ahora para sólidos que no necesariamente correspondan a sólidos de revolución.
1.3.3 Método de la sección transversal.
Sea D un sólido 3-d entre los planos x = a y x = b de manera que la intersección de
éste con cada plano perpendicular al eje x, pasando por el punto x, determina una
región plana de área A (x).
Considere además que la función x→ A (x) es continua en el intervalo [a, b] .
Se puede deducir entonces que el volumen del sólido D está dado por
V =
∫ b
a
A (x) dx
Ejemplo 13 Deduzca la fórmula para calcular el volumen de una pirámide de base
cuadrada de lado a y altura h.
Resp.- a
2
h2
∫ h
0
(h− y)2 dy = 1
3
a2h
1.4 Longitud de arco
Consideraremos los casos de curvas en el plano xy que corresponden a gráficas de
funciones y = f (x), como también para curvas definidas en forma paramétrica.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 11
1.4.1 Caso gráficas de funciones
Sea f : [a, b] → R de clase C1 (o sea, f ′ es continua) y sea C la curva de ecuación
y = f (x) .
Al considerar una partición P : a = x0 < x1 < .... < xn = b de [a, b], la poligonal
formada por los puntos (x0, f (x0)) , ..., (xn, f (xn)) es una aproximación a la curva
C.
Cada segmento de extremos (xk−1, f (xk−1)) y (xk, f (xk)) tiene longitud
lk =
√
(xk − xk−1)2 + (f (xk)− f (xk−1))2
y por TVM existe x̂k ∈ [xk−1, xk] tal que f (xk) − f (xk−1) = f ′ (x̂k) (xk − xk−1) .
Luego,
lk =
√
1 + f ′ (x̂k)
2 ·∆xk
Sumando estas longitudes se obtiene la longitud de la poligonal
n∑
k=1
√
1 + f ′ (x̂k)
2 ·∆xk
que es una suma de Riemann de la función continua h (x) =
√
1 + f ′ (x)2
Por esto, la longitud de la curva se determina de la fórmula
l =
∫ b
a
√
1 + f ′ (x)2dx
Ejemplo 14 Para C : y = 1
6
x3 + 1
2
x−1, 1 ≤ x ≤ 3.
0 1 2 3 4
0
1
2
3
x
y
se tiene
f (x) =
1
6
x3 +
1
2
x−1 ⇒ f ′ (x) = 1
2
x2 − 1
2
x−2
⇒ 1 + f ′ (x)2 = 1 +
(
1
4
x4 − 1
2
+
1
4
x−4
)
⇒ 1 + f ′ (x)2 =
(
1
2
x2 +
1
2
x−2
)2
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 12
y luego
l =
∫
3
1
(
1
2
x2 +
1
2
x−2
)
dx
=
(
1
6
x3 − 1
2
x−1
)
|3
1
=
14
3
1.4.2 Curvas definidas paramétricamente
Cuando se estudia el movimiento de un objeto (idealmente un punto P ) sobre el
plano xy, en cada instante t de un intervalo [a, b] éste se encuentra ubicado en un
punto que describimos como P (t) .
Aparece así una función [a, b] → R2, t �→ P (t) que nos entrega la posición del
objeto en cada instante t. Esta función está determinada por sus componentes
t �→ x (t)
t �→ y (t)
definidas en el intervalo [a, b]. Estas dos funciones se denominan las ecuaciones
paramétricas de la curva o trayectoria descrita por el objeto.
Ejemplo 15 De la trigonometría sabemos que todo punto de la circunferencia uni-
taria
x2 + y2 = 1 (ecuación cartesiana)
se expresa en la forma (cos t, sin t) para algún t ∈ [0, 2π] . Luego, las ecuaciones
paramétricas
x (t) = cos t
y (t) = sin t
con t ∈ [0, 2π] corresponden a la circunferencia unitaria, recorrida una vez en sentido
antihorario.
De forma similar, para a, b > 0 fijas, las ecuaciones paramétricas
x (t) = a cos t
y (t) = b sin t
con t ∈ [0, 2π] corresponden a la elipse x2
a2
+ y
2
b2
= 1.
Ejemplo 16 Si una curva C : y = f (x) , con a ≤ x ≤ b, es la gráfica de la función
f , ella se describe en forma paramétrica por las ecuaciones
x (t) = t
y (t) = f (t)
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 13
con t ∈ [a, b] (usando como parámetro t la misma variable x).
Por ejemplo, el arco de parábola y = x2, entre (0, 0) y (2, 4) se describe en forma
paramétrica por
x = t
y = t2
con t ∈ [0, 2] .
Ejercicio 17 Dos partículas parten en el mismo instante t = 0, la primera a lo
largo de la trayectoria lineal x1 (t) =
16
3
− 8
3
t, y1 (t) = 4t− 5, t ≥ 0 y la segunda a
lo largo de la trayectoria elíptica x2 (t) = 2 sin
1
2
πt, y2 (t) = −3 cos 12πt. Determine
si
a) la trayectorias se cortan.
b) las particulas colisionan.
Longitud de arco Para una curva C dada en forma paramétrica por
x = x (t) , y = y (t)
t ∈ [a, b], donde x, y son de clase c1, su longitud está dada por
l =
∫ b
a
√
x′ (t)2 + y′ (t)2dt
Ejemplo 18 Deduzca la fórmula para calcular la longitud (el perímetro) de una
circunferencia de radio a.
Ejercicio 19 Una cicloide es la curva descrita por un punto P de una circunferen-
cia de radio r a medida que ésta rueda sin resbalar sobre el eje x
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 14
Muestre que las ecuaciones paramétricas de esta curva son
x (θ) = r (θ − sin θ)
y (θ) = r (1− cos θ)
y calcule la longitud de un arco de cicloide, para 0 ≤ θ ≤ 2π.
Resp.-
√
2r
∫
2π
0
√
1− cos θdθ = 8r
Rectas tangentes Para C : x = x (t) , y = y (t)
suponiendo que también C : y = F (x), tenemos y (t) = F (x (t)) y luego dy
dt
=
F ′ (x (t)) dx
dt
y así F ′ (x) = dy/dt
dx/dt
, siempre que dx/dt �= 0
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
También podemos calcular la segunda derivada de y con respecto a x usando la
fórmula anterior para dy
dx
:
d2y
dx2
=
d
dt
(
dy
dx
)
dx
dt
Ejemplo 20 Determine dy
dx
y d
2y
dx2
para la cicloide x = r (t− sin t) . y = r (1− cos t).
Encuentre la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la cicloide en el punto
en que t = π/3
Areas Para una curva y = F (x) , positiva, con a ≤ x ≤ b, el área bajo la curva
está dada por
A =
∫ ba
F (x) dx
Ahora si la curva también está dada por las ecuaciones paramétricas x = x (t) , y =
y (t) y se recorre una vez de izquierda a derecha cuando t crece de α a β, entonces
mediante el cambio de variables
x = x (t)
dx = x′ (t) dt
la fórmula anterior queda
A =
∫ β
α
y (t) x′ (t) dt
Ejemplo 21 Calcule el área de uno de los arcos de la cicloide x = r (t− sin t) , y =
r (1− cos t) .
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 15
1.5 Area de superficie de revolución
Sea C una curva en el semiplano superior con parametrización
x = x (t) , y = y (t) , a ≤ t ≤ b
de clase C1. C curva simple, esto es, la curva no se corta a sí misma.
Al girar C alrededor del eje x, se genera una superficie de revolución cuya área
está dada por
A =
∫ b
a
2πy (t)
√
x′ (t)2 + y′ (t)2dt
Ejemplo 22 Deduzca la fórmula que calcula el área de la superficie de una esfera
de radio r.
Al rotar la curva C : x (t) = r cos t, y (t) = r sin t, con t ∈ [0, π] , alrededor del
eje x se genera la esfera. Luego su área es
A = 2π
∫ π
0
r2 sin tdt = 4πr2
Para el caso de una curva Ċ : y = f (x) con a ≤ x ≤ b , f de clase C1, ésta se
parametriza por
x = t, y = f (t)
y la fórmula para el área de la superficie de revolución queda:
A =
∫ b
a
2πf (t)
√
1 + f ′ (t)2dt
Ejemplo 23 Calcular el área de la superficie generada al rotar alrededor del eje x
la curva C : y = x3, con 0 ≤ x ≤ 1.
Aquí f (x) = x3 y f ′ (x) = 3x2. Luego,
A = 2π
∫
1
0
x3
√
1 + (3x2)2dx
= 2π
(
5
27
√
10− 1
54
)
= 3. 563 1
Queda de ejercicio deducir las fórmulas para el cálculo del área de la superficie
de revolución cuando la rotación es alrededor del ejey.
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 16
1.6 Coordenadas polares.
Para construir el sistema de coordenada polares del plano, elejimos un punto O que
llamamos polo y un rayo horizontal con origen en el polo y hacia la derecha, como
se ve en la figura, llamado eje polar
O
A partir de ahí, a cada punto P del plano le podemos asignar las coordenadas
polares (r, θ) donde:
• r es la distancia del punto P al polo O. (r ≥ 0).
• θ es la medida del ángulo, en sentido antihorario, desde el eje polar al segmento
OP.
O
P
θ
r
Es claro que el ángulo θ no está determinado de manera única. De hecho, si (r, θ) son
coordenadas polares del punto P , también lo son los pares (r, θ + 2nπ), con n ∈ Z.
Para la representación gráfica en coordenadas polares es útil localizar los puntos
con respecto a una red de circunferencias con centro en el polo y rectas radiales que
parten del polo
O
r=4
θ =π/6
(4,π/6)
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 17
Geométricamente es evidente que r = a (a > 0 constante) representa una cir-
cunferencia de centro el origen y radio a, como también la ecuación θ = b (b ∈ R
constante) representa un rayo que parte del polo.
Además convendremos que, un punto P con coordenadas polares (r, θ), también
tiene coordenadas polares (−r, θ + π) y (−r, θ + (2n + 1) π), con n ∈ Z. La primera
coordenada polar negativa debe entenderse en el sentido que la distancia |−r| se
mide en dirección contraria al rayo determinado por θ + π.
1.6.1 Relación entre las coordenadas cartesianas y polares
Para un punto P el plano con coordenadas cartesianas (x, y), la trigonometría nos
indica que sus coordenadas polares (r, θ) deben verificar
x = r cos θ
y = r sin θ
x
y
r
θ
P
Recuerde que un punto P tiene un único par de coordenadas rectangulares (x, y)
y un número infinito de coordenadas polares (r, θ) .
De hecho, dado el par (x, y) , con x > 0, se despeja r, θ en las ecuaciones anteriores
como
r =
√
x2 + y2
θ = arctan
(y
x
)
donde r > 0 y θ ∈
]
−π
2
, π
2
[
Por ejemplo, el punto P de coordenadas rectangulares
(
1,
√
3
)
tiene coordenadas
polares
r =
√
1 + 3 = 2
θ =
π
3
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 18
como también
(
2,
π
3
+ 2nπ
)
, n ∈ Z
(
−2, π
3
+ (2n + 1) π
)
, n ∈ Z
1.6.2 Gráficas en coordenadas polares.
Ciertas curvas definidas mediante ecuaciones cartesianas F (x, y) = 0 pueden ser
representadas de manera más simple en coordenadas polares:
1. Circunferencia de centro el origen y radio a: Ecuación cartesiana x2+y2 = a2.
Al reemplazar x = r cos θ, y = r sin θ, la ecuación queda
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ = a2
r2 = a2
r = a
Obs.- r = −a no agrega puntos a la ecuación anterior.
Un detalle importante es que la curva completa se “dibuja” tomando θ ∈
[0, 2π] .
r = 1
-1 1
-1
1
x
y
2. Con a > 0 fijo, la ecuación x2 + y2 = 2ax que equivale a
(x− a)2 + y2 = a2
es una circunferencia de centro en (a, 0) y radio a. Su ecuación polar es
r2 = 2ar cos θ
r (r − 2a cos θ) = 0
r = 2a cos θ
Obs.- r = 0 corresponde sólo al polo O, que también aparece en r = 2a cos θ
para θ = π
2
.
Note que la curva se obtiene tomando θ ∈
[
−π
2
, π
2
]
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 19
r = 2 cos θ
0.5 1.0 1.5 2.0
-1
0
1
x
y
3. Queda de ejercicio repetir el análisis anterior para
x2 + y2 = 2ay
que en forma polar corresponde a
r = 2a sin θ
r = 2 sin θ
-1 0 1
1
2
x
y
Haciendo uso del sistema de coordenadas polares es posible representar “nuevas”
curvas mediante sus ecuaciones polares:
4 sin θ
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 20
1. Cardioide.- r = 1 + cos θ
Como coseno es de periodo 2π, para dibujar toda la curva basta considerar el
intervalo [0, 2π].
Además, como coseno es par, esto es cos (−θ) = cos θ, cada punto (r, θ) de
la curva tiene su simétrico con respecto al eje polar (r,−θ) en la curva. Esto
permitiría graficar sólo en el intervalo [0, π] y copiar la curva bajo el eje x.
Por último, conocemos el comportamiento de cos θ y de 1 + cos θ en este
intervalo, en azúl y rojo respectivamente. La última determina el radio para
cada θ.
1 2 3
-1
0
1
2
x
y
En consecuencia, tenemos el gráfico de la ecuación r = 1 + cos θ , en [0, π] y
en [0, 2π]
1 2
-1
1
x
y
1 2
-1
1
x
y
Esta curva se llama cardioide.
2. Caracol.- r = 1
2
+ cos θ.
Valen las mismas observaciones sobre periodicidad y simetría del ejercicio an-
terior.
Ahora el comportamiento de 1
2
+cos θ en [0, π] se describe en la gráfica siguiente:
1 2 3
0
1
x
y
Note que: 1
2
+ cos θ = 0 ⇔ θ = 2
3
π
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 21
y que 1
2
+ cos θ < 0 para 2π
3
< θ ≤ π. Luego, para este intervalo la curva se
dibuja en el cuarto cuadrante (opuesto al segundo).
En consecuencia, tenemos el gráfico de la ecuación r = 1
2
+ cos θ , en [0, π] y
en [0, 2π]
0.5 1.0 1.5
-0.5
0.0
0.5
x
y
0.5 1.0 1.5
-0.5
0.0
0.5
x
y
3. Rosa de tres pétalos.- r = sin 3θ
Basta graficar en el intervalo [0, 2π], porque sin (θ + 2π) = sin θ.
Como sin (−3θ) = − sin 3θ, por cada punto (r, θ) de la curva también está el
punto (−r,−θ) = (r, π − θ) . Lo que muestra que la curva es simétrica con
respecto al eje y (cartesiano).
-0.8-0.6-0.4-0.2 0.20.4 0.6 0.8
-1.0
-0.5
0.5
x
y
1.6.3 Area en coordenadas polares
Sea f : [α, β]→ R continua y positiva, de manera que se puede considerar la región
R del plano caracterizada en coordenadas polares por: α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ r ≤ f (θ)
θ = α
θ = β
r = f (θ )
O
R
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 22
¿Cómo calcular el área de R?
Se da una partición P : α = θ0 < θ1 < ... < θn = β del intervalo [α, β] y se elije
θ̂k ∈ [θk−1, θk] (en cada subintervalo).
Si se supone que en cada subintervalo [θk−1, θk], la función f tiene un valor
constante dado por f
(
θ̂k
)
, se obtiene una región que es un sector circular de área
1
2
f
(
θ̂k
)2
·∆θk
sector circular de radio f
(
θ̂k
)
y ángulo ∆θk = θk − θk−1.
Al sumar todas esta áreas se obtiene la suma de Riemann
n∑
k=1
1
2
f
(
θ̂k
)2
·∆θk
para la función h (θ) = 1
2
f (θ)2 .
Como ya sabemos, al tomar particiones P con ‖P‖ → 0 las sumas anteriores
convergen a la integral ∫ β
α
1
2
f (θ)2 dθ
∫ π/2
0
1
2
θ2dθ = 1
48
π3 = 0.645 96También, geometricamente,los sectores circulares van
aproximando a la región R. Por esto, su área está dada por
A (R) =
1
2
∫ β
α
f (θ)2 dθ
Ejemplo 24 Calcule el área de la región R del primer cuadrante encerrada por la
cardioide r = 1 + cos θ
0.5 1.0 1.5 2.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
A (R) = 1
2
∫ π/2
0
(1 + cos θ)2 dθ = 3
8
π + 1 ≈ 2. 178
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 23
Se puede considerar una situación más general en que R está definida por
α ≤ θ ≤ β
0 ≤ f (θ) ≤ r ≤ g (θ)
θ = α
θ = β
r = f (θ )
O
R
r = g (θ )
donde el área está dada por
A (R) =
1
2
∫ β
α
[
g (θ)2 − f (θ)2
]
dθ
Ejemplo 25 Calcular el área de la región interior a r = 1 y fuera de r = 1− cos θ
Ejemplo 26 Para la ecuaciones en forma polar: r2 = 2 sin 2θ y r = 1, cuyas
gráficas son:
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
1. (a) Determine en forma analítica el ángulo correspondiente a cada punto de
intersección de las curvas.
Las intersecciones están dadas en puntos que corresponden a 2 sin 2θ = 1.
Así se debe resolver
sin 2θ =
1
2
Las soluciones son: 2θ = π
6
+ 2kπ y 2θ = 5π
6
+ 2kπ, con k ∈ Z.
Los cuatro puntos de la figura se obtienen con (k = 0) θ = π
12
, θ =
5π
12
, (k = 1) θ = 13π
12
, θ = 17π
12
Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 24
(b) Siendo R1 y R2 las regiones interiores a las curvas dadas, calcule el área
de la intersección R1 ∩R2.
Usando simetría
A = 4
[
1
2
∫ π/12
0
2 sin 2θdθ +
1
2
∫ π/4
π/12
dθ
]
= 4
[
−1
4
√
3 +
1
2
+
1
12
π
]
= 2−
√
3 +
π
3