EDO SERIE DE POTENCIAS

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Tema 5.- SOLUCIONES EN SERIES DE
POTENCIAS DE E.D.O. LINEALES
Ampliación de Matemáticas. Curso 2003-04
I. T. I. Especialidades en Mecánica y Electrónica Industrial.
1 Introducción
Hasta ahora hemos resuelto, principalmente, ecuaciones diferenciales lineales de segundo
orden o de orden superior, cuando las ecuaciones tenían coeficientes constantes. Sin
embargo, en las aplicaciones, se puede observar que las ecuaciones lineales con coeficientes
variables tienen la misma importancia, si no más, que las de coeficientes constantes, y que
ecuaciones sencillas de segundo orden, como por ejemplo y00+xy = 0, no tienen soluciones
expresables en términos de funciones elementales. Por esta razón vamos a dedicar este
tema a la búsqueda de soluciones linealmente independientes que vienen representadas
por lo que se denominan series de potencias.
Así, en la primera parte del tema introduciremos algunas nociones y propiedades de
las series de potencias para posteriormente, observar una de sus aplicaciones importantes
como es la obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Previamente,
antes de definir y estudiar las propiedades elementales de las series de potencias, daremos
algunos conceptos y resultados básicos relativos a las series numéricas que nos serán
necesarios para abordar el estudio de las series de potencias.
2 Series numéricas
Se llama serie de números reales a todo par ordenado ({an}, {Sn}) en el que {an} es una
sucesión de números reales arbitraria y {Sn} es la sucesión definida por:
S1 = a1
Sn+1 = Sn + an+1 = a1 + · · ·+ an+1 para todo n ∈ N.
A {an} se le llama término general de la serie mientras que a la sucesión {Sn} se
llamará sucesión de sumas parciales de la serie. En adelante denotaremos por
∞P
n=1
an (o
más brevemente
P
an) a la serie de término general {an}.
Se dice que la serie de números reales
P
an es convergente cuando su sucesión de sumas
parciales es convergente (esto es, cuando su sucesión de sumas parciales tiene límite finito),
1
en cuyo caso el límite de la sucesión de sumas parciales recibe el nombre de suma de la
serie y se le representa por
∞X
n=1
an = lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
(a1 + · · ·+ an).
Cuando la sucesión de sumas parciales no es convergente (esto es, no tenga límite o bien
el límite sea ±∞), diremos que la serie es divergente, en cuyo caso no hablaremos de suma
de la serie.
Ejemplos:
1) Se denomina serie geométrica de razón r y primer término a, siendo a y r dos
números reales no nulos, a la
∞X
n=1
arn−1 = a+ ar + ar2 + · · ·
Esta serie es convergente si y sólo si | r |< 1. En efecto, para r 6= 1, se tiene:
Sn = a+ ar + . . .+ ar
n−1 =
arn − a
r − 1
y por tanto,
a) Cuando | r |< 1, entonces lim Sn = a
1− r y la serie es convergente indepen-
dientemente del valor de a siendo su suma
a
1− r .
b) Cuando | r |> 1, la serie es divergente ya que
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
a
rn − 1
r − 1 =

+∞ si r > 1 y a > 0
−∞ si r > 1 y a < 0
no existe si r < −1
c) Cuando r = −1, como la sucesión de sumas parciales es a, 0, a, 0, . . . y el número
a es no nulo, entonces la serie es divergente.
d) En el caso r = 1, se tiene que Sn = a · n y de ahí que la serie diverja para
cualquier valor de a.
2) La serie
P 1
n
se denomina serie armónica. Dicha serie es divergente pues se verifica
que lim Sn = +∞, ya que, como se puede comprobar, la sucesión de sumas parciales
{Sn} es estrictamente creciente y no está acotada superiormente.
2
3) Para cada número real α, la serie
P 1
nα
recibe el nombre de serie armónica de orden
α. El estudio de la convergencia de esta serie pone de manifiesto que, para α ≤ 1,
dicha serie es divergente y para α > 1, la serie es convergente.
Veremos ahora dos propiedades generales de las series numéricas.
Teorema 1 (Condición necesaria de convergencia) Una condición necesaria para
que la serie
P
an sea convergente es que lim an = 0.
Teorema 2 (Propiedad de linealidad) Si las series
P
an y
P
bn son convergentes,
entonces la serie
P
(αan + βbn) con α, β ∈ R es convergente y se cumple:
∞X
n=1
(αan + βbn) = α
∞X
n=1
an + β
∞X
n=1
bn.
A continuación daremos algunos resultados importantes en el estudio de la convergen-
cia de algunos tipos de series.
2.1 Series de términos no negativos
Definición 3 Una serie
P
an tal que an ≥ 0 para todo n ∈ N, se denomina serie de
términos no negativos.
La sucesión de sumas parciales de una serie de este tipo es creciente, luego la serie es
convergente si, y sólo si, la sucesión de sumas parciales está acotada superiormente. Este
hecho hace que las series de términos no negativos sean especialmente fáciles de tratar,
y aunque se dispone de numerosos criterios de convergencia para las mismas, únicamente
veremos los criterios de comparación, de D’Alembert, de Raabe y de Pringsheim.
Teorema 4 (Criterio de comparación)
Si, para las series de números reales no negativos
P
an y
P
bn, se cumple la desigual-
dad
an ≤ bn para todo n ≥ p,
entonces se verifica: si la serie
P
bn es convergente, la serie
P
an es convergente.
Y en consecuencia: si la serie
P
an es divergente, la serie
P
bn es divergente.
Teorema 5 (Criterio de D’Alembert o del cociente) Si
P
an es una serie de
términos positivos tal que existe
lim
n→∞
an+1
an
= λ ∈ R
se verifica:
3
1) Si λ < 1, entonces la serie
P
an es convergente.
2) Si λ > 1, pudiendo ser λ = +∞, entonces la serie Pan es divergente.
3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea
an+1
an
> 1 para todo n a partir de
un cierto p ∈ N en cuyo caso la serie P an es divergente.
Teorema 6 (Criterio de Raabe)Si para la serie de términos positivos
P
an existe el
límite
lim
n→∞
n
µ
1− an+1
an
¶
= λ
entonces:
1) Si 1 < λ ≤ ∞ , la serie converge.
2) Si −∞ ≤ λ < 1, la serie diverge.
3) Si λ = 1 el criterio no afirma nada, salvo que sea n
µ
1− an+1
an
¶
< 1 para todo
n ≥ p en cuyo caso la serie diverge.
Teorema 7 (Criterio de Pringsheim)
Si
P
an es una serie de términos no negativos, y existe un número real α tal que la
sucesión {nαan}converge a un número real positivo, entonces:X
an converge si, y sólo si, α > 1.
2.2 Series alternadas
Definición 8 Las series cuyos términos consecutivos alternan el signo se llaman alter-
nadas. Así, suponiendo an > 0 para todo n ∈ N, las series alternadas aparecen de dos
maneras:
P
(−1)nan ó
P
(−1)n−1an.
Teorema 9 (Criterio de Leibnitz) Una condición suficiente para que converja la serie
alternada
X
(−1)nan es que lim an = 0 y la sucesión {an} sea decreciente.
Salvo en algunos casos particulares, no se conoce la suma S de una serie
P
an supuesta-
mente convergente. Se toma entonces por valor aproximado la suma Sn de sus n primeros
términos. Se comete así un error igual a Rn = S − Sn = an+1 + an+2 + · · ·
En el caso de una serie alternada
P
(−1)nan , con an ≥ 0, que verifique la condición
suficiente del criterio de Leibnitz, se tiene que
|Rn| = |S − Sn| = |an+1 − an+2 + an+3 − · · ·| = an+1 − (an+2 − an+3)− (· · ·)− · · · ≤ an+1
por tanto, el valor absoluto del error cometido al aproximar la suma de la serie por una de
sus sumas parciales es menor o igual que el valor absoluto del primer término despreciado.
4
2.3 Series absolutamente convergentes
Definición 10 Una serie de términos arbitrarios
P
an es absolutamente convergente (ab-
solutamente divergente) cuando la serie de términos no negativos
P |an| es convergente
(divergente).
Teorema 11 Toda serie absolutamente convergente, es convergente.
El recíproco del teorema anterior no es en general cierto. Por ejemplo, la serie de
término general an =
(−1)n
n
es convergente pero no absolutamente convergente.
Definición 12 Las series que son convergentes pero no absolutamente convergentes, se
llaman series condicionalmente convergentes.
3 Series de potencias. Radio e intervalo de conver-
gencia
Una serie de potencias centrada en un punto x0 ∈ R es una expresión de la forma
∞X
n=0
an(x− x0)n = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · ·
donde a0, a1, . . . son constantes reales. La serie anterior también se denomina seriede
potencias de x− x0.
Obsérvese que en las series de potencias adoptaremos el convenio de hacer variar el
índice de la suma desde cero, en lugar de comenzar con 1 como ha sido habitual hasta
ahora, con el objeto de que el subíndice de cada monomio coincida con el grado de éste.
Cuando se toma x0 = 0, se obtiene como caso particular una serie de potencias de x
∞X
n=0
anx
n = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·
Puesto que un simple cambio de variables, tomando como nueva variable x− x0, permite
reducir cualquier serie de potencias considerada a otra análoga con x0 = 0, en lo sucesivo
sólo manejaremos este último caso particular, que abrevia la escritura, sin que ello suponga
restricción a los resultados que obtengamos.
Asociada a dicha serie de potencias tenemos la sucesión de funciones {Sn(x)} definida
así:
Sn(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn
5
que recibe el nombre de sucesión de sumas parciales.
Diremos que la serie
P
anx
n converge (diverge) en un punto c ∈ R cuando la serie
numérica
P
anc
n sea convergente (divergente). Así pues, la serie de potencias es conver-
gente en el punto c cuando existe y es finito lim
n→∞
Sn(c), cuyo valor se llama suma de la
serie en el punto c.
El subconjunto D de R formado por los puntos en los que la serie de potencias es
convergente se denomina dominio de convergencia de la serie, en él es posible definir una
función S : D→ R dada por
S(x) = lim
n→∞
Sn(x)
que se denomina suma de la serie en el conjunto D.
Diremos que la serie
P
anx
n es absolutamente convergente (divergente) en un punto
c ∈ R cuando la serie numéricaP ancn sea absolutamente convergente (divergente).
Teorema 13 (Teorema de Abel)
1) Si una serie de potencias
P
anx
n es convergente en un punto c ∈ R, c 6= 0, entonces
es absolutamente convergente en todo punto del intervalo abierto (− |c| , |c|).
2) Si la serie diverge en un punto d, entonces diverge para todo valor de x tal que
|x| > |d|.
Puesto que toda serie de potencias
P
anx
n es convergente en el punto x = 0, el
teorema anterior nos permite precisar aún más cómo es el dominio de convergencia de
tales series. Así, para toda serie de potencias
P
anx
n se presenta una, y sólo una, de las
tres situaciones siguientes:
1. La serie sólo converge en el origen. Se dice entonces que el radio de convergencia es
R = 0.
2. La serie converge absolutamente en todo R. Se dice que tiene radio de convergencia
R =∞ y que su intervalo de convergencia es I = (−∞,+∞)
3. Existe un número R∗ ∈ R+ tal que la serie es absolutamente convergente en el
intervalo abierto (−R∗, R∗) y diverge en todo punto x ∈ R tal que | x |> R∗. En
este caso el radio de convergencia es R = R∗ y el intervalo de convergencia es
I = (−R∗,+R∗).
En los ejemplos siguientes se comprueba que hay series de potencias con los tres tipos
de radio de convergencia (R = 0, R =∞ y R ∈ R+).
6
Ejemplos:
1) La serie de potencias
X
xn para cada valor de x da lugar a una serie geométrica
de razón x. Por ello es convergente si |x| < 1 y divergente si |x| ≥ 1. Se trata de
una serie con radio de convergencia R = 1. Su intervalo de convergencia es ]− 1, 1[
y en él su suma es 1/(1− x).
2) La serie de potencias
X
n!xn sólo converge en el origen (R = 0), ya que para
cualquier x ∈ R, x 6= 0, la serie numérica
X
n! |x|n es divergente (se puede compro-
bar aplicando el criterio de D’Alembert); luego la serie dada no converge absoluta-
mente en ningún x 6= 0, lo que asegura (¡justifíquese!) que la serie sólo converge en
x = 0.
3) La serie de potencias
∞X
n=1
xn
nn
es absolutamente convergente para cualquier valor real
de x y por tanto su radio de convergencia es R =∞.
4) La serie de potencias
∞X
n=1
xn
n
también es absolutamente convergente para todo x con
|x| < 1, y divergente cuando |x| > 1. Así que su radio de convergencia es 1. Ahora
la serie converge no absolutamente para x = −1 y diverge para x = 1 (armónica).
Su intervalo de convergencia es, por tanto, el intervalo (−1, 1) y su dominio de
convergencia es [−1, 1).
Cálculo del radio de convergencia
Dada una serie de potencias
P
anx
n, se sabe que en el interior de su intervalo de
convergencia la serie es absolutamente convergente. Por tanto, para averiguar el radio de
convergencia consideraremos la serie
P |an| |x|n y veremos en qué puntos x converge esta
última. Para ello, podemos aplicar el criterio de D’Alembert, calculando
lim
n→∞
|an+1| |x|n+1
|an| |x|n = L (x)
y deduciendo los valores de x que para los que L (x) < 1. Estos valores constituirán el
intervalo de convergencia de la serie.
Ejemplos:
1) El radio de convergencia de la serie
X
an
2
xn, con 0 < a < 1, es R =∞. Si a fuera
mayor que 1, entonces R = 0.
7
2) Las series
X
xn,
X xn
n+ 1
,
X xn
(n+ 1)2
tienen radio de convergencia R = 1. Un
estudio posterior en los puntos 1 y −1 no lleva a decir que: la primera no es con-
vergente en los puntos −1 y 1, la segunda converge en −1 pero no en 1 y la tercera
converge en ambos puntos.
PROPIEDADES DE LAS SERIES DE POTENCIAS
Como los términos de una serie de potencias
∞X
n=0
anx
n son funciones potenciales y éstas
son continuas, derivables e integrables, vamos a estudiar si su suma goza de las mismas
propiedades. Ello nos lleva estudiar series de potencias de la forma:
∞X
n=1
nanx
n−1,
∞X
n=0
an
n+ 1
xn+1
que son series de potencias obtenidas al derivar o integrar término a término la serie dada.
Teorema 14 Las tres series de potencias
∞X
n=0
anx
n,
∞X
n=1
nanx
n−1,
∞X
n=0
an
n+ 1
xn+1 tienen el
mismo radio de convergencia.
Observación. Puede ocurrir que el dominio de convergencia de una serie de potencias
y el de la serie obtenida al derivar término a término no coincidan; aunque, según el
teorema anterior, ambas tienen el mismo radio de convergencia. Nótese que la serieP xn
n23n
converge en [−3, 3], mientras queP xn−1
n3n
sólo converge en [−3, 3[.
Teorema 15 Si
∞P
n=0
anx
n es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0,
intervalo de convergencia I, y suma S(x) para cada x ∈ I, se verifica:
La función suma es derivable en el intervalo I, y además S0(x) =
∞P
n=1
nanx
n−1, es decir,
la derivada de la suma de una serie de potencias se puede obtener derivando término a
término la serie de potencias dada.
Corolario 16 La suma de una serie de potencias
∞P
n=0
anx
n con radio de convergencia no
nulo, tiene derivadas de todos los órdenes en los puntos del intervalo de convergencia de la
serie dada, y sus derivadas se pueden obtener derivando sucesivamente término a término
la serie dada.
8
Teorema 17 Si
∞P
n=0
anx
n es una serie de potencias con radio de convergencia R 6= 0,
dominio de convergencia D, y suma S(x) para cada x ∈ D, se verifica:
1) La suma S(x) =
∞P
n=0
anx
n es continua en D.
2) La suma S(x) =
∞P
n=0
anx
n es integrable en todo intervalo cerrado y acotado contenido
en D, y su integral se puede obtener integrando término a término la serie dada. Es
decir: Z x
α
S(t)dt =
∞X
n=0
Z x
α
ant
ndt
para cualesquiera α, x de D.
3.1 Desarrollos en series de potencias. Series de Taylor y Mac-
Laurin. Series binómicas
En este apartado se trata de dar respuesta a una cuestión que, en cierto modo, es recíp-
roca de la anterior: Dada una función f , ¿existe una serie de potencias con radio de
convergencia no nulo cuya suma sea igual a f ? La respuesta a esta pregunta es negativa:
no todas las funciones se pueden expresar como series de potencias. Aquellas funciones
que se distinguen por poder representarse en dicha forma se llaman analíticas.
Definición 18 Se dice que una función f es analítica en x0 si, en un intervalo abierto
que contenga a x0, esta función es la suma de una serie de potencias
∞P
n=0
an(x− x0)n que
tiene un radio de convergencia positivo.
Teorema 19 Si f es analítica en x0, entonces la representación
f (x) =
∞X
n=0
fn)(x0)
n!
(x− x0)n
es válida en cierto intervalo abierto centrado en x0.
La serie anterior se llama serie de Taylor de f centrada en x0. Cuando x0 = 0,
también se le conoce como serie de Maclaurin de f.
Además delos resultados conocidos ya sobre series de potencias, éstas tienen también
una propiedad de unicidad; esto es, si la ecuación
∞X
n=0
an(x− x0)n =
∞X
n=0
bn(x− x0)n
9
es válida en algún intervalo abierto que contiene a x0, entonces an = bn para n = 0, 1, 2, . . ..
Por tanto, si de alguna manera se puede obtener un desarrollo en serie de potencias para
una función analítica, entonces esta serie de potencias debe ser su serie de Taylor.
El cálculo directo de los coeficientes de la serie de Taylor o Maclaurin por derivaciones
sucesivas puede resultar difícil. El método más práctico para hallar una serie de Taylor
o Maclaurin consiste en desarrollar series de potencias para una lista básica de funciones
elementales. De esta lista se podrán deducir series de potencias para otras funciones
mediante suma, resta, producto, división, derivación integración o composición con se-
ries conocidas. Antes de presentar esta lista básica desarrollaremos en serie la función
f (x)= (1 + x)r con r ∈ R que produce lo que se llama la serie binómica.
Las funciones de este tipo sólo son polinomios cuando r es natural o cero. Son in-
definidamente derivables en un entorno del cero, y se tiene:
fn)(x) = r(r − 1) · · · (r − n+ 1)(1 + x)r−n, fn)(0) = r(r − 1) · · · (r − n+ 1)
Por tanto, si cuando n ∈ N y r ∈ R utilizamos la notación
µ
r
n
¶
para indicarµ
r
n
¶
=
r(r − 1) · · · (r − n+ 1)
n!
y
µ
r
0
¶
= 1
obtenemos como posible desarrollo en serie de Mac-Laurin de la función dada el siguiente:
∞X
n=0
µ
r
n
¶
xn
Cuando r no es un número natural o cero, el radio de convergencia de la serie de la
expresión anterior es R = 1. La serie, en consecuencia, es absolutamente convergente en
]− 1, 1[ y divergente cuando | x |> 1. Se puede probar también que la suma de dicha serie
en ]− 1, 1[ es precisamente la función f(x) = (1 + x)r.
La serie
∞X
n=0
µ
r
n
¶
xn se denomina serie binomial o binómica puesto que cuando r es
un número natural sólo sus n+ 1 primeros términos son no nulos, y además su expresión
es la conocida fórmula de Newton para la potencia del binomio (1 + x)r.
Como casos particulares de la serie binómica citamos los siguientes:
Para r = −1
1
1 + x
= 1− x+ x2 − x3 + · · ·
Para r = 1/2
√
1 + x = 1 +
x
2
− 1
2 · 4x
2 +
1 · 3
2 · 4 · 6x
3 − 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6 · 8x
4 + · · ·
10
Para r = −1/2
1√
1 + x
= 1−1
2
x+
1 · 3
2 · 4x
2 − 1 · 3 · 5
2 · 4 · 6x
3 + · · ·
En la lista que sigue, ofrecemos las series de Maclaurin de otras funciones elementales
junto con sus intervalos de convergencia.
SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONES ELEMENTALES
senx = x− x
3
3!
+
x5
5!
− · · ·+ (−1)
n
(2n+ 1)!
x2n+1 + · · · −∞ < x <∞
cosx = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− · · ·+ (−1)
n
(2n)!
x2n + · · · −∞ < x <∞
ex = 1 +
x
1!
+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+ · · · −∞ < x <∞
sh x = x+
x3
3!
+
x5
5!
+ · · ·+ 1
(2n+ 1)!
x2n+1 + · · · −∞ < x <∞
ch x = 1 +
x2
2!
+
x4
4!
+ · · ·+ 1
(2n)!
x2n + · · · −∞ < x <∞
arcsen x = x+
1
2
x3
3
+
1 · 3
2 · 4
x5
5
+ · · ·+ (2n)!
(2nn!)2
x2n+1
(2n+ 1)
+ · · · −1 < x < 1
ln (1 + x) = x−x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ · · ·+ (−1)
n−1
n
xn + · · · −1 < x < 1
1
1 + x2
= 1− x2 + x4 − x6 + · · ·+ (−1)nx2n + · · · −1 < x < 1
arctg x = x−x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · ·+ (−1)
n x2n+1
2n+ 1
+ · · · −1 < x < 1
Entre las aplicaciones de los desarrollos en serie se encuentran:
— El cálculo de integrales definidas.
11
— El cálculo de la suma de series numéricas.
— La resolución de ecuaciones diferenciales.
4 Soluciones en series de potencias de E.D.O. lineales
En esta sección veremos un procedimiento para obtener soluciones en serie de potencias
de una ecuación diferencial lineal. El método de series de potencias para resolver una
ecuación diferencial consiste en sustituir la serie de potencias
∞X
n=0
an(x− x0)n
en la ecuación diferencial y después determinar cuáles deben ser los coeficientes a0, a1, a2, . . .
para que la serie de potencias satisfaga la ecuación diferencial. Esto es muy semejante al
método de coeficientes indeterminados, pero ahora tenemos un número infinito de coefi-
cientes que de algún modo hemos de obtener.
Para ilustrar el método de la serie de potencias consideremos una ecuación diferencial
lineal de primer orden sencilla.
Ejemplo: Encontrar una solución en serie de potencias en torno a x = 0 de la ecuación
y0 + 2xy = 0. (1)
Solución: Si suponemos que existe una solución en serie de potencias de la forma
y (x) =
∞X
n=0
anx
n,
nuestra tarea consistirá en determinar los coeficientes an. Para ello, sustituimos los desar-
rollos en serie de y (x) y y0 (x) en la ecuación (1), obteniendo
∞X
n=1
nanx
n−1 + 2x
∞X
n=0
anx
n = 0,
o equivalentemente
∞X
n=1
nanx
n−1 +
∞X
n=0
2anx
n+1 = 0. (2)
Si escribimos los primeros términos de estas series y sumamos los coeficientes de potencias
iguales de x, se obtiene
a1 + (2a2 + 2a0)x+ (3a3 + 2a1)x
2 + (4a4 + 2a2)x
3 + · · · = 0.
12
Para que la serie de potencias del primer miembro de la ecuación anterior sea idéntica-
mente cero, se debe verificar que todos los coeficientes sean iguales a cero. De modo
que
a1 = 0, 2a2 + 2a0 = 0,
3a3 + 2a1 = 0, 4a4 + 2a2 = 0, . . .
Resolviendo el sistema anterior resulta
a1 = 0, a2 = −a0, a3 = −2
3
a1 = 0, a4 = −1
2
a2 =
1
2
a0.
Por tanto, la serie de potencias adopta la forma
y (x) = a0 − a0x2 + 1
2
a0x
4 + · · ·
Si bien el cálculo de estos primeros términos es útil, sería mejor disponer de una fórmula
de término general del desarrollo en serie de potencias de la solución. Para ello, volvemos
a la expresión (2) y la escribimos de manera que las dos series presenten la misma potencia
de x, esto es
∞X
k=0
(k + 1) ak+1x
k +
∞X
k=1
2ak−1xk = 0,
y, puesto que la primera serie empieza en k = 0 y la segunda en k = 1, separamos el primer
término de la primera y sumamos los coeficientes de igual potencia de x, obteniendo que
a1 +
∞X
k=1
[(k + 1) ak+1 + 2ak−1]xk = 0.
Haciendo ahora todos los coeficientes iguales a cero, obtenemos una relación de recurrencia
para los coeficientes
a1 = 0
ak+1 = − 2
k + 1
ak−1
Tomando k = 1, 2, . . . , 6 y teniendo en cuenta que a1 = 0, resulta que
a2 = −2
2
a0 = −a0, (k = 1) a3 = −2
3
a1 = 0, (k = 2)
a4 = −2
4
a2 =
1
2!
a0, (k = 3) a5 = −2
5
a1 = 0, (k = 4)
a6 = −2
6
a4 = − 1
3!
a0, (k = 5) a7 = −2
7
a1 = 0, (k = 6)
13
y de aquí, se observa que
a2n =
(−1)n
n!
a0 n = 1, 2, 3, . . .
a2n+1 = 0 n = 0, 1, 2, . . .
Puesto que el coeficiente a0 se deja indeterminado, sirve como constante arbitraria y, por
tanto, proporciona la solución general de la ecuación
y (x) = a0 − a0x2 + 1
2
a0x
4 + · · · = a0
∞X
n=0
(−1)n
n!
x2n.
Se puede comprobar que esta serie tiene radio de convergencia R =∞. Además esta serie
recuerda el desarrollo de la función exponencial, verificándose que
y (x) = a0e
−x2 ,
solución que se podía obtener fácilmente ya que se trataba de una ecuación de variables
separables.
4.1 Soluciones en serie en torno a puntos ordinarios
Aunque el método de series de potencias puede usarse en ecuaciones lineales de cualquier
orden, sus aplicaciones más relevantes se refieren a ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden de la forma
a (x) y00 + b (x) y0 + c (x) y = 0, (3)
donde a (x) , b (x) y c (x) son funciones analíticas de x. En realidad, en la mayoría de las
aplicaciones esas funciones son polinomios. Por esta razón limitaremos el estudio a este
tipo de ecuaciones.
Para determinar cuándo el método de series de potencias será efectivo, reescribimos
la ecuación anterior en la forma
y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0, (4)
con el coeficiente principal 1 y p (x) = b (x) /a (x) y q (x) = c (x) /a (x) .
Nótese que p (x) y q (x) en general no tienen porqué ser analíticas en los puntos que
a (x) se anula. Por ejemplo, en la ecuación
xy00 + y0 + xy = 0
todos los coeficientes son funciones analíticas en todos los puntos pero si lo escribimos en
la forma (4) resulta que p (x) =
1
x
no es analítica en x = 0.
14
Definición 20 El punto x = x0 se denomina punto ordinario de la ecuacióndiferencial
(3) si las funciones p (x) y q (x) son analíticas en x0. En caso contrario, el punto recibe
el nombre de punto singular.
Ejemplos:
1) El punto x = 0 es un punto ordinario de la ecuación
xy00 + (sen x) y0 + x2y = 0
pues
p (x) =
sen x
x
= 1− x
2
3!
+
x4
5!
+ · · · , q (x) = x
son ambas analíticas en x = 0.
2) El punto x = 0 no es un punto ordinario de la ecuación
y00 + x2y0 +
√
xy = 0
pues p (x) = x2 es analítica en el origen, pero q (x) =
√
x no lo es, ya que q (x) no
es diferenciable en x = 0.
Vamos a encontrar ahora soluciones en serie de potencias en torno a puntos ordi-
narios, para ecuaciones diferenciales del tipo (3) en las que los coeficientes son poli-
nomios. Para ello, se deberá, tal y como hemos hecho en un ejemplo anterior, susti-
tuir y (x) =
∞X
n=0
an (x− x0)n en (3), agrupar términos semejantes e igualar a cero los
coeficientes de la serie de potencias resultante, lo que conducirá a una relación de recur-
rencia para los coeficientes an. Para simplificar, supondremos que un punto ordinario de
la ecuación diferencial está siempre localizado en x = 0, ya que si no lo está, la sustitución
t = x− x0 traslada el valor x = x0 a t = 0.
Establecemos ahora un resultado básico de existencia de soluciones en serie de poten-
cias en torno a un punto ordinario de la ecuación (3) que justifica el método de series de
potencias.
Teorema 21 Si x = 0 es un punto ordinario de la ecuación diferencial (3), entonces ex-
isten dos soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias centradas
en 0, es decir, cada una de la forma
y (x) =
∞X
n=0
anx
n,
cuyos radios de convergencia son por lo menos tan grandes como la distancia de x = 0 al
punto singular más próximo.
15
Ejemplo: Encontrar la solución de
2y00 + xy0 + y = 0
en forma de serie de potencias en torno al punto ordinario x = 0.
Solución: Consideramos
y (x) =
∞X
n=0
anx
n,
y los correspondientes desarrollos en serie para y0 (x) y y00 (x) dados por
y0 (x) =
∞X
n=1
nanx
n−1, y00 (x) =
∞X
n=2
n (n− 1) anxn−2.
Sustituimos estas series de potencias en nuestra ecuación
∞X
n=2
2n (n− 1) anxn−2 +
∞X
n=1
nanx
n +
∞X
n=0
anx
n = 0,
y escribimos las tres series de forma que el término general de cada una de ellas sea una
constante multiplicada por xk.
∞X
k=0
2 (k + 2) (k + 1) ak+2x
k +
∞X
k=1
kakx
k +
∞X
k=0
akx
k = 0.
Separamos los términos correspondientes a x0 y agrupamos los coeficientes de xk obte-
niendo
4a2 + a0 +
∞X
k=1
[2 (k + 2) (k + 1) ak+2 + kak + ak]x
k = 0.
Igualando a cero los coeficientes de la serie de potencias, resulta que
4a2 + a0 = 0
ak+2 =
−1
2 (k + 2)
ak k ≥ 1.
De esta manera,
a2 =
−1
22
a0 a3 =
−1
2 · 3a1 (k = 1)
a4 =
−1
2 · 4a2 =
1
22 · 2 · 4a0 (k = 2) a5 =
−1
2 · 5a3 =
1
22 · 3 · 5a1 (k = 3)
a6 =
−1
2 · 6a4 =
−1
26 · 3!a0 (k = 4) a7 =
−1
2 · 7a5 =
−1
23 · 3 · 5 · 7a1 (k = 5)
a8 =
−1
2 · 8a6 =
1
28 · 4!a0 (k = 6)
16
Considerando a0 y a1 como constantes arbitrarias, se obtiene
a2n =
(−1)n
22n · n!a0 n ≥ 1,
a2n+1 =
(−1)n
2n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n+ 1)]a1 n ≥ 1.
De aquí resultan dos soluciones linealmente independientes
y1 (x) =
∞X
n=0
(−1)n
22n · n!x
2n y2 (x) =
∞X
n=0
(−1)n
2n [1 · 3 · 5 · · · · · (2n+ 1)]x
2n+1
y por consiguiente la solución general de nuestra ecuación viene dada por
y (x) = a0y1 (x) + a1y2 (x) .
Este método se puede utilizar también para resolver problemas de valores iniciales. Si
se tienen los valores de y (0) y y0 (0) , es fácil comprobar que se verifica que a0 = y (0) y
a1 = y
0 (0) , con lo cual se llega a una solución única del problema de valor inicial.
4.2 Soluciones en torno a puntos singulares
En la sección precedente vimos que no hay mucha dificultad en encontrar una solución en
serie de potencias de
a (x) y00 + b (x) y0 + c (x) y = 0,
en torno a un punto ordinario x = x0. Sin embargo, cuando x = x0 es un punto singular,
no siempre es posible encontrar una solución de la forma y (x) =
∞X
n=0
an (x− x0)n .
Veremos que, en algunos casos, si podemos obtener una solución de la forma y (x) =
∞X
n=0
an (x− x0)n+r donde r es una constante a determinar.
Por ejemplo, si consideramos la ecuación diferencial 6x2y00+5xy0+(x2 − 1) y = 0, que
tiene un punto singular en x = 0, esta ecuación no tienen ninguna solución de la forma
y (x) =
P∞
n=0 anx
n. No obstante, se puede demostrar que existen dos soluciones en serie
de la forma
y (x) =
∞X
n=0
anx
n+1/2 y y (x) =
∞X
n=0
anx
n−1/3.
Vamos, por tanto, a investigar la solución de la ecuación (3) cerca de un punto singular.
Los puntos singulares se subdividen en regulares e irregulares. Para definir estos conceptos
reescribimos la ecuación de la forma y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0.
17
Definición 22 Un punto singular, x = x0, de la ecuación (3) es un punto singular regular
si tanto (x− x0) p (x) como (x− x0)2 q (x) son analíticas en x0 y es un punto singular
irregular en caso contrario.
Ejemplo Los puntos x = 0 y x = −1 son, ambos, puntos singulares de la ecuación
diferencial
x2 (x+ 1)2 y00 +
¡
x2 − 1¢ y0 + 2y = 0.
Si examinamos
p (x) =
x− 1
x2 (x+ 1)
y q (x) =
2
x2 (x+ 1)2
podemos observar que x = 0 es un punto singular irregular, mientras que x = −1 es un
punto singular regular.
Antes de establecer un resultado de existencia de soluciones en serie en torno a un
punto singular regular, necesitamos la siguiente definición.
Definición 23 Si x0 es un punto singular regular de y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0, entonces
llamamos ecuación indicial de ese punto a la ecuación
r (r − 1) + p0r + q0 = 0
donde
p0 = lim
x→x0
(x− x0) p (x) y q0 = lim
x→x0
(x− x0)2 q (x)
Las raíces de la ecuación indicial se llaman exponentes (índices) de la singularidad x0.
En general, si x0 es un punto singular regular de (3), entonces las funciones (x− x0) p (x)
y (x− x0)2 q (x) son analíticas en x0; es decir, los desarrollos
(x− x0) p (x) = p0 + p1 (x− x0) + p2 (x− x0)2 + · · ·
(x− x0)2 q (x) = q0 + q1 (x− x0) + q2 (x− x0)2 + · · ·
son válidos en intervalos que tengan radio de convergencia positivo. Después de sustituir
y (x) =
∞X
n=0
an (x− x0)n+r en la ecuación y simplificar, la ecuación indicial es la ecuación
cuadrática en r que resulta de igualar a cero el coeficiente total de la menor potencia de
(x− x0) .
Para estudiar la existencia de soluciones en serie en torno a puntos singulares regulares,
y al igual que hicimos en la sección precedente, restringiremos nuestra atención al caso
en el que x0 = 0 es un punto singular regular de la ecuación.
El siguiente teorema nos garantiza la existencia de al menos una solución en serie de
la forma anterior a la vez que proporciona, en algunos casos, la expresión de una segunda
solución linealmente independiente.
18
Teorema 24 Soluciones en serie de Frobenius
Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y00 + p (x) y0 + q (x) y = 0 y sean
r1 y r2 las raíces, con r1 ≥ r2, de la ecuación indicial asociada. Entonces:
(a) Para x > 0, existe una solución de la forma
y1(x) =
∞X
n=0
anx
n+r1, a0 6= 0
correspondiente a la raíz mayor r1.
(b) Si r1 − r2 no es cero ni un entero positivo, entonces existe una segunda solución
linealmente independiente para x > 0 de la forma
y2(x) =
∞X
n=0
bnx
n+r2, b0 6= 0
correspondiente a la raíz menor r2.
Ejemplo: Encontrar la solución de
3xy00 + y0 − y = 0
en forma de serie de potencias en torno al punto singular regular x = 0.
Solución: Ensayamos una solución de la forma
y(x) =
∞X
n=0
anx
n+r.
Puesto que
y0(x) =
∞X
n=0
(n+ r) anx
n+r−1, y00(x) =
∞X
n=0
(n+ r) (n+ r − 1) anxn+r−2
al sustituir en la ecuación, obtenemos
3
∞X
n=0
(n+ r) (n+ r − 1) anxn+r−1+
∞X
n=0
(n+ r) anx
n+r−1−
∞X
n=0
anx
n+r
=
∞X
n=0
(n+ r) (3n+ 3r − 2) anxn+r−1−
∞X
n=0
anx
n+r
= xr
"
r (3r − 2) a0x−1 +
" ∞X
k=0
(k + r + 1) (3k + 3r + 1) ak+1 − ak
#
xk
#
= 0
19
lo cual implica que
r (3r − 2) a0 = 0
ak+1 =
1
(k + r + 1) (3k + 3r + 1)
ak k = 0, 1, 2, . . . (5)
De la ecuación r (3r − 2) = 0 (ecuación indicial), tenemos que r1 = 2
3
y r2 = 0. Al
sustituir en (5) los dosvalores de r resultan dos relaciones de recurrencia diferentes
ak+1 =
1
(3k + 5) (k + 1)
ak ak+1 =
1
(k + 1) (3k + 1)
ak
Iterando en ambas relaciones obtenemos
a1 =
1
5 · 1a0 a1 =
1
1 · 1a0
a2 =
1
8 · 2a1 =
1
2!5 · 8a0 a2 =
1
2 · 4a1 =
1
2!1 · 4a0
a3 =
1
11 · 3a2 =
1
3!5 · 8 · 11a0 a3 =
1
3 · 7a1 =
1
3!1 · 4 · 7a0
a4 =
1
14 · 4a3 =
1
4!5 · 8 · 11 · 14a0 a4 =
1
4 · 10a1 =
1
4!1 · 4 · 7 · 10a0
...
...
an =
1
n!5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)a0 an =
1
n!1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)a0
Conseguimos así dos soluciones en serie
y1 (x) = a0x
2/3
∞X
n=0
1
n!5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)x
n
y2 (x) = a0x
0
∞X
n=0
1
n!1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)x
n
Se puede comprobar que el radio de convergencia de estas series es R = ∞. Además se
puede ver que ninguna es un múltiplo constante de la otra y por lo tanto, y1 (x) y y2 (x)
son soluciones linealmente independientes. Luego,
y (x) = C1y1 (x) + C2y2 (x)
= C1
"
x2/3
∞X
n=0
1
n!5 · 8 · 11 · · · (3n+ 2)x
n
#
+ C2
"
x0
∞X
n=0
1
n!1 · 4 · 7 · · · (3n− 2)x
n
#
20
representa la solución general de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no
contenga al origen.
En el caso en el que r1 = r2 sólo puede haber una solución en serie de Frobenius. Si
r1−r2 es un entero positivo, puede existir o no una segunda solución en serie de Frobenius
correspondiente a la raíz menor r2. Los resultados correspondientes a la obtención de
una segunda solución linealmente independiente en estas dos situaciones particulares los
enunciamos en el siguiente teorema.
Teorema 25 Sea x = 0 un punto singular regular de la ecuación y00+p (x) y0+q (x) y = 0
y sean r1 y r2 las raíces, con r1 ≥ r2, de la ecuación indicial asociada. Entonces:
(a) Si r1 = r2, existen dos soluciones linealmente independientes para x > 0 de la forma
y1(x) =
∞X
n=0
anx
n+r1 a0 6= 0
y2(x) = y1(x) lnx+
∞X
n=1
bnx
n+r1
(b) Si r1 − r2 es un entero positivo, existen dos soluciones linealmente independientes
para x > 0 de la forma
y1(x) =
∞X
n=0
anx
n+r1 a0 6= 0
y2(x) = Cy1(x) lnx+
∞X
n=0
bnx
n+r2 b0 6= 0
donde C es una constante que puede ser cero.
En el caso (b) del teorema b0 6= 0, pero C puede ser cero o no; de modo que el término
logarítmico puede estar presente o no en la segunda solución. Los coeficientes de estas
series (y la constante C) pueden determinarse por sustitución directa de las series en la
ecuación diferencial.
Observación: Puede ocurrir que al intentar encontrar la solución en serie de una ecuación
diferencial de la forma (3), en torno a un punto singular regular, las raíces de la ecuación
indicial resulten ser números complejos. Cuando r1 y r2 son complejos, la suposición
r1 > r2 carece de significado y debe ser reemplazada por Re (r1) > Re (r2) , y, en este caso
las soluciones serán complejas. Esta dificultad puede ser superada mediante el principio
de superposición. Puesto que una combinación de soluciones también es solución de la
ecuación diferencial, podríamos formar combinaciones adecuadas de y1(x) y y2(x) para
obtener soluciones reales.
21
Por último, si x = 0 es un punto singular irregular, debe hacerse notar que puede ser
posible no encontrar ninguna solución de la forma y(x) =
∞P
n=0
anx
n+r.
5 Bibliografía
Kreyszig, E. Matemáticas avanzadas para Ingeniería (volumen 2). Limusa Wiley
Larson, R.E., Hostetler, R.P. y Edwards, B.H. Cálculo y Geometría Analítica
(volumen 1). Mc Graw-Hill.
Nagle R.K., Saff, E.B. Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales. Addison Wesley
Iberoamericana.
Zill, D.G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica.
22