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Teoría de la medida e integración - Examen parcial 2
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1) Todos los pasos de la resolución de los ejercicios deben ser subidos en la plataforma.
2) El examen es individual y sin cualquier tipo de consulta. Infringir esta regla generara proceso administrativo
3) Cada estudiante deberá activar su cámara durante el examen.
Pregunta 1 (5.0): Sean (X,M, µ) un espacio de medida completa y f, g : X → R
a) Si f esM-medible y g = f c.t.p. entonces g esM-medible.
b) Si fn : X → R esM-medible para cada n y fn → f c.t.p. cuando n→∞ entonces f esM-medible.
Sugerencia puedes usar a)
Pregunta 2 (5.0): Si f ∈ L+, sea λ(E) =
∫
E
fdµ para todo E ∈M. Pruebe las siguientes a�rmaciones.
a) λ es una medida de�nida sobreM.
b)
∫
gdλ =
∫
fgdµ para todo g ∈ L+ Sugerencia; comienze con g = χE , ...
Pregunta 3 (2.0): Si {fn} ⊂ L+ tal que fn(x) decrece a f(x) para cada x ∈ X y
∫
f1dµ < ∞ entonces∫
fdµ = lim
n→∞
∫
fndµ.
Pregunta 4 (5.0):
a) Si {fn, gn, f, g} ⊂ L1, fn → f , gn → g, |fn| 6 gn y
∫
gdµ = lim
n→∞
∫
gndµ entonces
∫
fdµ = lim
n→∞
∫
fndµ.
Sugerencia; piense en la demostracion del TCD
b) Si {hn, h} ⊂ L1 y hn → h. Entonces lim
n→∞
∫
|hn − h|dµ = 0 si y solamente si
∫
|h|dµ = lim
n→∞
∫
|hn|dµ.
Sugerencia; se puede usar a)
Pregunta 5 (3.0): Evalue lim
n→∞
∫ ∞
1
n2
1 + n2x2
dx
Buen examen!!