Apuntes_mecanica__de_solidos_I_-_Cap10

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Apuntes Mecánica de Sólidos 
171 
 
CAPÍTULO 10 MÉTODOS DE ENERGÍA 
 
10.1 Energía de deformación 
 
 
Fig. 10- 1 Cuerpo sometido a esfuerzos. 
 
𝑢 =
1
2𝐸
 𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 + 𝜎𝑧
2 − 2𝜈 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑥𝜎𝑧 + 𝜎𝑦𝜎𝑧 +
1
2𝐺
[𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑥𝑧
2 + 𝜏𝑦𝑧
2] 
𝑈 = 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑉) 
10.1.1 En barra en carga axial 
 
 
Fig. 10- 2 Barra sometida a tracción. 
 
𝑢 =
𝜎𝑥
2
2𝐸
=
𝑃2
2𝐸𝐴2
 
𝑈 = 𝑢 𝑑𝑣
𝑉
= 
𝑃2
2𝐸𝐴2𝑉
 𝐴 𝑑𝑥 
 
𝑈 =
𝑃2𝑙
2𝐸𝐴
 (10. 01) 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
172 
 
 
Si se trata de una barra con una conicidad pequeña 
 
Fig. 10- 3 Barra cónica sometida a tracción. 
 
𝑈 = 
𝑃2
2𝐸
𝑑𝑥
𝐴(𝑥)
𝑙
0
 
10.1.2 En barra de sección circular sometida a torsión 
 
 
Fig. 10- 4 Barra sección circular sometida a torsión. 
 
𝑢 =
𝜏2
2𝐺
 
𝑈 = 𝑢 𝑑𝑣
𝑉
= 
𝜏2
2𝐺𝑉
 𝑑𝐴 𝑑𝑥 
𝑈 = 
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐽2
𝑟2
𝑉
 𝑑𝐴 𝑑𝑥 = 
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐽2
𝑙
0
𝑑𝑥 𝑟2
𝐴
 𝑑𝐴 = 
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐽
𝑙
0
𝑑𝑥 
 
𝑈 = 
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐽
𝑙
0
𝑑𝑥 (10. 02) 
 
 
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
173 
 
10.1.3 Corte directo en flexión 
 
 
Fig. 10- 5 Viga sometida a corte transversal. 
 
𝑈 = 𝑢 𝑑𝑣
𝑉
= 
𝜏𝑥𝑦
2
2𝐺𝑉
 𝑑𝑣 
𝑈 = 
𝑉(𝑥)2 · 𝑄(𝑦)2
2𝐺𝐼𝑧
2 · 𝑡(𝑦)2𝑉
 𝑑𝑥(𝑡(𝑦)𝑑𝑦) = 
𝑉(𝑥)2
2𝐺𝐼𝑧
2
𝑙
0
 𝑑𝑥 
𝑄(𝑦)2
𝑡(𝑦)
𝑕1
−𝑕2
 𝑑𝑦 
 
Fig. 10- 6 Nomenclatura sección viga. 
 
Si la sección es rectangular 
 
Fig. 10- 7 Sección de viga rectangular sometida a esfuerzo de corte transversal. 
 
𝑄 𝑦 = 𝑏 · 
𝑕
2
− 𝑦 · 𝑦 +
1
2
· 
𝑕
2
− 𝑦 =
1
2
· 𝑏 · 
𝑕
2
 
2
− 𝑦2 
𝑡 𝑦 = 𝑏 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
174 
 
 
 
Así 
𝑈 = 
𝑉(𝑥)2
2𝐺𝐼𝑧
2
𝑙
0
 𝑑𝑥 
1
2
 
𝑕
2
 
2
− 𝑦2 
𝑕
2
−
𝑕
2
 𝑑𝑦 
 
𝑈 =
3
5
 
𝑉(𝑥)2
𝐺 · 𝐴
𝑙
0
𝑑𝑥 (10. 03) 
10.1.4 Viga sometida a flexión 
 
 
Fig. 10- 8 Viga sometida a Flexión. 
 
𝑈 = 𝑢 𝑑𝑣
𝑉
 
𝑈 = 
𝜎𝑥
2
2𝐸
 𝑑𝐴 𝑑𝑥
𝑉
= 
𝑀𝑓
2
2𝐸𝐼𝑧
2
𝑙
0
𝑑𝑥 𝑦2
𝐴
 𝑑𝐴 = 
𝑀𝑓
2
2𝐸𝐼𝑧
𝑙
0
𝑑𝑥 
 
𝑈 = 
𝑀𝑓
2
2𝐸𝐼𝑧
𝑙
0
𝑑𝑥 (10. 04) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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Ejemplo 1: 
 
𝑈 = 2 
1
2𝐸𝐼𝑍
·
𝑃2
4
𝑥2𝑑𝑥
𝑙
2
0
 
𝑈 =
𝑃2𝑙3
96 · 𝐸𝐼
 
 
10.2 Teoremas de energía 
 
10.2.1 Trabajo mutuo o indirecto 
 
Se aplica una carga 𝑃1 y después 𝑃2 
 𝛿11: Desplazamiento del punto 1 debido a la carga 𝑃1 en la dirección de esta. 
 𝛿22: Desplazamiento del punto 2 debido a la carga 𝑃2. 
 𝛿12: Desplazamiento del punto 1 debido a la carga 𝑃2. 
 
Fig. 10- 9 Trabajo por fuerzas externas. 
 
El trabajo está dado por: 
𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊12 =
1
2
𝑃1𝛿11 +
1
2
𝑃2𝛿22 + 𝑃1𝛿12 
 
𝑊12: es el trabajo realizado por la carga 𝑃1 debido al desplazamiento 𝛿12 causado 
por 𝑃2. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
176 
 
Si se invierte el orden de aplicación de las cargas. 
 
𝑊 = 𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊21 
Con lo que: 
𝑊21 = 𝑊12 (10. 05) 
 
El cual es el teorema de reciprocidad de Betti. 
 
Se puede extender a un sistema de cargas A y B 
 
Fig. 10- 10 Cuerpo sometido a diferentes combinaciones de fuerzas externas. 
 
𝑊𝐴𝐵 = 𝑊𝐵𝐴 
10.2.2 Teorema de reciprocidad de Maxwell 
 
a) Se aplica primero 𝑃1 y se producen los desplazamientos 𝛿11 y 𝛿21 y después 𝑃2 con 
desplazamiento 𝛿22 y 𝛿12 . 
 
𝑈 =
1
2
𝑃1𝛿11 +
1
2
𝑃2𝛿22 + 𝑃1𝛿12 
 
b) Se aplica primero 𝑃2 y después 𝑃1. 
 
𝑈 =
1
2
𝑃2𝛿22 +
1
2
𝑃1𝛿11 + 𝑃2𝛿21 
Entonces se tiene: 
 
𝑃1𝛿12 = 𝑃2𝛿21 
 
Si 𝑃1 = 𝑃2 = 1 cargas unitarias 
 
𝛿12 = 𝛿21 (10. 06) 
 
 
 
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10.2.3 Teorema de Clapeyron 
 
La energía de deformación de un cuerpo elástico sometido a la acción de n fuerzas 
𝑃1, 𝑃2 , … , 𝑃𝑛 está dada por: 
U = 
1
2
𝑃𝑖𝛿𝑖
𝑛
𝑖=1
 (10. 07) 
 
 
Fig. 10- 11 Trabajo por fuerzas externas. 
 
10.2.4 Teorema de Castigliano 
 
Al aplicar a un cuerpo elástico un sistema de cargas 𝑃1, 𝑃2 , … , 𝑃𝑛se tiene una 
energía de deformación elástica. 
𝑈 = 
1
2
𝑃𝑖𝛿𝑖
𝑛
𝑖=1
 
 
Fig. 10- 12 Trabajo por fuerzas externas. 
 
Si 𝑃𝑘 , una carga cualquiera se incrementa en 𝑑𝑃𝑘 , se tendrá un incremento de la 
energía de deformación elástica igual a: 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝑑𝑈 =
1
2
 𝑑𝑃𝑘 𝑑 𝛿𝑘 + 𝑃𝑖 𝑑(
𝑛
𝑖=1
𝛿𝑖) 
Con lo que 
𝑈 + 𝑑𝑈 =
1
2
 𝑑𝑃𝑘 𝑑 𝛿𝑘 + 
1
2
𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1
𝛿𝑖 + 𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑 𝛿𝑖 ……… (1) 
 
Si se invierte el orden de aplicación de las cargas se tendrá: 
 
𝑈 + 𝑑𝑈 =
1
2
 𝑑𝑃𝑘 𝑑 𝛿𝑘 + 
1
2
𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1
𝛿𝑖 + 𝑑𝑃𝑘𝛿𝑘 ……… (2) 
Con (1) = (2), se tiene: 
 
𝑑𝑃𝑘𝛿𝑘 = 𝑃𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑑 𝛿𝑖 
Reemplazando en (*) 
𝑑𝑈 =
1
2
 𝑑𝑃𝑘 𝑑 𝛿𝑘 + 𝑑𝑃𝑘𝛿𝑘 
Así 
𝜕𝑈
𝜕𝑃𝑘
= 𝛿𝑘 (10. 08) 
Y análogamente 
𝜕𝑈
𝜕𝑀𝑘
= 𝜃𝑘 (10. 09) 
 
Si la energía de un cuerpo elástico se expresa en función de las cargas externas, la 
derivada parcial de la energía, respecto a una de las cargas concentradas, es 
numéricamente igual al desplazamiento del punto de aplicación de la carga. 
 
Del Capítulo 10.1 se tiene 
 
𝑈 = 
𝑃2
2𝐸𝐴
𝑑𝑥
𝑙
0
 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎. 
𝑈 = 
𝑀𝑡
2
2𝐺𝐽
𝑑𝑥
𝑙
0
 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟. 
𝑈 = 
𝑀𝑓
2
2𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝑙
0
 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛. 
 
Cuando todas estas posibilidades de carga están presentes, la deflexión total de un 
punto (𝑖), donde actúa la carga concentrada 𝐹𝑖 será la suma de las siguientes integrales. 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
179 
 
 
 
𝑃
𝐸𝐴
𝜕𝑃
𝜕𝐹𝑖
 𝑑𝑥 
𝑙
0
 
𝑀𝑡
𝐺𝐽
𝜕𝑀𝑡
𝜕𝐹𝑖
 𝑑𝑥 
𝑙
0
 
𝑀𝑓
𝐸𝐼
𝜕𝑀𝑓
𝜕𝐹𝑖
 𝑑𝑥 
𝑙
0
 
10.3 Aplicación Teorema de Castigliano a deflexión en Vigas 
 
En el caso de vigas se desprecia la deflexión debida al corte por lo que: 
 
𝛿𝑖 = 
𝑀𝑓(𝑥)
𝐸𝐼
𝜕𝑀𝑓(𝑥)
𝜕𝐹𝑖
𝑑𝑥
𝑙
0
 
 
 
Fig. 10- 11 Curva elástica de una viga. 
 
Ejemplo 2: 
 
Determinar la deflexión del punto A 
 
𝐹𝑓 …𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑐𝑖𝑎 
𝑀𝑓 𝑥 = −𝐹𝑓 · 𝑥 − 𝑞 ·
𝑥
2
·
𝑥
3
 
𝑀𝑓 𝑥 = −𝐹𝑓 · 𝑥 − 𝑞0 ·
𝑥3
6𝑙
 → 
𝜕𝑀𝑓
𝜕𝑥
= −𝑥 
𝛿𝑖 =
1
𝐸𝐼
 −𝐹𝑓 · 𝑥 − 𝑞0 ·
𝑥3
6𝑙
 ·
𝑙
0
 −𝑥 𝑑𝑥 
𝛿𝑖 = 𝐹𝑓 ·
𝑙3
3𝐸𝐼
+ 𝑞0 ·
𝑙4
30𝐸𝐼
 
Como 𝐹𝑓 = 0 
 
Apuntes Mecánica de Sólidos 
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𝛿𝐴 = 𝑞0 ·
𝑙4
30𝐸𝐼
 
 
Ejemplo 3: 
 
Determinar la deflexión horizontal y angular del punto B. 
 
a) Deflexión horizontal 
𝑦𝑖 = 
𝑀
𝐸𝐼
·
𝜕𝑀
𝜕𝑃𝑖
𝑙
0
𝑑𝑥 = 
𝑀
𝐸𝐼
·
𝜕𝑀
𝜕𝑃𝑖
𝑙
0
· 𝑅𝑑𝜃 
𝑀 𝜃 = −𝐹 · 𝑅 · sin 𝜃
𝜕𝑀 𝜃 
𝜕𝐹
= −𝑅 · sin 𝜃 
Luego: 
𝑦𝐻 =
1
𝐸𝐼
 𝐹 · 𝑅 · sin 𝜃 · 𝑅 · sin 𝜃 · 𝑅 𝑑𝜃
𝛼=𝜋
0
=
𝐹𝑅3
𝐸𝐼
 sin2 𝜃
𝜋
0
𝑑𝜃 
𝑦𝐻 =
𝐹𝑅3𝜋
2𝐸𝐼
 
 
b) Deflexión angular 
 
Hay que colocar un momento ficticio. 
 
𝑀𝑓 …𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜 
𝑅𝑣 … . 𝑅𝑒𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑐𝑡𝑖𝑐𝑖𝑜 
 
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181 
 
 
𝑀 𝜃 = −𝐹 · 𝑅 · sin 𝜃 − 𝑀𝑓 + 𝑅𝑣 𝑅 − 𝑅 cos 𝜃 
𝑀 𝜃 = −𝐹 · 𝑅 · sin 𝜃 − 𝑀𝑓 +
𝑀𝑓
2
 1 − cos 𝜃 
𝑀 𝜃 = −𝐹 · 𝑅 · sin 𝜃 −
𝑀𝑓
2
(1 + cos 𝜃) 
 
𝜃 = 
𝑀(𝜃)
𝐸𝐼
·
𝜕𝑀(𝜃)
𝜕𝑃𝑖
𝑅𝑑𝜃
𝛼
0
 
 
𝜕𝑀(𝜃)
𝜕𝑀𝑓
= −
1
2
(1 + cos 𝜃) 
 
∴ 𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
 −𝐹𝑅 sin 𝜃 −
𝑀𝑓
2
 1 + cos 𝜃 · −
1
2
· 1 + cos 𝜃 𝑅𝑑𝜃
𝛼=𝜋
0
 
𝜃𝐵 =
1
𝐸𝐼
 
𝐹𝑅2
2
sin 𝜃 · 1 + cos 𝜃 𝑑𝜃
𝜋
0
 
𝜃𝐵 =
𝐹𝑅2
𝐸𝐼