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Apuntes_mecanica__de_solidos_I_-_Cap09
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Apuntes Mecánica de Sólidos 166 CAPÍTULO 9 ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA 9.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL Fig. 9- 1 Deformación debido a flexión. 𝜀𝑥 = 𝑦 · ∆𝜃 𝑅 · ∆𝜃 = 𝑦 𝑅 𝜀𝑥 = 𝜎𝑥 𝐸 = 𝑀 · 𝑦 𝐸 · 𝐼 = 𝑦 𝑅 𝑀 𝐸 · 𝐼 = 1 𝑅 (9. 01) Curvatura: Fig. 9- 2 Curvatura. Apuntes Mecánica de Sólidos 167 1 𝑅 = 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 2 En flexión 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ≪ 1, así 1 𝑅 = 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Y combinando con la ecuación 9.01, se tiene la ecuación diferencial de la curva elástica. 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑥) 𝐸 · 𝐼 (9. 02) Convección de signos: Fig. 9- 3 Curva elástica, momento flector y fuerza de corte de una viga. Deflexión 𝑦 Pendiente 𝜃 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Momento 𝑀 = 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 Corte 𝑉 = 𝑑𝑀 𝑑𝑥 = 𝐸𝐼 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 𝑐𝑜𝑛 𝐸𝐼 = 𝑐𝑡𝑒 Apuntes Mecánica de Sólidos 168 Carga q= − 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = −𝐸𝐼 𝑑4𝑦 𝑑𝑥4 𝑐𝑜𝑛 𝐸𝐼 = 𝑐𝑡𝑒 Ejemplo 1: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑀(𝑥) 𝐸𝐼 = − 𝑞𝑥2 2 Integrando 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑞𝑥3 6 + 𝐶1 Condición de borde: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑙 𝐸𝐼 · 0 = − 𝑞𝑙3 6 + 𝐶1 → 𝐶1 = 𝑞𝑙3 6 Luego 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑞𝑥3 6 + 𝑞𝑙3 6 (𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒) Integrando 𝐸𝐼 · 𝑦 𝑥 = − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑙3 6 𝑥 + 𝐶2 Condición de borde: 𝑦 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑙 𝐸𝐼 · 0 = − 𝑞𝑙4 24 + 𝑞𝑙4 6 + 𝐶2 → 𝐶2 = − 𝑞𝑙4 8 Así la ecuación de la curva elástica es: 𝐸𝐼 · 𝑦 𝑥 = − 𝑞𝑥4 24 + 𝑞𝑙3 6 𝑥 − 𝑞𝑙4 8 Y la deflexión máxima se encuentra en x=0 y su valor es: 𝛿𝑚𝑎𝑥 = − 𝑞𝑙4 8𝐸𝐼 Apuntes Mecánica de Sólidos 169 Ejemplo 2: Reacciones: 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 𝑃 𝑅𝐵 · 𝑙 = 𝑃 · 𝑎 𝑅𝐴 = 𝑃 · 𝑏 𝑙 𝑅𝐵 = 𝑃 · 𝑎 𝑙 Momento flector: 𝑀 𝑥 = 𝑅𝐴 · 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝑀 𝑥 = 𝑅𝐴 · 𝑥 − 𝑃 · 𝑥 − 𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 Curva elástica, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑅𝐴 · 𝑥 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑅𝐴 · 𝑥2 2 + 𝐶1 𝐸𝐼 · 𝑦 = 𝑅𝐴 · 𝑥3 6 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 Curva elástica, para a≤ 𝑥 ≤ 𝑙 𝐸𝐼 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑅𝐴 − 𝑃 · 𝑥 + 𝑃 · 𝑎 𝐸𝐼 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑅𝐴 − 𝑃 · 𝑥2 2 + 𝑃 · 𝑎 · 𝑥 + 𝐶3 𝐸𝐼 · 𝑦 = 𝑅𝐴 − 𝑃 · 𝑥3 6 + 𝑃 · 𝑎 · 𝑥2 2 + 𝐶3 · 𝑥 + 𝐶4 Las constantes 𝐶1,𝐶2,𝐶3,𝐶4 se determinan con las condiciones: Apuntes Mecánica de Sólidos 170 1. En 𝑥 = 0,𝑦 = 0 → 𝐶2 = 0 2. En 𝑥 = 𝑎 𝑦𝑖𝑧𝑞 = 𝑦𝑑𝑒𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑖𝑧𝑞 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑒𝑟 3. En 𝑥 = 𝑙, 𝑦 = 0
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